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机械能守恒定律

[学习目标] 1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化.2.能够根据动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系，推导出机械能守恒定律.3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题.

一、动能与势能的相互转化

1.重力势能与动能的转化

只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能，若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能. 2.弹性势能与动能的转化

只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能. 3.机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能. 二、机械能守恒定律

1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变. 2.表达式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，即E2＝E1. [即学即用]

1.判断下列说法的正误. (1)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用.(×) (2)合力为零，物体的机械能一定守恒.(×) (3)合力做功为零，物体的机械能保持不变.(×) (4)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒.(√) 2.如图1所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高为H处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为________.

图1

答案

mgH

一、机械能守恒定律

[导学探究]

如图2所示，质量为m的物体自由下落的过程中，经过高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面.

图2 (1)求物体在A、B处的机械能EA、EB；

(2)比较物体在A、B处的机械能的大小. 12答案

(1)物体在A处的机械能EA＝mgh1＋mv

1

212物体在B处的机械能EB＝mgh2＋mv

2

21122(2)根据动能定理WG＝mv

2－mv

1

22下落过程中重力对物体做功，重力做的功在数值上等于物体重力势能的变化量，则

WG＝mgh1－mgh2

11由以上两式可得：mv2

2－mv1

2＝mgh1－mgh2

2211移项得mv1

2＋mgh1＝mv2

2＋mgh2

22由此可知物体在A、B两处的机械能相等. [知识深化]

机械能守恒定律的理解

1.“守恒”是指系统能量的转化只限于动能、重力势能和弹性势能，没有其他能量参与，而且在整个过程中的任何时刻，任何位置，机械能的总量总保持不变. 2.条件

(1)只有重力或弹力做功，其他力不做功(注意：条件不是合力做功等于零，也不是合力等于零). (2)只发生动能和势能(重力势能和弹性势能)的相互转化，无其他形式的能参与转化. 例1

(多选)不计空气阻力，下列说法中正确的是(

) A.用绳子拉着物体匀速上升，只有重力和绳子的拉力对物体做功，机械能守恒

B.做竖直上抛运动的物体，只有重力对它做功，机械能守恒

C.沿光滑斜面自由下滑的物体，只有重力对物体做功，机械能守恒

D.用水平拉力使物体沿光滑水平面做匀加速直线运动，机械能守恒

答案

BC 例2

(多选)如图3所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中(

)

图3 A.弹簧的弹性势能不断增加

B.弹簧的弹性势能不断减少

C.小球和弹簧组成的系统机械能不断减少

D.小球和弹簧组成的系统机械能保持不变

答案

AD 解析

从B到C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A正确，B错误；对小球、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C错误，D正确. 二、机械能守恒定律的应用

例3

如图4所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在的水平面为零势能面，一切阻力可忽略不计.求运动员：(g＝10 m/s2)

图4 (1)在A点时的机械能；

(2)到达最低点B时的速度大小；

(3)相对于B点能到达的最大高度. 答案

(1)10 500 J

(2)103 m/s

(3)15 m 11解析

(1)运动员在A点时的机械能E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝×70×102 J＋70×10×10 J＝2210 500 J. 1(2)运动员从A点运动到B点的过程，根据机械能守恒定律得E＝mvB

2，

2解得vB＝

2E＝

m2×10 500

m/s＝103 m/s 70(3)运动员从A点运动到斜坡上最高点的过程中，由机械能守恒定律得E＝mgh′，

解得h′＝10 500

m＝15 m. 70×10

1.机械能守恒定律的应用步骤

首先对研究对象进行正确的受力分析，判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件.若机械能守恒，则根据机械能守恒定律列出方程，或再辅以其他方程进行求解. 2.机械能守恒定律常用的三种表达式

(1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2) 此式表示系统的两个状态的机械能总量相等. (2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp

此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量. (3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减

此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统B部分机械能的减少量. 针对训练

某游乐场过山车模型简化为如图5所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动.

图5 (1)若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？

(2)考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度不得超过多少？

答案

(1)2.5R

(2)3R

解析

(1)设过山车总质量为M，从高度h1处开始下滑，恰能以v1通过圆形轨道最高点. v1

2在圆形轨道最高点有：Mg＝M①

R1运动过程机械能守恒：Mgh1＝2MgR＋Mv1

2②

2由①②式得：h1＝2.5R

即高度至少为2.5R. (2)设从高度h2处开始下滑，游客质量为m，过圆周最低点时速度为v2，游客受到的支持力最大是FN＝7mg.

2v

2最低点：FN－mg＝m③

R1运动过程机械能守恒：mgh2＝mv2

2④

2由③④式得：h2＝3R

即高度不得超过3R.

