4　概率波优质课教案整理

第4、5节概率波__不确定性关系

1．经典的粒子具有一定的质量，占有一定的空间；经典的波具有时空周期性。

2．光波是概率波，物质波也是概率波。

3．经典力学中，质点的位置和动量可以同时测定，量子力学中，微观粒子的位置和动量具有不确定性，表达式为：ΔxΔp≥

h。

4π

一、经典的粒子和经典的波

1．经典粒子的特征

(1)经典物理学中，粒子有一定的空间大小，具有一定的质量，有的还带有电荷。

(2)经典粒子运动的基本特征：遵从牛顿运动定律，只要已知它们的受力情况及初位置、初速度，从理论上讲就可以准确、惟一地确定以后任一时刻的位置和速度，以及空间中的确定的轨迹。

2．经典波的特征

经典的波在空间是弥散开来的，其特征是具有频率和波长，即具有时间、空间的周期性。

在经典物理中，波和粒子是两种完全不同的研究对象，具有非常不同的表现，是不相容的两个物理属性。

二、概率波

1．光波是一种概率波

光的波动性不是光子之间相互作用引起的，而是光子自身固有的性质，光子在空间出现的概率可以通过波动的规律确定，所以，光波是一种概率波。

2．物质波也是概率波

对于电子和其他微观粒子，单个粒子的位置是不确定的，但在某点附近出现的概率的大小可以由波动的规律确定。对于大量粒子，这种概率分布导致确定的宏观结果，所以物

质波也是概率波。

三、不确定性关系

1．定义：在经典物理学中，一个质点的位置和动量是可以同时测定的；在微观物理学中，要同时测出微观粒子的位置和动量是不太可能的，这种关系叫不确定性关系。

2．表达式：ΔxΔp≥h。其中用Δx表示粒子位置的不确定量，用Δp表示在x方向上4π动量的不确定量，h是普朗克常量。

1．自主思考——判一判

(1)经典的粒子的运动适用牛顿第二定律。(√) (2)经典的波在空间传播具有周期性。(√) (3)经典的粒子和经典的波研究对象相同。(×) (4)光子通过狭缝后落在屏上的位置是可以确定的。(×) (5)光子通过狭缝后落在屏上明纹处的概率大些。(√) (6)电子通过狭缝后运动的轨迹是确定的。(×) 2．合作探究——议一议

对微观粒子的运动分析能不能用“轨迹”来描述？

提示：微观粒子的运动遵循不确定关系，也就是说，要准确确定粒子的位置，动量(或速度)的不确定量就更大；反之，要准确确定粒子的动量(或速度)，位置的不确定量就更大，也就是说不可能同时准确地知道粒子的位置和动量。因而不可能用“轨迹”来描述粒子的运动。

对概率波的理解

1．正确理解光的波动性

光的干涉现象不是光子之间的相互作用使它表现出波动性的，在双缝干涉实验中，使光源S非常弱，以致前一个光子到达屏后才发射第二个光子。这样就排除了光子之间的相互作用的可能性。实验结果表明，尽管单个光子的落点不可预知，但长时间曝光之后仍然得到了干涉条纹分布。可见，光的波动性不是光子之间的相互作用引起的。

2．光波是一种概率波

在双缝干涉实验中，光子通过双缝后，对某一个光子而言，不能肯定它落在哪一点，但屏上各处明暗条纹的不同亮度，说明光子落在各处的可能性即概率是不相同的。光子落

在明条纹处的概率大，落在暗条纹处的概率小。

这就是说光子在空间出现的概率可以通过波动的规律来确定，因此说光是一种概率波。

3．物质波也是概率波

对于电子、实物粒子等其他微观粒子，同样具有波粒二象性，所以与它们相联系的物质波也是概率波。

也就是说，单个粒子位置是不确定的，具有偶然性；大量粒子运动具有必然性，遵循统计规律。概率波将波动性和粒子性统一在一起。

1．(多选)在双缝干涉实验中出现的明暗条纹说明了(

) A．光具有波动性

C．光波是一种概率波

B．光具有粒子性

D．以上说法全都错误

解析：选AC

双缝干涉实验中出现的明条纹和暗条纹，说明了光子落点具有一定的概率，即符合概率波的规律，并说明光具有波动性。

2．(多选)为了验证光的波粒二象性，在双缝干涉实验中将光屏换成照相底片，并设法减弱光的强度，下列说法正确的是(

) A．使光子一个一个地通过双缝干涉实验装置的单缝，如果时间足够长，底片上将出现双缝干涉图样

B．使光子一个一个地通过双缝干涉实验装置的单缝，如果时间很短，底片上将出现不太清晰的双缝干涉图样

C．大量光子的运动显示光的波动性

D．光只有波动性没有粒子性

解析：选AC

单个光子的运动具有不确定性，但其落点的概率分布还是遵循一定的统计规律的，根据统计规律可以显示出光的波动性的一面。选项A、C正确。

3．(多选)在单缝衍射实验中，中央亮纹的光强占从单缝射入的整个光强的95%以上。假设现在只让一个光子通过单缝，那么该光子(

) A．一定落在中央亮纹处

B．一定落在亮纹处

C．可能落在暗纹处

D．落在中央亮纹处的可能性最大

解析：选CD

根据光波是概率波的概念，对于一个光子通过单缝落在何处，是不可确定的，但概率最大的是落在中央亮纹处。当然也可落在其他亮纹处，还可能落在暗纹处，不过，落在暗纹处的概率很小，故C、D选项正确。

