*5 一元二次方程的根与系数的关系PPT及课堂实录内容

*2.5《一元二次方程的根与系数的关系》(北师大版) 教学设计

莆田擢英中学 陈黎仙 一、教学目标

1.知识与技能

（1）理解掌握方程ax2bxc0(a0)的两根之和、两根之积与系数a,b,c之间的关系。

（2）了解一元二次方程根与系数的关系的推导过程

（3）会应用一元二次方程根与系数的关系来解决问题

2.过程与方法

通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法，提高学生推理论证的能力。

3.情感、态度与价值观

在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心。激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。

二、教学重点和难点

重点：一元二次方程根与系数的关系和应用

难点：根与系数的关系的理解和推导

三、教学过程

（一）复习提问，引入新知 教师：通过前几节的学习，我们已经掌握了如何解一元二次方程。有哪些方法？

学生：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法

教师：通过公式法，我们知道了，要求方程的根，只需要了解方程的哪些量？借助哪个公式套用？

bb24ac学生：各项系数，求根公式，即x

2a教师：今天我们要进一步来研究根与系数之间的其它关系。那么在研究之前，我们要先知道方程有根的条件是什么呢？

1

学生：（判别式）b24ac≥0 设计意图：通过设问，使学生明确方程的系数决定根的值，引出学生思考根与系数之间还有其它形式的关系吗？然后进入“一元二次方程根与系数之间的关系”的探究学习。

教师：有谁知道是哪位数学家发现了根与系数的关系？

学生：韦达！

【PPT投影】韦达的故事

设计意图：让学生在数学文化背景下学习数学，提升兴趣

（二）自主探索，探究学习

探究1：填表，观察、发现

方程

x1,x2

x1x2

x1x2

x2-2x-10

x1 ，x2 x2-23x10

x1 ，x2 2x23x10

x1 ，x2

问题：你有发现什么两根之和、两根之积与系数a、b、c之间的关系吗？

①用语言叙述发现的规律；

_____________________________________________________ 猜想：②

若ax2bxc0的两根x1,x2，请用式子表示你发现的规律：

_____________________________________________________ 【学生活动】1.解方程，求值，再观察、分析、归纳；2.独立思考后进行小组合作，把表格内容填写到白板上，并用语言整理归纳出发现的规律，请小组代表把发现的规律展示给其它学生看。

设计意图：通过表格直观地观察、分析出两根之和、两根之积与方程系数的关系，小组合作来增加学生的团队合作意识，同时增加课堂活跃度。

探究2：猜想、证明

2

bcax2bxc0 (a≠0)的两根为x1,x2则:x1x2 ，x1x2

aa【学生活动】在练习本上将证明过程进行整理书写。一半的同学来证明两根之和与系数的关系，另一半同学证明两根之积与系数的关系

【教师活动】启发学生，求根公式是具有一般性的，利用求根公式进行证明。

跟踪每个学生的证明过程与思路是否存在问题，及时答疑

【PPT投影】通过动画把根与系数的关系的视频播放给学生，进一步了解如何证明根与系数的关系

设计意图：通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，提高学生推理论证的能力。激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。

（二）典例分析

例1.利用根与系数的关系，求下列方程两根之和、两根之积：

（1）x27x60； （2）x(3x1)10. 【板书】解（1）这里a1,b7,c6

b24ac72416250

∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2, 那么x1x27，x1x26 【学生活动】学生独立完成第（2）小题，请两位同学上台板演

【教师活动】注两个台上同学的完成情况，结合易错点引导学生学习了韦达定理后要选择合适简便的方法来求出问题的解 2变式：你能求出两根的平方和（x12x2）吗？

【板书】由（1）得，x1x27，x1x26 2则x12x2(x1x2)22x1x2(7)22637

小结：

（1）要利用根与系数的关系，需先化方程为一般形式；②确定方程中的a、b、c的值；③代入根与系数的关系公式得到两根之和与积

2b4ac0

（2）根与系数的关系的前提条件：．．．．

3

（3）求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.

例2.已知方程5x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 【师生活动】学生讲述过程，教师总结、板书

设计意图：师生共同分析解决例题，学会运用根与系数的关系来解决问题，并了解可以解决哪些问题。同时教师通过板书来规范解题格式。

（三）达标检测，强化训练

1.【课堂活动】利用希沃白板中的课堂活动中分组竞赛环节：将全班学生分成左右两组，各派两位同学上台完成，台下同学可以作为现场智囊团，帮助台上同学解题

22.(提升题)设x1,x2是方程x22(k1)xk20的两个实数根，且x12x24，求k的值. 【教师活动】1.出示问题，启发点拨，引导学生解答； 2.归纳利用根与系数的关系求出两根之和以及两根之积的步骤，培养学生选择最优算法。

【学生活动】强化训练，巩固新知，思考用一元二次方程根与系数关系时要注意哪些问题. 设计意图：过巩固练习,及时巩固定理，再次体会一元二次方程的根与系数的关系，培养学生对于知识点的灵活运用。

(四)回顾总结、升华提高

【PPT投影】通过本节课的学习你学到了那些知识？接触到哪些数学方法与思想？

教师活动：引导学生小结，提炼知识

学生活动：反思本节课所学内容，谈自己的收获

设计意图：培养学生的学习习惯，及时总结所学

（五）布置作业、巩固新知

课后作业：1-8题作为必做题，9-10选做一题

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【板书设计】

*2.5 一元二次方程根与系数的关系

韦达定理：

例1：

变式：

如果方程ax2bxc0(a0)的有两个

实数根x1,x2,则：

bcx1x2x1x2a a

b24ac≥

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