命题、定理、证明1优质课一等奖

5.3.2 命题、定理、证明

歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，边走边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此尴尬的局面，歌德笑容可掬，谦恭的闪在一旁，有礼貌地回答道：“呵呵，我可恰恰相反！”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣，你知道歌德用的是什么语言技巧吗？你知道其中的数学道理吗？这涉及到我们今天要学习的内容中的一个概念.

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学习目标：



1．知道什么是命题，会把一个命题改写成“如果……那么……”的形式，从而能正确分清它的题设和结论. 

2．知道什么是真命题和假命题；能区分一些简单命题的真假.

命题

请同学读出下列语句

（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那

么这两条直线也互相平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内

角互补；

（3）对顶角相等；

（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．

像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）. 判断下列语句是不是命题？

（1）两点之间，线段最短；

（

）

（2）请画出两条互相平行的直线；

（

）

（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（

）

（4）如果两个角的和是90º，那么这两个

角互余．

（

）

√××√

下列组命题是由几部分组成的？

（1）如果两条直线都与第三条直线平行，

那么这两条直线也互相平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，

同旁内角互补；

（3）如果两个角的和是90º，

那么这两个角互余；

（4）等式两边都加同一个数，

结果仍是等式．

（5）两点之间，线段最短．

命题的结构

命题由题设和结论两部分组成.

许多数学命题常可以写成“如果……，那么……”的形式．“如果”后面连接的部分是题设，“那么”后面连接的部分就是结论．

下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写 成“如果……，那么……”的形式.

（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；

如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补. 如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式.

（3）互为相反数的两个数相加得 0 ；

（4）同旁内角互补；

如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补

（5）对顶角相等．

.如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等.

上面练习题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？

（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；

（3）互为相反数的两个数相加得0；

（4）同旁内角互补；

（5）对顶角相等．

×√√×√

命题的真假

真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．

假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．

1. 指出下列命题的题设和结论：

（1）如果

AB⊥CD ，垂足为

O ，那么∠AOC = 90°.

题设：如果 AB⊥CD ，垂足为 O ，结论：∠AOC = 90°.

（2）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3. （3）两直线平行，同位角相等. 题设：如果∠1=∠2，∠2=∠3，结论：∠1=∠3.

题设：如果两条直线平行，结论：同位角相等. 2.判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？

（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两

条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；

（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；

（3）如果| a | = | b |，那么

a = b ；

（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这

条直线平行；

（5）两点确定一条直线．

真命题

假命题

知识二点

定理与证明

上面练习第

2 题中的（1）（4）（5）它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理（theorem）．

定理也可以作为继续推理的依据．

你能写出几个学过的定理吗？ 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明（proof）

请判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假．

命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．

命题2

相等的角是对顶角．

命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．

（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？

题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条；

结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．

命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．

真命题

（2）命题 1 是真命题还是假命题？

（3）你能画出图形，写出已知、求证并证明它是真命题吗？ 已知：b∥c，

a⊥b ．

求证：a⊥c．

例 如图，已知：直线 b∥c，a⊥b. 求证：a⊥c.

c

b

2

a

1

证明：∵

a⊥b（已知），

∴∠1 = 90º

（垂直的定义）. 又∵

b∥c（已知），

∴∠1 = ∠2（两直线平行，同位角相等）.

∴∠2 = ∠1 = 90º（等量代换）.

∴

a⊥c（垂直的定义）. 命题2 相等的角是对顶角．

（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？

题设：两个角相等. 结论：这两个角互为对顶角. （2）判断这个命题的真假. 假命题

你能否举例说明“相等的角是对顶角”是假命题？

如图，OC 是

∠AOB 的平分线，∠1 = ∠2 ，但它们

1. 在下面的括号内，填上推理的根据. 如图，∠A +∠B = 180°，

求证∠C +∠D = 180°. 证明：∵∠A+∠B =180°，

∴AD∥BC

（

），

∴∠C+∠D=180°（

）. 同旁内角互补，两直线平行

两直线平行，同旁内角互补

不是对顶角 .

