2. 位置变化的描述——位移优秀课堂实录

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位置变化的描述——位移

[学习目标]

1.理解坐标系的概念，会在坐标系中描述物体的位置及位置变化.2.理解位移的概念和矢量性、知道位移与路程的区别和联系.3.知道矢量、标量及其区别．能进行一维情况下矢量的运算．

一、确定位置的方法

1．要定量地描述物体的位置及位置变化需要在参考系上建立一个坐标系，这个坐标系上包括原点、正方向和单位长度．

2．研究物体的直线运动时，一般建立一维直线坐标系，坐标轴上的一个坐标点对应物体的一个位置；研究平面上物体的运动，一般建立二维平面直角坐标系；研究空间物体的运动，一般建立三维空间直角坐标系．

二、位移

1．定义：物体在一段时间内位置的变化称为位移．

2．表示方法：(1)位移可以用从初位置到末位置的一条有向线段表示．

(2)位移在一维直线坐标系中的表示：若点A、B对应的坐标分别为x1、x2，则A到B的位移Δx＝x2－x1. 三、标量和矢量

1．标量：只有大小没有方向的物理量，如质量、时间、路程、温度等．

2．矢量：既有大小又有方向的物理量，如力、速度、位移等．

3．运算法则：两个标量的加减遵从“算术法则”，矢量相加的法则与此不同(填“相同”或“不同”)．

1．判断下列说法的正误．

(1)直线运动中，建立了直线坐标系，任意时刻的位置都可由位置坐标表示．(√) (2)两个运动物体的位移大小相等，路程也一定相等．(×) (3)一个物体的位移为零，路程也一定为零．(×) (4)温度的高低可以用正、负数表示，所以温度是矢量．(×) 2．一个物体沿直线从A经B运动到C，其位置坐标如图1所示，则从A到B的位移Δx1＝________，从A至C的位移Δx2＝________，Δx1________Δx2(填“>”或“<”)．

图1

答案

－3 m

－8 m

<

一、位移和路程

矢量和标量

1．如图2所示，三位旅行者从北京到上海，甲乘高铁直达，乙乘飞机直达，丙先乘汽车到天津，再换乘轮船到上海，三者的路程是否相同？位置变化是否相同？

图2 答案

三者的路程不同，但结果是一样的，即都是从北京到上海，初位置、末位置一样，即位移相同．

2．(1)如果一位同学从操场中心A点出发向北走了40 m到达B点，然后又向西走了30 m到达C点，则他从A点走到C点的路程是多大？位移是多大？

(2)路程和位移的计算方法相同吗？

答案

(1)如图所示，路程是70 m，位移为从A点指向C点的有向线段，大小为50 m.

(2)路程是标量，遵从算术加减法的法则，可以直接相加减；位移是矢量，不能直接相加减，位移的大小等于初位置指向末位置的有向线段的长度．

1．位移和路程的区别

(1)位移由物体的初、末位置决定，与路径无关，不管经历什么路径，只要初、末位置相同，位移就相同；而路程由物体的运动轨迹决定，与路径有关．

(2)路程是标量，无方向，其大小计算遵循算术运算法则(可以直接相加减)；位移是矢量，有方向，其大小计算不能直接相加减(其运算方法第二章将学到)．

(3)位移的大小不一定等于路程．只有在单向直线运动中，位移的大小等于路程．

2．矢量和标量及其区别

(1)矢量既有大小又有方向，标量只有大小没有方向．

(2)矢量的表示方法：矢量可以用一根带箭头的线段(有向线段)表示，线段的长度表示矢量的大小，箭头的指向表示矢量的方向．

(3)运算方法的比较

①标量运算遵循算术运算法则．

②矢量运算的方法第二章会学到，但同一直线上的矢量，用“＋”、“－”号表示方向后，可简化为算术加减法．

例1

一个人晨练，按如图3所示，走半径为R的中国古代的八卦图运动，中央的S部分是两个直径为R的半圆．他从A点出发沿曲线ABCOADC行进．求：

图3 (1)他从A点第一次走到O点时的位移的大小和方向．

(2)他从A点第一次走到D点时的位移和路程．

答案

(1)R

由北指向南

(2)2R，方向为东偏南45°

2.5πR

解析

(1)从A点第一次走到O点时的位移的大小等于线段AO的长度，即x1＝R.位移的方向为由北指向南．(2)从A点第一次走到D点时的位移的大小等于线段AD的长度，即x2＝2R.位移的方向为东偏南45°.从A点第一次走到D点时的路程等于整个运动轨迹的长度，即s3R＝×2πR＋2π×＝2.5πR. 42针对训练

