用计算器求算数平方根、用有理数估计算数平方根的大小第二课时教学实录

用计算器计算平方根及其比较大小

教案

教学目标

一、教学知识点

1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．

2、会判断一个数是有理数还是无理数. 3、让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神

二、能力训练要求

1、借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力. 2、探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力. 三、情感与价值观要求

1、让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力. 2、充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.．

教学重点

1、无理数概念的探索过程. 2、用计算器进行无理数的估算. 3、了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断. 教学难点

1、把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程．

2、判断一个数是否为有理数．

3、无理数概念的建立及估算. 4、用所学定义正确判断所给数的属性. 教学过程

一、创设问题情境，引入新课

我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？

在小学我们学过自然数、小数、分数，在初一我们还学过负数. 我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 二、讲授新课

1.问题的提出，大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形. 经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请自己拼的图展示一下.

现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

1、a是正方形的边长，所以a肯定是正数. 2、因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a²=2. 3、由a²=2可判断a应是1点几. 那么a是整数吗？a是分数吗？

结论是：因为1²=1，2²=4，3²=9，整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数. 因为分数. 经过讨论可知，在等式a²=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了. 2.做一做：

(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

111224111,,，两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是224339339

(2)设该正方形的边长为c，则c应满足什么条件？

(3)c是有理数吗？

222在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a+b=c. 2222在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得c=1+2，即c=5，则

b是有理数吗？因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数. 没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数. 因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数. 像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发2现.也就是我们前面谈过的a=2中的a不是有理数. 三、问题探索

如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？

2解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h=3.h不可能是整数，也不可能是分数. 22我们了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a=2，b=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？我们就来揭示它的真面目. 四、讲授新课

1、导入. 请看图

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. 因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.

大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？

22因为a大于1且a小于4，所以a大致为1点几. a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.1=1.21，1.2=1.44，1.3=1.69，1.4=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来. 探索过程如下. 边长a

1＜a＜2

1.4＜a＜1.5

1.41＜a＜1.42

1.414＜a＜1.415

1.4142＜a＜1.4143

请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？

a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数. 大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？

b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数. 2、无理数的定义. 请大家把下列各数表示成小数. 3，，，，，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间. 3=3.0，面积S

1＜S＜4

1.96＜S＜2.25

1.9881＜S＜2.0164

1.999396＜S＜2.002225

1.99996164＜S＜2.00024449

2222458259451145=0.8，=0.5，

59820.17，1.818

4511答：3，4582是有限小数，,,是无限循环小数. 594511上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 22像上面研究过的a=2，b=5中的a，b是无限不循环小数. 无限不循环小数叫无理数(irrational

number).

b外，0.5858858885…(相除上面的a，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数. 3.有理数与无理数的主要区别

(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 4.例题讲解

例1.用有理数估计下列各数的算术平方根的范围(精确到0.001)：

(1)29； (2)91. 例2.如图，方格纸上每个小正方形都是1. (1) 分别求出点A到B，C，D，E，F各点的距离；

(2)以A，B，C，D，E，F中的任意三个点为顶点的三角形中，有没有等腰三角形？如果有，指出这样的三角形；

(3)以点B为圆心，BD为半径的圆，还经过方格上的哪些点？如果有，把它们描出来，标上字母，并说明理由. 三、课堂练习

(一)随堂练习下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，3.7，－π，－(二)补充练习：①、判断题

(1)有理数与无理数的差都是有理数. (2)无限小数都是无理数. (3)无理数都是无限小数. (4)两个无理数的和不一定是无理数. ②、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

1. 720.351，－,4.96，3.14159，－5.2323332…，123456789101112…(由相继的正整数3组成). 在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数. （三）比较下列大小

【变式1】

估算-2的值( B ) (A)在1和2之间 (B)在2和3之间

(C)在3和4之间 (D)在4和5之间

解析:因为4<19<5,所以4<所以2<-2<3.故选B. 22<5, 【变式2】

通过估算比较下列各组数的大小: (1)与1.9; (2)>与1.5. ,即>2, >2, 解:(1)因为5>4,所以所以>1.9. >(2)因为6>4,所以所以>=1.5, ,所以即

>1.5.

课程小结

1、通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2、能判断一个数是否为有理数. 3、用计算器进行无理数的估算. 4、无理数的定义. 5、判断一个数是无理数或有理数.