2.2.1 直线的参数方程教案3

4--4 直线的参数方程

教学目标：

1. 推导与掌握直线的参数方程，并进行简单应用. 2. 理解参数t的几何意义. 3. 通过直线参数方程的推导与应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 教学重点：直线的标准参数方程的推导；写出直线的参数方程．

教学难点：参数t的几何意义. 教学方式：启发、探究、小组合作、小组交流与讨论.

教学手段：多媒体课件．

教学过程：

一、新课导入 导

教师提出问题：

1.直线方程有哪几种形式．

2.直线的方向向量的概念．

3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．

5.如何建立直线的参数方程？

这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善. 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．

6.

学生大声读出教学目标与教学重点难点

【设计意图】让学生时刻记住这节课的教学目标.

二．自主思考与讨论

思.议

【设计意图】充分发挥学生主观能动性，让学生成为学习的主人.

1

三 . 激情展示

展

【设计意图】让学生展示出来他们的研究成果，有书面展示和口头展示，目的增加学生的学习信心.

四.评讲直线参数方程 评.讲

1.直线参数方程公式推导

问题：（1）在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

（2）已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程. （3）怎样利用直线的倾斜角写处直线的单位方向向量. （4）直线上任意一点的坐标怎样用单位向量与定点坐标表示. 【设计意图】使学生准备好这些基础的知识，为建立直线参数方程作准备．

2. 参数t的几何意义. 问题（1）：当点M在直线l上运动时，点M满足怎样的几何条件？

让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：直线l上点M运动就等价于向量M0M变化，但无论向量怎样变化，都有M0Mte．因此点M在数轴上的坐标t决定了点M的位置，从而可以选择t作为参数来获取直线l的参数方程．

2

【设计意图】明确参数t的几何意义．

问题（2）：如何确定直线l的单位方向向量e？

教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．

教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出e(cos,sin)，从而明确直线l的方向向量可以由倾斜角来确定．

当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上．

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．

3.深入探究直线参数方程公式推导.

问题：如果点M0,M的坐标分别为(x0,y0)、(x,y)，怎样用参数t表示x,y？

教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：

0[)）因为e(cos,sin)，（,，MMxy(,)x(y,)0(0xxy,y0)00，

又M0M//e，所以存在实数tR，使得M0Mte，即

(xx0,yy0)t(cos,sin)．

于是xx0tcos，yy0tsin，

即xx0tcos，yy0tsin．

因此，经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos  （t为参数）． yytsin0

3

教师提出如下问题让学生加强认识：

①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数t的取值范围是什么？

③参数t的几何意义是什么？

总结如下：①x0,y0，是常量，x,y,t是变量；

②tR；

③由于|e|1，且M0Mte，得到M0Mt，因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离．当M0M的方向与数轴（直线）正方向相同时，t0；当M0M的方向与数轴（直线）正方向相反时，t0；当t0时，点M与点M0重合．

【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．

五、课堂检练 检.练 （1）基础知识问答抢答环节

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（2）例题精讲

例1.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积．

先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：

xy102解法一：由，得xx10(*)．

2yx设A(x1,y1)，B(x2,y2),由韦达定理得：x1x21，x1x21．

AB1k2(x1x2)24x1x22510．

1515，

，x2223535．

y1，y22215351535所以A(,)，B(,)．

2222由（*）解得x1则MAMB(115)2(235)2(115)2(235)2

2222353542．

3解法二、因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程是

432x1tcosx1t42 （t为参数）， 即 （t为参数）．

y2tsin3y22t42把它代入抛物线的方程，得t22t20，

解得t1210210，t2．

22由参数t的几何意义得：ABt1t210，

MAMBt1t22．

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在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．

xx0tcos探究：直线  （t为参数）与曲线yf(x)交于M1,M2两点，yytsin0对应的参数分别为t1,t2．

（1）曲线的弦M1M2的长是多少？

（2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？

先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：

tt（）1M1M2t1t2，

（2）t12

2【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．

x2y21于A,B两点．如果点M恰好例2、经过点M(2,1)作直线l，交椭圆164为线段AB的中点，求直线l的方程．

分析：引导学生以M作为直线l上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，则由t1t20求出直线l的斜率．教师板书，过程如下：

x2tcos解：设过点M(2,1)的直线l的参数方程为（t为参数），

y1tsin代入椭圆方程，整理得

(3sin21)t24(cos2sin)80．

因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，

则t1t24(cos2sin)．

3sin21t1t20，即cos2sin0．

26 因为点M为线段AB的中点，所以

1于是直线l的斜率ktan．

21因此，直线l的方程是y1(x2)，即x2y40．

2教师引导学生课下用其他方法解决．

思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l的方程怎样求？由学生课下解决．

【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．

六、链接高考

【设计意图】让学生把这节所学东西和高考建立起练习，增加学生的信心.

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七、归纳总结，提升认识 ．

1．知识小结

．

2．思想方法小结

在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．

【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．

八、布置作业，巩固提高

1. 直线标准参数方程专题. xx0at2. 思考题：若直线l的参数方程为  （a,b为常数，t为参数），yybt0请思考参数t的意义．

【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间．

九、板书设计

教案设计说明

本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中关注学生的参与和知识的落实．

本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”．因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t表示，因此可以选择坐标t为直线参数方程中的参数．从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t与坐标x0,y0及倾斜角之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义．

8 直线的参数方程

1.直线的参数方程

3.例题分析

2.弦长公式

在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念．

本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性．

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