1.3 曲线的极坐标方程第一课时教学设计

第2课时

直线的极坐标方程

学习目标

1.掌握直线的极坐标方程.2.能熟练进行曲线的极坐标方程和直角坐标方程间的互化.3.能用极坐标方程解决相关问题．

知识点

直线的极坐标方程

思考1

直线l的极坐标方程f(ρ，θ)＝0应该有什么要求？

答案

①直线l上任意一点M至少有一个极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0；

②以f(ρ，θ)＝0的解为坐标的点都在直线l上．

π思考2

过极点O且倾斜角θ＝的直线的极坐标方程是什么？

6π答案

θ＝(ρ∈R)．

6梳理

直线的极坐标方程(ρ∈R) 直线位置

过极点，倾斜角为α

极坐标方程

(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)

(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0) ππ－<θ<

ρcos θ＝a22

πa，，过点2且与极轴平行

ρsin θ＝a(0<θ<π)

图形

过点(a,0)，且与极轴垂直

类型一

求直线的极坐标方程

π例1

在极坐标系中，求过点(3，π)且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程．

4

解

令A(3，π)，设直线上任意一点P(ρ，θ)，

π在△OAP中，∠APO＝θ－，

43ρ由正弦定理＝，

ππsinθ－4sin4π32θ－＝得ρsin42. 又因为点A(3，π)适合上式，

π32θ－＝故所求直线的极坐标方程为ρsin42. 引申探究

π在本例条件下，若倾斜角改为，求直线的极坐标方程．

2解

设P(ρ，θ)为直线上的任意一点，

在△AOP中，

π3π<θ<，

ρcos(π－θ)＝322π3π<θ<. ∴ρcos θ＝－322又点A(3，π)适合ρcos θ＝－3，

π3π<θ<. ∴直线的方程为ρcos θ＝－322反思与感悟

(1)求直线的极坐标方程的一般方法

设出直线上的任意一点(ρ，θ)，利用三角形中的定理，如正弦定理、余弦定理等列出ρ，θ的关系式，即为直线的极坐标方程．

(2)求直线的极坐标方程的注意事项

①当ρ≥0时，直线上的点的极角不是常量，所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程，所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程惟一且简便；

②当规定了“负极径”的意义，即ρ∈R时，直线的极坐标方程就是惟一的了．

ππ3，，且该直线与极轴所成的角为，求直线跟踪训练1

在极坐标系中，直线l经过点M24l的极坐标方程．

π解

方法一

设P(ρ，θ)是直线上除M点外任意一点，则在△OPM中，|OP|＝ρ，∠POM＝2π－θ或θ－，

2π5ππ3π∠OPM＝θ－或－θ，∠OMP＝或. 4444|OP||OM|ρ3由正弦定理，有＝，即＝. sin∠OMPsin∠OPM2sin∠OPM25πππ－θ＝sinπ＋－θ＝sinθ－，

∵sin444π323，π满足该式，

θ－＝∴ρsin，又M422π32θ－＝∴直线l的极坐标方程为ρsin42. 方法二

以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，

π则点M的直角坐标为(0,3)．过点M且倾斜角为的直线l的直角坐标方程为y＝x＋3. 4x＝ρcos θ，由直角坐标与极坐标的互化公式

y＝ρsin θ，

得直线l的极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋3，

π32即ρ(sin θ－cos θ)＝3或写成ρsinθ－＝42. 类型二

直线的直角坐标方程与极坐标方程的互化

例2

把下列方程极、直互化．

ππ2θ＋＝. (1)θ＝；(2)y＝2x；(3)ρsin423π解

(1)∵θ＝，∴tan θ＝3，

3y即tan θ＝＝3(x≠0)，∴y＝3x(x≠0)．

x又点(0,0)适合方程y＝3x，

π∴θ＝的直角坐标方程为y＝3x. 3(2)∵y＝2x，∴ρsin θ＝2ρcos θ，

∴tan θ＝2，极点(0,0)也适合tan θ＝2，

∴y＝2x的极坐标方程为tan θ＝2. π2θ＋＝，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，

