综合第一课时教学实录

初三数学专题复习

构造法在初中数学中的应用举例

江苏省沭阳如东实验学校

曹海祥

教学目标：通过观察思考会对简单的方程、函数、图形进行构造，初步体会数学建模

教学重难点：体会构造法的本质是创造性地应用数学知识去解决数学问题，它不仅是一种解题方法，而且更是一种使用解题方法的方法

教学过程：

一、构造方程

1、由根的定义构造

例1

已知:m25m1,n25n1，且m≠n，求mn的值。

nm2构造：由定义可知，m,n是方程x5x10的两个根，再由根与系数的关系求解。

练习：（2017南通创新班）已知：3m22m70,7n22n30其中m,n是实数，

则m1=

. n111m,由定义可知，是方程270，nnn22构造：由7n2n30可变形为：33x22x70的两个根，再由根与系数的关系求解。

2、由根与系数的关系构造

例2

已知实数a,b,c满足abc0,abc2,求abc的最小值。

分析：由题意可知a,b,c必为两负一正，不妨设a0,b0,c0由已知等式可变形为2abc,ab

c2构造：由根与系数关系可知，a,b是方程xcx20的两个根，根的判别式大于等于0，

c

2c240,c38,c2

，

abcabc2c4

c3、由根的值构造

2x32x1例3

已知x21,求的值。

x5

分析：由x21得：(x1)2(2)22,2x1x2，

2x32x12x3x22x1x213321

x5x5xxx4、由根的判别式构造

1bc(bc)2

且a≠0,求的值

4abc2分析：若ab0则bc0,abc,a

若ab0构造：

例4 已知：(ab)(ca)方程(ab)x2(bc)x(ca)0有两个相等的实数根，因1是方程的根，所以方程的两根均为1，x1x2二、构造函数

例5 若方程x2(k2)x2k10的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，

求实数k的取值范围

构造：函数f(x)x2(k2)x2k1

cabc1,2abc,2

abaf(0)2k10

f(1)1k22k10f(2)42(k2)2k10例6

实数a,b,c均不为0，且满足(ac)(abc)0,求证：(bc)24a(abc)

构造：二次函数f(x)ax2(bc)xabc

f(0)abcf(1)abcabc2(ac)

f(0)f(1)2(ac)(abc)0

所以二次函数f(x)ax(bc)xabc的图象与x轴相交（-1与0之间）

2(bc)24a(abc)

三、构造图形

1、

构造直角三角形

例7

求出代数式的最小值.

构造图形如图所示：

在直角坐标系中，设点A（0，1）、B（4，2）、P（x，0）（0≤x≤4）．

那么PA+PB=所求．

的最小值就是求PA+PB的最小值．

作点A关于x轴的对称点A′，过A′作y轴的垂线，过点Bx轴的垂线，两垂线交于点C．

则A′C=4，BC=3，A′B=所求的最小值是5．

．

练习：已知abcd,且adbc求证：abcd2ac2bd

2、

构造全等三角形

例8

（2018•长春模拟）【探究】如图①，分别以△ABC的两边AB和AC为边向△ABC外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结DC、BE，求证：DC=BE．

22222222【拓展】如图②，在四边形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=45°，连结AC、BD，若∠DAC=90°，AC=AD，则BD的长为

．

构造：如图②，以AB为边向外作等腰直角三角形ABE，AE=AB，

∠BAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，

∵BE=AB=5，

，

∵∠ABC=45°，

∴∠EBC=90°，

∴CE=∴BD=5，

=5，

练习：△ABC中，∠ABC=60o，BC=8，AC=10，点D、E在AB、AC边上，且AD=CE，则CD+BE的最小值为

。

3、

构造相似三角形

例9

已知AD是△ABC的角平分线，

求证：ADABACBDDC

2构造：如图作∠BEA=∠C，再由∠1=∠2，可得△ABE∽△ADC，

∴AB.AC=AD.AE 由△ADC∽△BDE，得BD.DC=AD.AE ∴ADABACBDDC

练习：已知：a2b2c2,a2ca2h2

求证：abch

2