一个同学沿着400 m的操场跑一圈(又回到出发点)，他的位移为________，路程为________．

答案

0

400 m 例2

(多选)下列关于矢量(位移)和标量(温度)的说法正确的是(

) A．两个运动的物体位移大小均为20 m，这两个位移一定相同

B．做直线运动的两个物体的位移x甲＝1 m，x乙＝－3 m，则x甲＜x乙

C．温度计读数有正负，其正、负号表示温度的方向

D．温度计读数时正的温度一定高于负的温度，正、负号不能代表方向

答案

BD 解析

位移是矢量，大小相同，方向不一定相同，所以这两个位移不一定相同，A错；矢量

比较大小时，比较绝对值，B对；温度是标量，只有大小，没有方向，正号表示比零摄氏度高，负号表示比零摄氏度低，正的温度一定高于负的温度，C错，D对．

二、在坐标系中表示位置和位移

1．如图4，一辆汽车正在平直的公路上直线行驶．为了描述汽车的位置及位置变化，我们需要建立什么样的坐标系？

图4 答案

以起点为坐标原点，建立一维直线坐标系．

2．汽车转弯时，上面问题中建立的坐标系还能描述物体的位置及位置变化吗？如果不能，我们需要建立什么样的坐标系？

答案

不能．以汽车开始转弯时的位置为坐标原点，建立平面坐标系．

1．坐标系的建立及质点位置的表示

分类

项目

适用运动

直线坐标系

平面坐标系

物体在某平面内做曲线运动时

在平面内画相互垂直的x轴与y轴，即可组成平面直角坐标系．物体的位置由一对坐标值确定

空间坐标系

物体在空间内做曲线运动时

在空间画三个相互垂直的x轴、y轴和z轴，即可组成三维坐标系．物体的位置由三个坐标值来确定

物体沿直线运动时

在直线上规定原点、正建立方法

方向和单位长度，就建立了直线坐标系

应用实例

y＝4 m M点位置坐标：x＝2 m N点位置坐标：x＝3 m，

P点位置坐标：x＝3 m，y＝4 m，z＝2 m

2.直线运动中质点位置和位移的表示

(1)位置在坐标系中的表示

直线坐标系中位置用一个点的坐标表示；坐标值的正负表示物体所在位置在原点的正方向上

还是负方向上；坐标值的绝对值表示物体所在位置到坐标原点的距离．

(2)位移在坐标系中的表示

用两个坐标的差值即Δx＝x2－x1表示位移．Δx的数值表示位移大小，Δx为正，表示位移方向与正方向相同；Δx为负，表示位移方向与正方向相反．

例3

如图5所示，一小球从A点竖直向上抛出，到达最高点B后，返回落至地面C处，AB、AC间距离如图所示．

图5 (1)若以A点为坐标原点，竖直向上为正方向，A、B、C三点位置坐标分别为xA＝________ m，xB＝________ m，xC＝________ m．AB间位移ΔxAB＝________ m，BC间位移ΔxBC＝________ m，ΔxAB________ΔxBC(填“>”“<”或“＝”)．

(2)若选地面C为坐标原点，竖直向上为正方向，则A、B、C三点的位置坐标分别为xA′＝______m，xB′＝______m，xC′＝________m，AB间和BC间位移分别为ΔxAB′＝________m，ΔxBC′＝________m. 答案

(1)0

5

－3

5

－8

< (2)3

8

0

5

－8

在坐标系中，选择不同的坐标原点，各点的位置坐标不同，但两点间位移相同，即位移与坐标系无关. 例4

湖中O点有一观察站，一小船从O点出发向东行驶4 km，又向北行驶3 km.(已知sin 37°＝0.6) (1)建立一个适当的坐标系，在坐标系中标出小船的初位置和末位置．