(3)∵ρsin42∴x＋y－1＝0. 反思与感悟

把极坐标方程化为直角坐标方程时，通常要进行配凑．

(1)通常要用ρ去乘方程的两边，使之出现ρ2，ρcos θ，ρsin θ的形式．

y(2)常取tan θ，方程用公式tan θ＝(x≠0)．

x关键要注意变形的等价性．

跟踪训练2

把下列方程进行极、直互化．

(1)2x＋y＋1＝0；(2)y＝－3x；(3)θ＝α. x＝ρcos θ，解

(1)由得2x＋y＋1＝0的极坐标方程为ρ(2cos θ＋sin θ)＋1＝0. y＝ρsin θ，x＝ρcos θ，(2)由得ρsin θ＝－3ρcos θ，

y＝ρsin θ，

2π∴tan θ＝－3，∴θ＝. 3π(3)当α＝时，θ＝α的直角坐标方程为x＝0，

2πy当α≠时，由θ＝α，得tan θ＝tan α，∴＝tan α，

2x即y＝tan α·x，原点(0,0)也适合y＝tan α·x，

∴θ＝α的直角坐标方程为y＝tan α·x. 类型三

直线的极坐标方程的应用

ππθ－＝1，求点P2，－到直线l的距离．

例3

在极坐标系中，直线l的方程是ρsin66π2，－的直角坐标为(3，－1)．

解

点P6πθ－＝1可化为

直线l：ρsin6ππρsin θ·cos－ρcos θ·sin＝1，

66

即直线l的直角坐标方程为x－3y＋2＝0. ∴点P(3，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离为

d＝|3＋3＋2|1＋－32＝3＋1. ππ2，－到直线ρsinθ－＝1的距离为3＋1. 故点P66反思与感悟

对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．

π3θ－＝，C与l有且仅有跟踪训练3

在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，l：ρcos32一个公共点．

(1)求a的值；

π(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．

3解

(1)由曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，

得ρ2＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为(x－a)2＋y2＝a2，

π3θ－＝，

直线l：ρcos32ππ3即ρcos θcos＋ρsin θsin＝，

332133得x＋y－＝0，即x＋3y－3＝0，

222由于直线与圆有且只有一个公共点，

|a－3|所以d＝＝a，解得a＝1，a＝－3(舍去)．

2π(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，

3πθ＋＝3cos θ－3sin θ

则|OA|＋|OB|＝2cos θ＋2cos3πθ＋. ＝23cos6π当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值23. 6

1．过点2，π4且平行于极轴的直线的极坐标方程是(

) A．ρcos θ＝4

B．ρsin θ＝4 C．ρsin θ＝2

D．ρcos θ＝2 答案

C 解析

由题意可得，所求直线的直角坐标方程为

y＝2sin π4＝2，①

再根据y＝ρsin θ，将①化为极坐标方程可得ρsin θ＝2. 2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 答案

B 3．7cos θ＋2sin θ＝0表示(

) A．直线

B．圆

C．椭圆

D．双曲线

答案

A 解析

两边同乘以ρ，得7ρcos θ＋2ρsin θ＝0. 即7x＋2y＝0，表示直线．

4．极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是(

) A．余弦曲线

B．两条相交直线

C．一条射线

D．两条射线

答案

D 解析

∵cos θ＝22，∴θ＝±π4＋2kπ(k∈Z)．

)

又∵ρ≥0，∴cos θ＝2表示两条射线．

2π7π2θ＋＝，则点A2，到这条直线的距离是

．5．已知直线的极坐标方程为ρsin

442答案

2

27π2，的直角坐标为(2，－2)．

解析

点A4π2θ＋＝，

直线ρsin42ππ2222即ρsin θ·cos＋ρcos θ·sin ＝的直角坐标方程为x＋y＝，即x＋y＝1. 442222∴点A(2，－2)到直线x＋y－1＝0的距离为

