5　不确定性关系教学设计实例

3

粒子的波动性

4

概率波

5

不确定性关系

[学习目标]

1.知道光的波粒二象性，理解其对立统一的关系.2.了解德布罗意波和概率波，知道它们都遵循统计规律.3.会用不确定性关系的公式分析简单问题．

一、光的波粒二象性

[导学探究]

(1)什么现象体现出了光的波动性？什么现象体现了光的粒子性？

(2)光的波动性和粒子性矛盾吗？

答案

(1)大量光子在传播过程中显示出波动性，比如干涉和衍射．当光与物质发生作用时，显示出粒子性，如光电效应、康普顿效应．(2)不矛盾，光具有波粒二象性．

[知识梳理] 1．光的波粒二象性

(1)光的干涉和衍射现象说明光具有波动性，光电效应和康普顿效应说明光具有粒子性．

h(2)光子的能量ε＝hν，光子的动量p＝. λ(3)光既具有波动性，又具有粒子性，即光具有波粒二象性．

2．对光的波粒二象性的理解

(1)大量光子产生的效果显示出波动性；个别光子产生的效果显示出粒子性．(填“大量”或“个别”) (2)光子和电子、质子等实物粒子一样，具有能量和动量．和其他物质相互作用时，粒子性起主导作用；在光的传播过程中，光子在空间各点出现的可能性的大小(概率)，由波动性起主导作用，因此称光波为概率波．(填“粒子”或“波动”) (3)频率低、波长长的光，波动性特征显著，而频率高、波长短的光，粒子性特征显著．

(4)光子的能量与其对应的频率成正比，而频率是描述波动性特征的物理量，因此ε＝hν揭示了光的粒子性和波动性之间的密切联系．

[即学即用]

有关光的本性，下列说法正确的是(

) A．光既具有波动性，又具有粒子性，这是互相矛盾和对立的

B．光的波动性类似于机械波，光的粒子性类似于质点

C．光只有波动性，无粒子性

D．由于光既具有波动性，又具有粒子性，无法只用其中一种去说明光的一切行为，只能认为光具有波粒二象性

答案

D 解析

19世纪初，人们成功地在实验室中观察到了光的干涉、衍射现象，这属于波的特征，微粒说无法解释这些现象；但19世纪末又发现了光电效应，这种现象波动说不能解释，证明光具有粒子性，因此，光既具有波动性，又具有粒子性，但光不同于宏观的机械波和粒子，波动性和粒子性是光在不同的情况下的不同表现，是两个不同侧面，不同属性，我们无法只用其中一种去说明光的一切行为，只能认为光具有波粒二象性，选项D正确．

二、物质波

概率波

[导学探究]

德布罗意认为任何运动着的物体均具有波动性，可是我们观察运动着的汽车，并未感觉到它的波动性，你如何理解该问题？谈谈自己的认识．

答案

波粒二象性是微观粒子的特殊规律，一切微观粒子都存在波动性，宏观物体(汽车)也存在波动性，只是因为宏观物体质量大，动量大，波长短，难以观测．

[知识梳理]

对物质波的认识

1．任何运动着的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳，都有一种波与它相对应，这种hε波叫物质波，又叫德布罗意波．物质波波长、频率的计算公式为λ＝，ν＝. ph2．我们之所以看不到宏观物体的波动性，是因为宏观物体的动量太大，德布罗意波长太小的缘故．

3．德布罗意假说是光的波粒二象性的推广，即光子和实物粒子都既具有粒子性又具有波动性，即具有波粒二象性．与光子对应的波是电磁波，与实物粒子对应的波是物质波．

4．物质波的实验验证

(1)1927年戴维孙和汤姆孙分别利用晶体做了电子束衍射的实验，从而证实了电子的波动性．

(2)人们陆续证实了质子、中子以及原子、分子的波动性，对于这些粒子，德布罗意给出的νεh＝和λ＝关系同样正确．

hp5．物质波也是一种概率波．

[即学即用]

(多选)根据物质波理论，以下说法中正确的是(

) A．微观粒子有波动性，宏观物体没有波动性

B．宏观物体和微观粒子都具有波动性

C．宏观物体的波动性不易被人观察到是因为它的波长太长

D．速度相同的质子和电子相比，电子的波动性更为明显

答案

BD 解析

一切运动的物体都有一种物质性与它对应，所以宏观物体和微观粒子都具有波动性，

A错误，B正确；宏观物体的物质波波长很短，不易观察到它的波动性，C错误；速度相同hh的质子与电子相比，电子质量小，由λ＝＝知电子的物质波波长更长，所以电子的波动pmv性更明显，D正确．