(2)在O点的观察员对小船位置的报告最为精确的是(

) A．小船的位置离O点7 km B．小船向东北方向运动了7 km C．小船向东北方向运动了5 km D．小船的位置在东偏北37°方向距O点5 km处

答案

(1)见解析

(2)D

解析

(1)如果取O点为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，则小船的初位置坐标为(0,0)，末位置坐标为(4 km,3 km)，如图所示．

(2)小船虽然运动了7 km，但在O点的观察员看来，它离自己的距离是42＋32

km＝5 km，3方向要用角度表示，sin θ＝＝0.6，θ＝37°，表示小船的位置在东偏北37°方向．

5

1．(位移和路程的比较)在某次铅球比赛中，某运动员以18.62 m的成绩获得金牌．这里记录的成绩是指(

) A．比赛中铅球发生的位移大小

B．比赛中铅球经过的路程

C．既是铅球发生的位移大小，又是铅球经过的路程

D．既不是铅球发生的位移大小，也不是铅球经过的路程

答案

D 解析

铅球的运动轨迹如图所示，铅球的比赛成绩18.62 m是抛出点A的竖直投影点A′到落地点B的距离，而位移是由A到B的有向线段，路程是AB曲线的长度，只有D正确．

2.(位移和路程的计算)如图6所示，一小球在光滑的V形槽中由A点释放，经B点(与B点碰撞所用时间不计)到达与A点等高的C点，设A点的高度为1 m，则全过程中小球通过的路程和位移大小分别为(

)

图6 22A.3 m，3 m

3342C.3 m，3 m

33答案

C 24B.3 m，3 m 334D.3 m,1 m 3

1 m231 m1 m4解析

位移大小等于AC的直线距离，大小为＝

m．路程等于＋＝3 sin 60°3sin 60°sin 60°3m. 3．(矢量和标量)关于矢量和标量，下列说法中不正确的是(

) A．矢量是既有大小又有方向的物理量

B．标量只有大小没有方向

C．－10 m的位移比5 m的位移小

D．－10 ℃的温度比5 ℃的温度低

答案

C 解析

由矢量和标量的定义可知A、B项正确；－10 m的位移比5 m的位移大，负号不表示大小，仅表示方向与正方向相反，故C错误；温度是标量，负号表示该温度比0 ℃低，正号表示该温度比0 ℃高，故－10 ℃的温度比5 ℃的温度低，D正确．

4.(坐标系中位置的表示)如图7所示，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年阅兵式上，车队从天安门前经过，以北京长安街为坐标轴x，向西为正方向，以天安门中心所对的长安街中心为坐标原点O，建立一维坐标系．一辆战车最初在原点以东3 km处，一段时间后行驶到原点以西2 km处．这辆战车最初位置坐标和最终位置坐标分别是(

)

图7 A．3 km,2 km

C．3 km，－2 km

答案

B 解析

坐标轴的正方向向西，则位置在原点以西为正，在原点以东为负．汽车最初在原点以东且距原点3 km，所以最初位置是－3 km，同理最终位置是2 km，故B正确．

5．(坐标系中位置和位移的表示)一物体从O点出发，沿东偏北30°的方向运动10 m至A点，然后又向正南方向运动5 m至B点．

(1)建立适当坐标系，大体描述出该物体的运动轨迹．

(2)依据建立的坐标系，分别求出A、B两点的坐标．

(3)求从O点至A点的位移和O点至B点的位移．

答案

(1)见解析

(2)(53 m,5 m)

(53 m,0) (3)OA间位移大小为10 m，方向东偏北30°

OB间位移大小为53 m，方向为正东方向

解析

(1)以出发点O为坐标原点，以正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系如图，线OAB即为物体的运动轨迹．

B．－3 km,2 km D．－3 km，－2 km

(2)xA＝10cos 30° m＝53 m，

yA＝10sin 30° m＝5 m，

xB＝xA＝53 m，yB＝0. (3)由题意知OA间位移大小为10 m，方向东偏北30°，OB间位移大小为xB＝53 m，方向为正东方向．

一、选择题

1．下列物理量属于矢量的是(

) A．时间

B．路程

C．位移

D．温度

答案

C 2．(多选)关于位移和路程，以下说法正确的是(

) A．出租车按路程收费

B．出租车按位移的大小收费

C．在曲线运动中，同一运动过程的路程一定大于位移的大小

D．在直线运动中，位移就是路程

答案

AC 解析

出租车按路程收费，曲线运动中路程一定大于初、末位置间线段的长度，所以曲线运动中路程一定大于位移的大小，所以A、C正确，B错误；只有在单向直线运动中，位移的大小才等于路程，而位移是矢量，路程是标量，任何情况下位移都不能是路程，所以D错误．