对不确定性关系的理解

1．粒子位置的不确定性

单缝衍射现象中，入射的粒子有确定的动量，但它们可以处于挡板左侧的任何位置，也就是说，粒子在挡板左侧的位置是完全不确定的。

2．粒子动量的不确定性

(1)微观粒子具有波动性，会发生衍射。大部分粒子到达狭缝之前沿水平方向运动，而在经过狭缝之后，有些粒子跑到投影位置以外。这些粒子具有与其原来运动方向垂直的动量。

(2)由于哪个粒子到达屏上的哪个位置是完全随机的，所以粒子在垂直方向上的动量也具有不确定性，不确定量的大小可以由中央亮条纹的宽度来衡量。

3．位置和动量的不确定性关系：ΔxΔp≥由ΔxΔp≥h

4πh可以知道，在微观领域，要准确地确定粒子的位置，动量的不确定性就更4π大；反之，要准确地确定粒子的动量，那么位置的不确定性就更大。

4．微观粒子的运动没有特定的轨道

由不确定关系ΔxΔp≥h可知，微观粒子的位置和动量是不能同时被确定的，这也就决4π定了不能用“轨迹”的观点来描述粒子的运动。

5．经典物理和微观物理的区别

(1)在经典物理学中，可以同时用位置和动量精确地描述质点的运动，如果知道质点的加速度，还可以预言质点在以后任意时刻的位置和动量，从而描绘它的运动轨迹。

(2)在微观物理学中，不可能同时准确地知道粒子的位置和动量。因而也就不可能用“轨迹”来描述粒子的运动。但是，我们可以准确地知道大量粒子运动时的统计规律。

h－[典例]

已知＝5.3×1035 J·s，试求下列情况中速度测定的不确定量。

4π(1)一个球的质量m＝1.0 kg，测定其位置的不确定量为106 m。

－(2)电子的质量m＝9.0×10级) －31 kg，测定其位置的不确定量为10－10 m。(即在原子的数量[解析]

(1)m＝1.0 kg，Δx＝106 m，

－由ΔxΔp≥h，Δp＝mΔv知

4π－5.3×1035hΔv1＝＝

m/s 4πΔxm10－6×1.0＝5.3×10－29 m/s。

(2)me＝9.0×10Δx＝10Δv2＝－10－31 kg，

m h

4πΔxme－5.3×1035

＝－10－

m/s 10×9.0×1031

＝5.89×105 m/s。

[答案]

(1)5.3×10

对不确定性关系的三点提醒

(1)在宏观世界中物体的质量与微观世界中粒子的质量相比较，相差很多倍。

(2)根据计算的数据可以看出，宏观世界中的物体的质量较大，位置和速度的不确定量较小，可同时较精确地测出物体的位置和动量。

(3)在微观世界中粒子的质量较小，不能同时精确地测出粒子的位置和动量，不能准确把握粒子的运动状态。

1．(多选)根据不确定性关系ΔxΔp≥h，判断下列说法正确的是(

) 4π－29 m/s

(2)5.89×105 m/s A．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度下降

B．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度上升

C．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备有关

D．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备无关

解析：选AD

不确定关系表明，无论采用什么方法试图确定坐标和相应动量中的一个，必然引起另一个较大的不确定性，这样的结果与测量仪器及测量方法是否完备无关，无论怎样改善测量仪器和测量方法，都不可能逾越不确定关系所给出的限度。故A、D正确。

