14.5 等腰三角形的性质优质课教案推荐

§14.5 等腰三角形的性质

教学目标：

1、理解等腰三角形有关概念

2、通过观察、操作、说理等活动，发现并归纳等腰三角形两底角相等的性质. 3、掌握等腰三角形“三线合一”的性质，能运用性质解决有关的简单问题. 4、经历推导等腰三角形两底角相等的性质，体验实验归纳与逻辑推理这两种方法的联系与区别

教学重点：等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”性质的发现和探索过程及其应用. 教学难点：等腰三角形“三线合一”性质的正确表述和运用. 教学过程：

一、新课引入：

1、作出△ABC的边BC上的高AH. 2、作出△ABC的角平分线AD. 3、作出△ABC的边BC上的中线AM. ABC

在不等边三角形中，这三条线段能够重合吗？

二、概念辨析：

等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A顶角腰腰底角底角底边B

C

1

练习一：

FACBAB=BC

顶角是__________

底角是__________

腰是____________

底边是__________

练习二

1、如果等腰三角形的底边长3cm，腰长4cm，那么这个三角形的周长是__________；

2、如果等腰三角形的两边长分别为3cm、4cm，那么这个三角形的周长是__________；

3、如果等腰三角形的两边长分别为3cm、8cm，那么这个三角形的周长是__________.

三、探究新知：

把等腰三角形△ABC纸片对折，观察，除两腰重合外还有哪些重合的部分？

重合的部分是什么？

重合的角

重合的线段

2

DE=EF ∠D是_____；∠E是_____；∠F是_____.

DE是_____； EF是_____； DF是_____.

DE

推理说明等腰三角形的这个性质：

已知：△ABC中，AB=AC 说明：∠B=∠C

方法一：

解：过A作顶角的平分线AD交BC于点D. ∵ AD平分∠B AC（已作）

∴

∠1＝∠2 (角平分线的意义) 在△ABD和△ACD中

(已知)ABAC(已证) 12ADAD(公共边)∴

△ABD≌

△ACD （S.A.S） ∴

∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）

方法二：

解：作△ABC 的中线AD交BC于点D ∵AD是BC边上的中线（已作）

∴ BD＝CD（中线的意义）

在△ABD和△ACD中

(已知)ABAC(已证)

BDCDADAD(公共边)∴

△ABD≌

△ACD （S.S.S） ∴

∠B＝∠C（全等三角形对应角相等） 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）

几何语言表述： 在△ABC 中

∵AB＝AC （已知）

∴

∠B＝∠C （等边对等角）

3

练习二

判断：

（1）

∵AB＝AC（已知）

∴

∠1＝∠2 （等边对等角） （

）

（2）

∵AB＝AC（已知）

∴

∠1＝∠2 （等边对等角）

（

）

（3）

（4）

∵AB＝AC（已知）

∵AB＝AC（已知）

∴

∠1＝∠2 （等边对等角）

∴

∠1＝∠2 （等边对等角）

（

）

（

）

练习三

（1）等腰三角形一个底角是70°，那么另外两个角的度数是______________ （2）等腰三角形一个角是70°，那么另外两个角的度数是______________ （3）等腰三角形一个角是110°，那么另外两个角的度数是______________

在刚刚的表格中，三角形全等，除了相等的两底角之外，还有哪些相等的量？

性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合

（简称为“等腰三角形的三线合一”）

判断：

等腰三角形的高，中线，角平分线，三线合一（ ）

4

性质2可分解为三种情况（填空）

①等腰三角形的顶角平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高. 几何语言表述：

在△ABC 中

∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）

∴BD＝CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）

②等腰三角形底边上的中线，既是顶角平分线，又是底边上的高. 几何语言表述：

在△ABC 中

∵AB＝AC，BD＝CD（已知）

∴∠1＝∠2，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）

③等腰三角形底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角的平分线. 几何语言表述：

在△ABC 中

∵AB＝AC，AD⊥BC（已知）

∴BD＝CD，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）

或者我们可以简单理解为：

在等腰三角形ABC中，AB=AC，（大前提）

①∠1＝∠2；②BD＝DC；③AD⊥BC （知一求二）

即

AB=AC和①推出②③

AB=AC和②推出①③

AB=AC和③推出①②

通过同学们动手操作，以及我们刚刚的说理过程，我们还能够发现，等腰三角形是一个轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。（也是底边上的高所在的直线，也是底边上的中线所在的直线）

性质3：等腰三角形是一个轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。（也是底边上的高所在的直线，也是底边上的中线所在的直线）

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判断：

等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（ ）

例：如图所示，已知在△ABC中，AB=AC；

（1）如果AD是△ABC的中线，求∠ADB的度数. （2）如果∠1=∠2，BD=8，求BC的长. （3）如果AD⊥

BC，∠BAC=110°，求∠1和∠2的度数.

解：

（1）

∵AB=AC，AD是△ABC的中线（已知）

∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）

∴∠ADB=90°（垂直的意义）

（2）

∵AB=AC，∠1=∠2（已知）

∴BC=2BD（等腰三角形三线合一）

∵BD=8（已知）

∴BC=16 （3）

∵AB=AC，AD⊥BC（已知）

1∴∠1=∠2=∠BAC（角平分线的意义）

2∵∠BAC=110°（已知）

∴∠1=∠2=55°

练习四：如图所示，等腰△ABC中，AB=AC，点D、点E是BC边上的点，AH⊥BC，∠DAH=∠EAH，那么BD和CE相等吗？请说明理由. ABDHEC

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思考1：

如果你手中只有三角板，如何作出等腰△ABC（AB=AC）顶角的平分线

思考2：

如图所示，点D、点E在△ABC的边BC上（不与B、C重合），且AB=AC，AD=AE，那么BD和CE相等吗？请说明理由.

思考3：在探究性质“等腰三角形三线合一”的过程中，我们知道

①∠1＝∠2；②BD＝DC；③AD⊥BC AB=AC和①推出②③；AB=AC和②推出①③；AB=AC和③推出①②.如果把AB=AC也作为条件之一，即①∠1＝∠2；②BD＝DC；③AD⊥BC；④AB=AC.那么能否由任意两个结合作为条件，推出另外两个结论呢？

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小结：

（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）

（2）性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合

（简称为“等腰三角形的三线合一”）

（3）课前我们每位同学画了一个不等边三角形ABC的的角平分线AD，高AH，和中线AM，这三条线重合吗？

在不等边三角形中，三角形的角平分线，高，中线，不重合

（4）性质3：等腰三角形是一个轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。（也是底边上的高所在的直线，也是底边上的中线所在的直线）

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