三、不确定性关系

[知识梳理] 1．微观粒子运动的基本特征：不再遵守牛顿运动定律，不可能同时准确地知道粒子的位置和动量，不可能用“轨迹”来描述粒子的运动，这种关系叫做不确定性关系．微观粒子的运动状态只能通过概率做统计性的描述．

2．单缝衍射现象中，粒子在挡板左侧的位置是完全不确定的，即通过挡板前粒子的位置具有不确定性，粒子通过狭缝后，在垂直原来运动方向的动量是不确定的，即通过挡板后粒子的动量具有不确定性．

h3．微观粒子运动的位置不确定量Δx和动量的不确定量Δp的关系式为Δx·Δp≥，其中h4π是普朗克常量．

4．不确定性关系告诉我们，如果要更准确地确定粒子的位置(即Δx更小)，那么动量的测量一定会更不准确(即Δp更大)，也就是说，不可能同时准确地知道粒子的位置和动量，也不可能用“轨迹”来描述粒子的运动．

[即学即用]

从衍射的规律可以知道，狭缝越窄，屏上中央亮条纹就越宽，由不确定性关系hΔxΔp≥，判断下列说法正确的是(

) 4πA．入射的粒子有确定的动量，射到屏上粒子就有准确的位置

B．狭缝的宽度变小了，因此粒子的不确定性也变小了

C．更窄的狭缝可以更准确地测得粒子的位置，但粒子动量的不确定性却更大了

D．可以同时确定粒子的位置和动量

答案

C h解析

由ΔxΔp≥知，狭缝变小了，即Δx减小了，Δp变大，即动量的不确定性变大，故4πC正确，A、B、D错误.

一、对光的波粒二象性的认识

例1

(多选)对光的认识，以下说法中正确的是(

) A．个别光子的行为表现出粒子性，大量光子的行为表现出波动性

B．高频光是粒子，低频光是波

C．光表现出波动性时，就不具有粒子性了；光表现出粒子性时，就不再具有波动性了

D．光的波粒二象性应理解为：在某种场合下光的波动性表现得明显，在另外某种场合下，光的粒子性表现明显

解析

个别光子的行为表现为粒子性，大量光子的行为表现为波动性；光与物质相互作用，表现为粒子性，光的传播表现为波动性，光的波动性与粒子性都是光的本质属性，频率高的光粒子性强，频率低的光波动性强，光的粒子性表现明显时仍具有波动性，因为大量粒子的个别行为呈现出波动规律，故正确选项为A、D. 答案

AD 总结提升

1．理解光的波粒二象性是光的本性．

2．知道哪些现象体现出光的波动性，哪些现象体现出光的粒子性．

二、对物质波的理解

例2

下列关于德布罗意波的认识，正确的解释是(

) A．光波是一种物质波

B．X光的衍射证实了物质波的假设是正确的

C．电子的衍射证实了物质波的假设是正确的

D．宏观物体运动时，看不到它的衍射或干涉现象，所以宏观物体不具有波动性

解析

宏观物体由于动量太大，德布罗意波长太小，所以看不到它的干涉、衍射现象，但仍具有波动性，D项错；X光是波长极短的电磁波，是光子，它的衍射不能证实物质波的存在，B项错．只有C项正确．

答案

C 例3

电子经电势差为U＝200 V的电场加速，电子质量m0＝9.1×10布罗意波长．

1解析

已知m0v2＝Ek＝eU

2hp＝

λp2Ek＝

2m0所以λ＝hh＝

2m0Ek2em0U－31－31 kg，求此电子的德把U＝200 V，m0＝9.1×10 kg，

代入上式解得λ≈8.69×102 nm. －答案

8.69×102 nm －归纳总结

德布罗意波长的计算

(1)首先计算物体的速度，再计算其动量．如果知道物体动能也可以直接用p＝2mEk计算其动量．

h(2)再根据λ＝计算德布罗意波长．

p(3)需要注意的是：德布罗意波长一般都很短，比一般的光波波长还要短，可以根据结果的数量级大致判断结果是否合理．

三、对概率波的理解

例4

(多选)物理学家做了一个有趣的实验：在双缝干涉实验中，在光屏处放上照相底片，若减弱光的强度，使光子只能一个一个地通过狭缝，实验结果表明，如果曝光时间不太长，底片上只出现一些不规则的点；如果曝光时间足够长，底片上就出现了规则的干涉条纹，对这个实验结果下列认识正确的是(

) A．曝光时间不长时，光子的能量太小，底片上的条纹看不清楚，故出现不规则的点

B．单个光子的运动表现出波动性

C．干涉条纹中明亮的部分是光子到达机会较多的地方

D．只有大量光子的行为才能表现出波动性

解析

光是一种概率波，对于一个光子通过单缝落在何处，是不确定的，但概率最大的是中央亮纹处，可达95%以上，还可能落到暗纹处，不过落在暗纹处的概率最小(注意暗纹处并非无光子到达)．故C、D选项正确．