1.(机械能是否守恒的判断)(多选)下列物体中，机械能守恒的是(

) A.做平抛运动的物体

B.被匀速吊起的集装箱

C.光滑曲面上自由运动的物体

4D.物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动

5答案

AC 12. (机械能守恒定律的应用)如图6所示，从光滑的圆弧槽的最高点滑下的小物块，滑出槽口4时速度沿水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面在水平面内，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为R2，则R1与R2的关系为(

)

图6 A.R1≤R2

R2C.R1≤

2答案

D 1解析

小物块沿光滑的圆弧槽下滑的过程，只有重力做功，机械能守恒，故有

41mgR1＝mv2①

2要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，即做平抛运动，则

v2mg≤m②

R2R2由①②解得R1≥. 23.(机械能守恒定律的应用)如图7所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成.其中轨道B.R1≥R2

R2D.R1≥

2

Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝0.20 m、h2＝0.10 m，BC水平距离L＝1.00 m，轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高，当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝0.05 kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点.(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比)

图7 (1)当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小. (2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数. (3)当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由. 答案

(1)0.1 J

2 m/s

(2)0.5 (3)不一定，原因见解析

解析

(1)以A点所在的水平面为参考平面，由机械能守恒定律可得

E弹＝ΔEk＝ΔEp＝mgh1＝0.05×10×0.2 J＝0.1 J 12由ΔEk＝mv

0可得v0＝2 m/s 2(2)由E弹∝d2可得ΔEk′＝E弹′＝4E弹＝4mgh1

由动能定理可得

－mg(h1＋h2)－μmgL＝－ΔEk′

解得μ＝0.5 (3)恰能通过圆形轨道最高点必须满足的条件是

mv2mg＝

Rm由机械能守恒定律有v＝v0＝2 m/s 得Rm＝0.4 m 当R≤0.4 m时，滑块能上升到B点；

当R>0.4 m时，滑块不能上升到B点. 课时作业

一、选择题(1～7为单项选择题，8～10为多项选择题) 1.一个物体在运动的过程中所受的合力为零，则这个过程中(

) A.机械能一定不变

B.物体的动能保持不变，而势能一定变化

C.若物体的势能变化，机械能一定变化

D.若物体的势能变化，机械能不一定变化

答案

C 解析

由于物体在平衡力的作用下运动，速度不变，即物体的动能不变，当物体的势能变化时机械能一定变化，C正确，A、B、D错误. 2.下列运动的物体，机械能守恒的是(

) A.物体沿斜面匀速下滑

B.物体从高处以0.9g的加速度竖直下落

C.物体沿光滑曲面滑下

D.拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升

答案

C 解析

物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小.物体以0.9g的加速度竖直下落时，除重力外，其他力的合力向上，大小为0.1mg，其他力的合力在物体下落时对物体做负功，物体的机械能不守恒.物体沿光滑曲面滑下时，只有重力做功，机械能守恒.拉着物体沿斜面上升时，拉力对物体做功，物体的机械能不守恒.综上所述，机械能守恒的是C项. 3.质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10 m/s2)(

) A.0 J，－5 J

B.0 J，－10 J C.10 J,5 J

D.20 J，－10 J 答案

A 4.如图1所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施.管道除D点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑.若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失的连续滑入第一个、第二个圆管形管道A、B内部(管道A比管道B高).某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过管道A内部最高点时，对管壁恰好无压力.则这名挑战者(

)

图1 A.经过管道A最高点时的机械能大于经过管道B最低点时的机械能

B.经过管道A最高点时的动能大于经过管道B最低点时的动能

C.经过管道B最高点时对管外侧壁有压力

D.不能经过管道B的最高点

答案

C 5.如图2所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(

)

图2 A.圆环的机械能守恒

B.弹簧弹性势能变化了3mgL

C.圆环下滑到最大距离时，所受合力为零

D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变

答案

B 解析

圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒.圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度h＝2L2－L2＝3L，所以圆环重力势能减少了3mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了3mgL.故选B. 6.如图3所示，用长为L的细线，一端系于悬点A，另一端拴住一质量为m的小球，先将小球拉至水平位置并使细线绷直，在悬点A的正下方O点钉有一小钉子，今将小球由静止释放，要使小球能在竖直平面内做完整圆周运动，OA的最小距离是(

)

图3 LA.

22C.L

3答案

D 2mv

0解析

设小球做完整圆周运动时其轨道半径为R，小球刚好过最高点的条件为mg＝

RLB.