2.

如图，已知A、O、B三点在一条直线上，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分钱，

求OD⊥OE.

证明：∵OD是∠AOC的平分线（已知），

∴∠1=

∠AOC（角平分线的定义）.

同理：∠2=

∠BOC. ∴∠1 +∠2 =

（∠AOC +∠BOC），

∵点A、O、B在同一条直线上，

∴∠AOC+∠BOC=180°（平角的定义），

∴∠1+∠2=90°，

∴OD⊥OE（垂直的定义）.

3. 判断下列命题的真假. 若

a = b，b = c，则a = c.

（

）

若

a > b，b > c，则a > c.

（

）

若

a∥b，b∥c，则a∥c.

（

）

若

a⊥b，b⊥c，则a⊥c.

（

）

若

ac = bc，则a = b.

（

）

若

a2 = b2，则a = b.

（

）

同位角相等.

（

）

锐角与钝角一定互补.

（

）

误区

对命题的定义及构成理解不透彻而出错

判断下列语句是否是命题.如果是，请写出它的题设和结论，并判断真假. （1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）画一个60°的角.

（1）是命题.这个命题的题设：两条直线

被第三条直线所截；结论是：内错角相等.这个命题是假命题. （2）是命题.这个命题的题设：两个角是对

顶角；结论是：这两个角相等.这个命题是真命题. （3）不是命题，它不是判断一件事情的语句，而是表示画图的语句.

正

解

错解在于对命题的定义理解不透彻，误认为只有存在因果关系关联词的语句才是命题.（1）（2）均是一个语句，且存在判断关系，是命题，而（3）是表示画图的语句，没有作出判 断，所以不是命题.

基础巩固

1.下列语句是命题的个数为（ ）

①画∠AOB的平分线；②直角都相等；③同旁内角互补吗？④若| a |=3，则 a =3. A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

B 2. “同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”是_________，其中题设是_______ __________________________________，结论是_______________________定义

命题、定理、证明

如果……那么……

证明

真命题 定理

如图，给出下列论断：（1）AB∥DC，（2）AD∥BC，（3）∠A+∠B = 180°，（4）∠B + ∠C = 180°，以其中一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能试着写出一个真命题并写出其推理过程吗？

解：题设：AB∥DC，

结论：∠ABC+∠C=180°. 真命题：若AB∥DC，则∠ABC+∠C=180°. 如图，连接BD.真命题：若∠ABD=∠CDB，则AB∥DC. 证明：∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.

课后作业

1. 从课后习题中选取；

2. 完成练习册本课时的习题。

解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B = 180°. 又∠A = 60°，∴∠B = 180°-60°= 120°. ∵DC 与

AB 不一定平行，∴∠D 的度数

只能用度量的方法求得.

3.如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截. （1）从∠1=110°可以知道∠2 是多少度？为什么？

（2）从∠1=110°可以知道∠3 是多少度？为什么？

（3）从∠1=110°可以知道∠4 是多少度？为什么？

解：（1）∵AB∥CD，∠1与∠2是内错角，

∴∠2=∠1=110°（两直线平行，内错角相等）. （2）∵AB∥CD，∠1与∠3是同位角，

∴∠3=∠1=110°（两直线平行，同位角相等）. （3）∵AB∥CD，∠1与∠4是同旁内角，

∴∠1+∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）. 故∠4 = 180°-∠1=180°- 110°= 70°

4. 如图，a∥b，c，d是截线，∠1 = 80°，∠5 = 70°.∠2，∠3，∠4各是多少度？为什么？

解：∵a∥b，

∴∠2 =∠1 = 80°，

∠3 = 180°-∠5 = 180°-70°=110°. 又∠4与∠5互为邻补角，

∴∠4 = 180°-∠5 = 180°- 70°= 110°.