答案

CD 归纳总结

解决本题的关键是要明确对概率波的认识，知道概率波的规律就是统计规律，单个光子是不能确定落在哪个点上的，我们只能得到大量光子的落点区域．

四、对不确定性关系的理解

例5

质量为10 g的子弹与电子的速率相同，均为500 m/s，测量准确度为0.01%，若位置和速率在同一实验中同时测量，试问它们位置的最小不确定量各为多少？(电子质量为m＝9.1×10－31kg，结果保留三位有效数字) 解析

测量准确度也就是速度的不确定性，故子弹、电子的速度不确定量为Δv＝0.05 m/s，子弹的动量的不确定量Δp1＝5×104 kg·m/s，电子动量的不确定量Δp2≈4.6×10－－－32 kg·m/s，6.63×1034h－31由Δx≥，子弹位置的最小不确定量Δx1＝ m，电子位－4

m≈1.06×104πΔp4×3.14×5×106.63×1034－3置的最小不确定量Δx2＝ m. －32

m≈1.15×104×3.14×4.6×10－答案

1.06×10规律总结

－31 m

1.15×103 m －理解不确定性关系时应注意的问题

(1)对子弹这样的宏观物体，不确定量是微不足道的，对测量准确性没有任何限制，但对微观粒子却是不可忽略的．

(2)在微观世界中，粒子质量较小，不能同时精确地测出粒子的位置和动量，也就不能准确地把握粒子的运动状态．

1．下列有关光的波粒二象性的说法中，正确的是(

) A．有的光是波，有的光是粒子

B．光子与电子是同样的一种粒子

C．光的波长越长，其波动性越显著；波长越短，其粒子性越显著

D．大量光子的行为往往表现出粒子性

答案

C 解析

一切光都具有波粒二象性，光的有些行为(如干涉、衍射)表现出波动性，有些行为(如光电效应)表现出粒子性，A错误．虽然光子与电子都是微观粒子，都具有波粒二象性，但电子是实物粒子，有静止质量，光子不是实物粒子，没有静止质量，电子是以实物形式存在的物质，光子是以场形式存在的物质，所以B错误．光的波粒二象性的理论和实验表明，大量光子的行为表现出波动性，个别光子的行为表现出粒子性．光的波长越长，衍射性越好，即波动性越显著；光的波长越短，其粒子性越显著，故选项C正确，D错误．

2．(多选)在单缝衍射实验中，中央亮纹的光强占从单缝射入的整个光强的95%以上，假设现在只让一个光子通过单缝，那么该光子(

) A．一定落在中央亮纹处

B．一定落在亮纹处

C．可能落在暗纹处

D．落在中央亮纹处的可能性最大

答案

CD 解析

根据光波是概率波的概念，对于一个光子通过单缝落在何处，是不确定的，但概率最大的是落在中央亮纹处．当然也可落在其他亮纹处，还可能落在暗纹处，不过，落在暗纹处的概率很小，故C、D选项正确．

3．(多选)利用金属晶格(大小约10－10

m)作为障碍物观察电子的衍射图样，方法是使电子通过电场加速后，让电子束照射到金属晶格上，从而得到电子的衍射图样．已知电子质量为m，电荷量为e，初速度为0，加速电压为U，普朗克常量为h，则下列说法中正确的是(

) A．该实验说明了电子具有波动性

B．实验中电子束的德布罗意波长为λ＝h

2meUC．加速电压U越大，电子的衍射现象越明显

D．若用相同动能的质子替代电子，衍射现象将更加明显

答案

AB 解析

得到电子的衍射图样，说明电子具有波动性，A正确；

h由德布罗意波长公式λ＝

p而动量p＝2mEk＝2meU

两式联立得λ＝由公式λ＝h，B正确；

2meUh可知，加速电压越大，电子的波长越小，衍射现象越不明显；用相同动能2meU的质子替代电子，质子的波长小，其衍射现象不如电子的衍射现象明显．故C、D错误．

h4．(多选)关于不确定性关系ΔxΔp≥有以下几种理解，正确的是(

) 4πA．微观粒子的动量不可确定

B．微观粒子的位置不可确定

C．微观粒子的动量和位置不可同时确定

D．不确定关系不仅适用于电子和光子等微观粒子，也适用于宏观物体

答案

CD h解析

本题主要考查对不确定性关系ΔxΔp≥的理解，不确定性关系表示位置、动量的精4π度相互制约，此长彼消，当粒子的位置不确定性更小时，粒子动量的不确定性更大；反之亦然，故不能同时准确确定粒子的位置和动量，不确定性关系是自然界中的普遍规律，对微观世界的影响显著，对宏观世界的影响可忽略，故C、D正确．