阅读与思考　为什么√2不是有理数教学评价实录

课

题

6.3为什么2不是有理数？

授课人

王晓燕

课型

新授课

教

材

分

析

本节课选自新人教版教材《数学》七年级下册第六章第三节，本节首先设置了一个“探究学习”，其目的是引出无理数的概念。在此之前学生接触的都是开得尽的数的开平方，实质上还是在有理数的范围内讨论。要让学生知道求一个数的平方根，也会遇到“开不尽”的情况，而这样的平方根实际上是存在的，由此体验到数还必须进一步扩展。随着合作学习中这些数的出现，就建立了新的数的概念——无理数。无理数概念的建立，为数从无理数扩展为实数奠定了基础。接着给出了实数的概念和分类，随着无理数的引入，数的范围扩展到实数，课本通过例题要求在数轴上画出无理数，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出实数与数轴上的点一一对应。

学生是学习的主体，只有让生真正融入到课堂教学中，学生才会深切地感受到学

法

分

析

数学带给他们的乐趣。这节课，我主要采用学生自己动手实践，观察，组织讨论等方法。以学生为主，给学生提供足够的活动时间，充分发挥他们的个性，让学生在实践中感受知识的力量，让学生在观察中发现，在发现中探索，在探索中创新。

七年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较学

情

分

析

薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。让学生在探究中体验知识的产生、发展和形成的过程，学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。学生在第五章学***行线的判定和性质的有关证明，但对概念性证明没有涉及，反证法是第一次学习。

知识与技能：

1、经历2的产生以及2是无限不循环小数的探索过程，认识无理数并使学生体验数学的发展离不开实践、探索与创造感受现代信息技术是解决问题的强力工具. 2、能用有理数估计2的大致范围，体会无理数与有理数的区别与联系．

过程与方法：

在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．

情感态度和价值观：

对无理数的探究过程使学生体验数学的发展离不开实践．

1、对2是无限不循环小数的探究过程；

2、进一步加深生对无理数概念和数轴的认识。

难点

反证法证明的步骤及证明思想。

教

学

目

标

重点

核心素养

对无理数概念的深入思考，数与形的紧密结合的理解，勇敢的面对真理的自信，

大胆质疑的心。

教法

教学

过程

一、情境引入：

同学们，你们知道2是如何发现的吗？是毕达哥拉斯的学生希伯索斯发现2，希伯索斯为了2献出了宝贵的生命，今天我们一起来了解2的诞生过程。

二、学习目标展示（展）

1.学生了解

2的诞生过程，从而培养学生质疑和大胆探索的精神。

2.理解“

2不是有理数”的证明过程，培养学生反证法能力。

三、探究2的诞生过程（学）

1、讲述毕达哥拉斯的生平、故事和贡献 2、引出希伯索斯发现2 3、学生七年级没有学勾股定理，设计以正方形引出2

活动1：将边长为2的正方形平均分成四份（见课件）

一 案 五 步 ( 展 学 议 导 练 )

教

学

内

容

活动2：合作探究

(1)计算等腰直角三角形ABC的面积，求出AB与BC（解得AB=BC=2 ）

(2)将三角形再对折，发现以1、1、2

为三边的直角三角形 （3）我们不知道2的具体值，那么它的大小在什么范围内呢？

通过画图我们发现，面积为1的正方形的边长是1，面积为4的正方形的边长为2 ，而面积为2的正方形边长为 ,即比1大比2小,所以它的边长应该在1和2之间。

2（4）用有理数估计2的大致范围，2

可能是整数吗？是分数吗？ 【设计意图】：

通过学生的动手操作，感受2

这个数是实际存在的，对于腰长是1的等腰直角

三角形的斜边让学生算的结果后，对问题进行讨论．

2显然不是整数，那它是分数吗?（议）

1=1，2=4， 越来越大，所以不可能是整数

222可能是分数吗?试说出原因．

2两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以 不可能是分数．

2=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084988471603......

它是一个无限不循环小数。

四、反证法证明2是无理数（导）

1、理论依据：有理数是两个互质数的比。

反证法解：设2是有理数，欧几里得《原本》那么存在两个互质的正整数x , y ,x2得2yx ==y两边平方得x22y2偶数偶数的平方是偶数所以x是偶数；设得4m22y2x2m代入上式2m2y2则

所以y是偶数；x和y都是偶数，不互质，不是有理数。这与假设的x , y 互质矛盾。22、反证法的步骤：

（1）假设命题反面成立；

（2）从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾；

（3）得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立. 五、归纳：无理数

像0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…0.101001000100001 …等这些数的小数位数都是无限的,而且是不循环的,是无限不循环小数．

无限不循环小数叫无理数．

2（圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数，像上面提到的 等都是无理数) 任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 思考：无理数一般有哪些形式? 7, 3, 12的开不尽方的数是无理数 （1）像 （2）圆周率π及一些含有π的数都是无理数

（3）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数

六、无理数2在数轴上的画法（课本54页），阅读课本58页

七、当堂检测:（练）

1、下列说法：

（1）有理数都是有限小数 （2）有限小数都是有理数 （3）无理数都是无限小数 （4）无限小数都是无理数

其中正确的为______________。

2、一个面积为13cm的正方形，它的边长是______cm 3、已知正数m满足m=101，则m的整数部分是_________ 4、你能证明

32不是有理数吗？

八、课堂小结: 本节课学习为什么2不是有理数，谈谈自己的收获？ 【设计意图：引导学生从知识内容和学习过程中精神层面总结自己的收获，并建立知识之间的联系。】

九、板书设计: 6.3为什么2不是有理数？

合作探究

归纳：无理数的定义

反证法

22

本课是一节阅读材料课，没有固定的、可借鉴的范例。本人通过毕达哥拉斯的门徒---希帕索斯发现2，并为此付出了生命的故事为主线，设计了本节课，旨在揭示2为什么是无理数；其中有动手操作，涉及三角形面积的求解、平方根、一元二次方程的求解、估算、反证法等知识点，是一节难度很大的课。这是一种大胆的尝试，让学生对无理数概念进行深入思考，数与形的紧课

后

反

思

密结合的理解，勇敢的面对真理要有自信，并能大胆质疑，提出问题。

学生通过这节课经历2是无限不循环小数的探究过程，进一步加深对无理数概念和数轴的认识，并会用反证法证明。通过教学，本人觉得学生掌握情况良好。整节课，因为初次上录像课，本人略有紧张，严谨有余，课堂气氛应该在活跃一些，放手让学生大胆操作。不足之处请专家提出宝贵意见，本人将不断改进。谢谢！