*5 一元二次方程的根与系数的关系课堂实录及点评

《2.5

一元二次方程的根与系数的关系》教学设计

（一）教学的地位与作用

本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。韦达定理是初中代数中的一个重要定理，它把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

（二）学生学情分析

“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

（三）教学目标：

知识与技能目标：

掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求一元二次方程的另一个根、未知系数、两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

过程与方法目标：

经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

情感、态度与价值观：

通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

（四）教学重点：

掌握一元二次方程根与系数的关系．

（五）教学难点：

正确归纳、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。

（六）教学方法：

发现法，引导法，讲练结合法。

（七）教学过程：

一、复习提问

（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

(2) 求一个一元二次方程，使它的两个根分别为

①2和3；②-4和7；③3和-8；④-5和-2 (x-2)(x-3)=0 x-5x+6=0 (x+4)(x-7)=0 x-3x-28=0 (x-3)(x+8)=0 x+5x-24=0 (x+5)(x+2)=0 x+7x+10=0 问题1：从求这些方程的过程中你发现根

与各项系数之间有什么关系？

二、总结结论

2222

如果方程x+px+q=0有两个根是x1，x2 那么有x1+ x2=-p， x1 •x2=q 猜想：2x-5x+3=0，这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？

3解得：x1=

， x2=1 222所以得到，x1+x2=

53

x1 •x2=22问题2：对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？

分析：一般地，对于关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)

用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax＋bx＋c＝0bb24acbb24ac的求根公式知 x1=，x2=

2a2a22bb4acbb4ac 则

x1x2=+

2a2a22bbb24acbb24ac==  a2a22bb4acbb4acx1.x2=×

2a2ac(bb24ac)(bb24ac)== 2a4a结论1：

如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2，

x1x2= x1.x2=

另外几种常见的求值：

1.11x1x2x1x2x1x2baca222x1x2(xx)2x1x2xx12122.x2x1x1x2x1x2

3.(x11)(x21)x1x2(x1x2)14.x1x2(x1x2)22(x1x2)24x1x2题1：已知方程5x＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；

解：设方程的另一个根是x1，那么2x1(为什么？) ∴x1= ？（学生完成） 又x1+2=k(为什么？)∴k= ？ （学生完成） 565想一想，还有没有别的做法？

结论2：若axbxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数，则b0；

（2）若两根互为倒数，则ac；

（3）若一根为0，则c0 ；

（4）若一根为1，则abc0 ；

（5）若一根为1，则abc0；

（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.

题2：方程 mx222mxm10(m0)

有一个正根，一个负根，求m的取值范围。

解：由已知，

△=

4m2

x1x24m(m1)0m10m即m>0 m-1<0 ∴0

一正根，一负根 △＞0

X1X2＜0 两个正根

△≥0

X1X2＞0

X1+X2＞0

两个负根

△≥0

X1X2＞0

X1+X2＜0 三、巩固练习：

1、口答下列方程的两根只和与两根之积。

1）x2-3x+1=0

2)

x2-2x=2 3)

2x2-3x=0

4)

3x2=1 2、判断对错，如果错了，说明理由。

1) 2x2-11x+4=0两根之和11，两根之积4．

2) 4x+3x=5两根之和

235

，两根之积

443）

x2+2=0两根之和0，两根之积2．

4）

x2+x+1=0两根之和-1，两根之积1 3、设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)=

x12＋x22＝_________，

(x1－x2)2＝_______.

4、当

__________时，关于

的方程

有实数根．(填一个符合要求的数即可) 四、布置作业

正式作业：

习题2.8

1、2 家庭作业：

1、《练习册》本节内容

2、《成长与资源》本节内容