2．电子的质量me＝9.0×10－31 kg，测定其速度的不确定量为2×106 m/s，测定其位置－h－＝5.3×1035 J·s

的不确定量。4π解析：由不确定性关系ΔxΔp≥－h；Δp＝mΔv知

4π5.3×1035hΔx＝＝

m＝29.4 m。

4πme·Δv9.0×10－31×2×10－6答案：29.4 m

1．(多选)下列各种波是概率波的是(

) A．声波

C．光波

B．无线电波

D．物质波

解析：选CD

声波是机械波，A错；电磁波是一种能量波，B错；由概率波的概念和光波、物质波的特点分析可以得知，光波和物质波均为概率波，故C、D正确。

hν2．紫外线光子的动量为。一个静止的O3吸收了一个紫外线光子后(

) cA．仍然静止

B．沿着光子原来运动的方向运动

C．沿与光子运动方向相反的方向运动

D．可能向任何方向运动

解析：选B

由动量守恒定律知，吸收了紫外线光子的O3分子与光子原来运动方向相同。故正确选项为B。

3．(多选)在单缝衍射实验中，从微观粒子运动的不确定关系可知(

) A．缝越窄，粒子位置的不确定性越大

B．缝越宽，粒子位置的不确定性越大

C．缝越窄，粒子动量的不确定性越大

D．缝越宽，粒子动量的不确定性越大

h解析：选BC

由不确定性关系ΔxΔp≥知缝宽时，位置不确定性越大，则动量的不4π确定性越小，反之亦然，因此选项B、C正确。

4．在做双缝干涉实验时，发现100个光子中有96个通过双缝后打到了观察屏上的b处，则b处可能是(

) A．亮纹

B．暗纹

C．既有可能是亮纹也有可能是暗纹

D．以上各种情况均有可能

解析：选A

按波的概率分布的特点去判断，由于大部分光子都落在b点，故b处一定是亮纹，选项A正确。

5．(多选)关于不确定性关系ΔxΔp≥A．微观粒子的动量不可确定

B．微观粒子的坐标不可确定

C．微观粒子的位置和动量不可能同时确定

D．不仅电子和光子等微观粒子存在不确定性关系，其他宏观物体也存在不确定性关系

h，有以下几种理解，其中正确的是(

) 4π

解析：选CD

本题主要考查对不确定性关系的理解，不确定性关系表示确定的位置、动量的精度相互制约。当微观粒子的位置不确定性小时，微观粒子动量的不确定性大；反之亦然。故不能同时精确确定微观粒子的位置和动量。不确定性关系是自然界中的普遍规律，对微观世界的影响显著，对宏观世界的影响可以忽略，故C、D正确。

6．(多选)电子的运动受波动性的支配，对于氢原子的核外电子，下列说法正确的是(

) A．氢原子的核外电子可以用确定的坐标描述它们在原子中的位置

B．电子绕核运动时，可以运用牛顿运动定律确定它的轨道

C．电子绕核运动的“轨道”其实是没有意义的

D．电子轨道只不过是电子出现的概率比较大的位置

解析：选CD

微观粒子的波动性是一种概率波，对于微观粒子的运动，牛顿运动定律已经不适用了，所以氢原子的核外电子不能用确定的坐标描述它们在原子中的位置，电子的“轨道”其实是没有意义的，电子轨道只不过是电子出现的概率比较大的位置，综上所述，C、D正确。

7．在单缝衍射实验中，若单缝宽度是1.0×109

m，那么光子经过单缝发生衍射，动－量不确定量是多少？

解析：由题目可知光子位置的不确定量Δx＝1.0×109 m，解答本题需利用不确定性关－系。

单缝宽度是光子经过狭缝的不确定量

即Δx＝1.0×109 m，

－6.63×10h－由ΔxΔp≥有1.0×109×Δp≥4π4π则Δp≥5.3×10－26－34，

kg·m/s。

－26答案：Δp≥5.3×10 kg·m/s 8．(1)(多选)下列说法中正确的是(

) A．光的波粒二象性，就是由牛顿的微粒说和惠更斯的波动说组成的

B．光的波粒二象性彻底推翻了麦克斯韦的光的电磁说

C．光子说并没有否定光的电磁说，在光子能量ε＝hν中，频率ν表示波的特征，ε表示粒子的特征

D．光波和物质波都是概率波

E．光的波动性是光子本身固有的性质，不是光子之间相互作用引起的

(2)如图1所示为示波管示意图，电子的加速电压U＝104

V，打在荧光屏上电子的位置确定在0.1 mm范围内，可以认为令人满意，则电子的速度是否可以完全确定？是否可以用经典力学来处理？电子质量m＝9.1×10－31 kg。

图1 解析：(1)牛顿的微粒说认为光是由物质微粒组成的，惠更斯的波动说认为光是机械波，都是从宏观现象中形成的观念，故A错误；光子说并没有否定光的电磁说，光子

能量公式ε＝hν，体现了其粒子性和波动性，B错误，C正确；光波和物质波都是概率波，D正确；光的波动性是光子本身固有的性质，不是光子之间相互作用引起的，E正确。

(2)Δx＝104

m，由ΔxΔp≥－h－得，动量的不确定量最小值约为Δp≈5×1031

kg·m/s，4π1－－其速度不确定量最小值Δv≈0.55 m/s。mv2＝eU＝1.6×1019×104

J＝1.6×1015

J，v＝26×107 m/s，Δv远小于v，电子的速度可以完全确定，可以用经典力学来处理。

答案：(1)CDE

(2)可以完全确定

可以用经典力学来处理