3.400 m比赛中终点在同一直线上，但起点不在同一直线上，如图1所示，关于这样的做法，下列说法正确的是(

)

图1 A．这样做目的是为了使参加比赛的同学位移大小相同

B．这样做目的是为了使参加比赛的同学路程相同

C．这样做目的是为了使参加比赛的同学所用时间相同

D．这样的做法其实是不公平的，明显对外侧跑道的同学有利

答案

B 解析

因为跑道外圈半径大于里圈，当终点在同一直线上时，起点就不在同一直线上，这样做的目的是为了使参加比赛的同学路程相同，B正确．

4.由天津去上海，可以乘火车，也可以乘轮船，如图2曲线ACB和虚线ADB分别表示天津到上海的铁路线和海上路线，线段AB表示天津到上海的直线距离，下列说法中正确的是(

)

图2 A．乘火车通过的路程与位移的大小相等

B．乘轮船通过的路程与位移的大小相等

C．乘火车与轮船通过的位移相等

D．乘火车与轮船通过的位移不相等

答案

C 5.如图3所示为中国古代的太极图，图中大圆的半径为R，圆心在O点(图中未画出)，ACR是直径，中央“S”形部分是两个半径均为的半圆．某人晨练时按此图自A点出发，沿图2中箭头所示路径ABCOA进行，第一次返回A点的过程中，他的路程和位移大小分别是(

)

图3 A．0,0

C．2πR,0

答案

C 解析

位移由初位置指向末位置，当人由A点运动到C点经O点再返回A点，位移大小等于0，路程等于大圆的半个圆弧长加上中央两个小半圆弧长之和，等于2πR，故C正确，A、B、D错误．

B．0,2πR

D．2πR,2πR

6．我国著名篮球运动员姚明在原地拍球，球从1 m处拍下，又被地板弹回，在离地1.5 m处被接住．规定竖直向下为正方向，则球通过的路程和位移分别是(

) A．2.5 m,2.5 m

C．1.5 m，－1 m

答案

D 解析

位移是指从初位置到末位置的有向线段，所以此时物体的位移的大小是：x＝1.5 m－1 m＝0.5 m，方向竖直向上，因为规定竖直向下为正方向，则位移为－0.5 m．路程是指物体所经过的路径的长度，此时的路程为：s＝1 m＋1.5 m＝2.5 m．故选D. 7．甲、乙两运动员分别参加了在主体育场举行的400 m和100 m的田径决赛，且两人都是在最内侧跑道(周长为400 m)完成了比赛，则两人在各自的比赛过程中通过的位移大小x甲、x乙和通过的路程大小s甲、s乙之间的关系是(

) A．x甲>x乙，s甲

C．x甲>x乙，s甲>s乙

答案

B 解析

400 m赛的路程为400 m，位移为0,100 m赛的路程和位移大小都是100 m，故B正确．

8．(多选)2016年3月27日，中国海警舰船编队在钓鱼岛领海巡航．钓鱼岛自古就是我国固有领土，如图4所示钓鱼岛位置在距中国大陆某港330 km处．若我国海警船从中国大陆某港出发去钓鱼岛巡航，到达钓鱼岛时航行了479 km.则下列说法中正确的是(

) B．x甲s乙

D．x甲

B．2.5 m,0.5 m D．2.5 m，－0.5 m

图4 A．该海警船位移大小是479 km，路程330 km B．该海警船位移大小是330 km，路程479 km C．该海警船在海上航行时，确定其位置时不可以将其看成质点