|2－2－1|2d＝＝. 21＋1

一、选择题

π1．过点A(5,0)和直线θ＝垂直的直线的极坐标方程是(

) 4π52A．ρsin4＋θ＝2

πC．ρsin4＋θ＝5

答案

A 2．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是(

) A．垂直

C．相交但不垂直

答案

B 解析

直线θ＝α与直线ρsin(θ－α)＝1的斜率相同，且无公共点，故选B. πθ－关于(

) 3．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin3πA．直线θ＝对称

3π2，对称

C．点3答案

B 5πB．直线θ＝对称

6D．极点对称

B．平行

D．重合

π52B．ρcos4＋θ＝2

π52D．ρsin4－θ＝2

π2，且平行于极轴的直线的直角坐标方程是(

) 4．在极坐标系中，过点3πA．x＝2

B．y＝

C．x＝1

D．y＝3 3答案

D ππ4，到曲线ρcosθ－＝2上的点的距离的最小值为(

) 5．在极坐标系中，点M33A．2

B．4

C．6

D．8 答案

A π4，的直角坐标为(2,23),

解析

点M3πθ－＝2的直角坐标方程为x＋3y－4＝0，根据点到直线的距离公式得d＝曲线ρcos3|2＋6－4|＝2. 46．在极坐标系中有如下三个结论：

①若点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；

π②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；

4③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．

在这三个结论中，正确的是(

) A．①③

B．①

C．②③

D．③

答案

D 解析

若点P在曲线C上，则点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程，故①错；tan π5θ＝1能表示θ＝和θ＝π两条射线，故②错；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，3为半44径的圆，故③正确．

二、填空题

π4，－引圆ρ＝4sin θ的一条切线，则切线长为

．

7．在极坐标系中，过点A2答案

42 解析

圆的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点A的直角坐标为(0，－4)，点A与圆心的距离为|－4－2|＝6，所以切线长为62－22＝42. π2，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是

．

8．过点P3答案

ρcos θ＝1

π2，的直角坐标为(1，3)，所以经过该点垂直于极轴的直线的直角坐标方程为解析

点P3x＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＝1. πθ＋＝2被圆ρ＝4截得的弦长为

．

9．在极坐标系中，直线ρsin4答案

43 πθ＋＝2，所以ρsin θ＋ρcos θ＝22，

解析

因为ρsin4化成直角坐标方程为x＋y－22＝0，

圆ρ＝4化成直角坐标方程为x2＋y2＝16，半径R＝4，

|22|圆心到直线的距离为d＝＝2，

2所以截得的弦长为2×R2－d2＝2×16－4＝43. 10．在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离的最小值是

．

答案

1 解析

ρ＝2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x＋3y－6＝0，圆心到直线的距离为d＝3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为3－2＝1. 三、解答题

π2θ－＝.(ρ≥0,0≤θ<2π) 11．在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin42(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．

解

(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，

即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

则圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，

π2θ－＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，

直线l：ρsin42则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0. (2)由(1)知，圆O与直线l的直角坐标方程，

x2＋y2－x－y＝0，x＝0，将两方程联立得解得

x－y＋1＝0，y＝1.

即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，

π1，，即为所求．

将(0,1)转化为极坐标为2

ππ32，，圆心为直线ρsinθ－＝－与极轴的交12．在极坐标系中，已知圆C经过点P432点，求圆C的极坐标方程．

π3θ－＝－中，

解

在ρsin32令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)，

π2，，

因为圆C经过点P4所以圆C的半径PC＝

π22＋12－2×1×2cos＝1，

4于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 13．在极坐标系中，已知极点O到直线l的距离为3，过点O作直线l的垂线，垂足为A，π由极轴到OA的角的大小为，求直线l的极坐标方程．

3解

在直线l上任取一点M(ρ，θ)，如图所示．

在Rt△OAM中，|OM|＝ρ，

ππ∠AOM＝∠AOx－∠MOx＝－θ或θ－，

33π则|OA|＝|OM|·cos∠AOM，即ρcos3－θ＝3，

π所以所求直线l的极坐标方程为ρcos3－θ＝3. 四、探究与拓展

14．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ在点M(2,0)处的切线的极坐标方程为

．

答案

ρcos θ＝2 解析

如图，

∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，

∴x2＋y2＝2x.

由图象可知圆在点M(2,0)处的切线为x＝2，即ρcos θ＝2. 315．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|1－2cos θ＝6.求直线AB的极坐标方程．

解

设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1. A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)，

ρ1＝ρ2＝3，

1－2cos θ133＝. 1－2cos θ1＋π1＋2cos θ133|AB|＝|ρ1＋ρ2|＝1－2cos θ＋1＋2cos θ

116＝1－4cos2θ，

1∴1＝±1，

1－4cos2θ12∴cos θ1＝0或cos θ1＝±. 2ππ3π故直线AB的极坐标方程为θ＝，θ＝或θ＝. 244