33D.L

5

解得v0＝gR

小球由静止释放到运动至圆周的最高点过程中，只有重力做功，因而机械能守恒，取初位置12所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得0＝mv

0－mg(L－2R) 22解得R＝L

53所以OA的最小距离为L－R＝L，故D正确. 57.以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图4所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛物体在最高点的速度方向水平)，则(

)

图4 A.h1＝h2>h3

C.h1＝h3

答案

D 解析

竖直上抛物体和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒得v0

21112mgh＝mv0

，所以h＝，斜上抛物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝mv0

2－mv1

2，22g22所以h2＜h1＝h3，故D对. 8.把质量为m的石块从高h的山崖上以沿与水平方向成θ角斜向上的方向抛出(如图5所示)，抛出的初速度为v0，石块落地时的速度大小与下面哪些量无关(不计空气阻力)(

) B.h1＝h2

D.h1＝h3>h2

图5 A.石块的质量

B.石块初速度的大小

C.石块初速度的仰角

D.石块抛出时的高度

答案

AC 1122解析

以地面为参考平面，石块运动过程中机械能守恒，则mgh＋mv

0＝mv

2222即v2＝2gh＋v

0，所以v＝v

0＋2gh

由此可知，v与石块的初速度大小v0和高度h有关，而与石块的质量和初速度的方向无关. 9.图6是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数FN表示该处所受压力的大小，某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B处时，下列表述正确的有(

)

图6 A.FN小于滑块重力

C.FN越大表明h越大

答案

BC 解析

设滑块在B点的速度大小为v，选B处所在平面为零势能面，从开始下滑到B处，由v212机械能守恒定律得mgh＝mv，在B处由牛顿第二定律得FN－mg＝m，因而选B、C. 2r10.质量相同的小球A和B分别悬挂在长为L和2L的不同长绳上，先将小球拉至同一水平位置(如图7所示)从静止释放，当两绳竖直时，则(

) B.FN大于滑块重力

D.FN越大表明h越小

图7 A.两球的速率一样大

B.两球的动能一样大

C.两球的机械能一样大

D.两球所受的拉力一样大

答案

CD 解析

两球在下落过程中机械能守恒，开始下落时，重力势能相等，动能都为零，所以机械能相等，下落到最低点时的机械能也一样大，选项C正确.选取小球A为研究对象，设小球1到达最低点时的速度大小为vA，动能为EkA，小球所受的拉力大小为FA，则mgL＝mvA

2，22mv

AFA－mg＝，可得vA＝2gL，EkA＝mgL，FA＝3mg；同理可得vB＝2gL，EkB＝2mgL，LFB＝3mg，故选项A、B错误，选项D正确. 二、非选择题

11.如图8所示，某大型露天游乐场中过山车的质量为1 t，从轨道一侧的顶点A处由静止释放，到达底部B处后又冲上环形轨道，使乘客头朝下通过C点，再沿环形轨道到达底部B处，

最后冲上轨道另一侧的顶点D处，已知D与A在同一水平面上.A、B间的高度差为20 m，圆环半径为5 m，如果不考虑车与轨道间的摩擦和空气阻力，g取10 m/s2.试求：

图8 (1)过山车通过B点时的动能；

(2)过山车通过C点时的速度大小；

(3)过山车通过D点时的机械能.(取过B点的水平面为零势能面) 答案

(1)2×105 J

(2)102 m/s

(3)2×105 J 解析

(1)过山车由A点运动到B点的过程中，由机械能守恒定律ΔEk增＝ΔEp减可得过山车在B点时的动能. 1mvB

2－0＝mghAB

212EkB＝mv

B＝mghAB

2解得EkB＝2×105 J (2)同理可得，过山车从A点运动到C点时有

1mvC

2－0＝mghAC

2解得vC＝102 m/s (3)由机械能守恒定律可知，过山车在D点时的机械能就等于在A点时的机械能，则有ED＝EA＝mghAB

解得ED＝2×105 J. 12.如图9所示，竖直平面内有一半径R＝0.5 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.5 kg的小球从B点正上方H高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，DQ间的距离x＝2.4 m，球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h＝0.8 m，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：

图9 (1)小球释放点到B点的高度H；

(2)经过圆弧槽最低点C时轨道对小球的支持力大小FN.

答案

(1)0.95 m

(2)34 N 解析

(1)设小球在飞行过程中通过最高点P的速度为v0，P到D和P到Q可视为两个对称1x的平抛运动，则有：h＝gt2，＝v0t

22x可得：v0＝2g2.4＝×

2h210

m/s＝3 m/s 2×0.8在D点有：vy＝gt＝4 m/s 2在D点合速度大小为：v＝v

2＝5 m/s 0＋vyv03设v与水平方向夹角为θ，cos θ＝v＝

51A到D过程机械能守恒：mgH＋mgRcos θ＝mv2

2解得：H＝0.95 m 12(2)设小球经过C点时速度为vC，A到C过程机械能守恒：mg(H＋R)＝mv

C

2vC

2由牛顿第二定律有，FN－mg＝m

R解得FN＝34 N.