D．此次航行位移大小小于路程

答案

BD 9．老王驾车到车站接人后返回出发地，车载导航仪显示的记录如表所示，则此过程中，汽车运动的路程和位移大小是(

) 序号

1

2

出发时刻

8∶05

8∶30

停车时刻

8∶25

8∶55

行车里程/km 15.2 15.2

A.0,30.4 km

C．15.2 km,0

答案

D B．0,15.2 km D．30.4 km,0 解析

路程指运动轨迹的长度，位移大小指初、末位置间的有向线段的长度，故位移大小为0，路程为30.4 m，故选D. 10．(多选)如图5所示，A、B是静止在球台桌面上的两个球，相距1.1 m，运动员将球A击向球台侧壁C点，球A碰壁后反弹与球B相碰，已知C点与球A、球B原来位置距离分别为0.6 m和0.9 m．关于球A从开始被击中到撞到球B的全过程中，下列判断正确的是(

)

图5 A．球A通过的路程是1.5 m B．球A通过的路程是1.1 m C．球A通过的位移的大小是1.1 m D．球A通过的位移的大小是0.6 m 答案

AC 解析

路程s＝0.6 m＋0.9 m＝1.5 m，即轨迹长度；位移x＝1.1 m，指AB的长度．

11．(多选)2013年12月2日1时30分57秒，搭载着“嫦娥三号”卫星和“玉兔号”月球车的火箭在西昌卫星发射中心点火发射．经过9天的飞行和多次的近月制动，于12月10日21时20分，“嫦娥三号”在环月轨道成功实施变轨控制，进入预定的月面着陆准备轨道．进入着陆准备轨道后卫星绕月球飞行一圈时间为120分钟．则下列说法正确的是(

) A．“1时30分57秒”和“120分钟”，前者表示“时刻”，后者表示“时间”

B．卫星绕月球飞行一圈，它的位移和路程都为零

C．地面卫星控制中心在对卫星进行近月制动调整飞行角度时可以将卫星看成质点

D．卫星绕月球飞行一圈过程中最大位移小于最大路程

答案

AD 解析

时间在时间轴上为一条线段，对应一段运动过程，时刻对应一个状态，位移为初位置指向末位置的有向线段，而路程为标量，是路径的长度，物体能看成质点是在物体的形状和大小对所研究问题的影响忽略不计的条件下，故A、D对．

二、非选择题

12．如图6所示，一辆汽车在马路上行驶，t＝0时，汽车在十字路口中心的左侧20 m处；过了2 s，汽车正好到达十字路口的中心；再过3 s，汽车行驶到了十字路口中心右侧30 m处．如果把这条马路抽象为一条坐标轴x，十字路口中心定为坐标轴的原点，向右为x轴的

正方向．

图6 (1)试将汽车在三个观测时刻的位置坐标填入下表：

观测时刻

位置坐标

(2)说出前2 s内、后3 s内汽车的位移分别为多少？这5 s内的位移又是多少？

答案

(1)－20 m

0

30 m (2)20 m

30 m

50 m

方向都与x轴正方向相同

解析

(1)马路演化为坐标轴，因为向右为x轴的正方向，所以，在坐标轴上原点左侧的点的坐标为负值，原点右侧的点的坐标为正值，即：

x1＝－20 m，x2＝0，x3＝30 m. (2)前2 s内的位移：Δx1＝x2－x1＝0－(－20 m)＝20 m 后3 s内的位移：Δx2＝x3－x2＝30 m－0＝30 m 这5 s内的位移

Δx＝x3－x1＝30 m－(－20 m)＝50 m 上述位移Δx1、Δx2和Δx都是矢量，大小分别为20 m、30 m和50 m，方向都向右，即与x轴正方向相同．

13.如图7所示，某同学沿平直路面由A点出发前进了100 m到达斜坡底端的B点，又沿倾角为60°的斜面前进了100 m到达C点，求该同学的位移和路程．

t＝0

x1＝______

过2 s

x2＝______

再过3 s x3＝________

图7 答案

173 m，方向由A指向C

200 m 解析

画出该同学的位移矢量图如图所示，该同学的位移大小为AC，方向由A指向C，1由直角三角形知识知BD＝BCcos 60°＝100×

m＝50 m 2

CD＝BCsin 60°＝100×所以AC＝3

m＝503 m 2AD2＋CD2＝1502＋50 32

m ＝1003 m≈173 m，方向由A指向C. 路程s＝AB＋BC＝200 m.