用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程ppt课件教学实录

2

用配方法求解一元二次方程

第1课时

用配方法解x2＋px＋q＝0型方程

一、基本目标

1．理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

2．理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．

3．通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．

二、重难点目标

【教学重点】

利用配方法解一元二次方程．

【教学难点】

把一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式．

环节1

自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P36～P37的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．解一元二次方程的思路是将方程转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可得到方程的根是x1＝－m＋n，x2＝－m－n. 2．通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．

3．用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

(1)移——移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

(2)配——配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式；

(3)开——如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得x＋m＝±n；

(4)解——方程的解为x＝－m±n. 环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学)

【例1】用直接开平方法解下列方程：

(1)x2＝5；

(2)(x＋6)2＋72＝102. 【互动探索】(引发学生思考)直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

【解答】(1)方程两边同时开平方，得x1＝5，x2＝－5. (2)移项，得(x＋6)2＝102－72，即(x＋6)2＝51.方程两边同时开平方，得x＋6＝±51.所以x1＝－6＋51，x2＝－6－51. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用直接开平方求解一元二次方程时，不要漏掉方程的负根．对于此种方程最好直接开平方进行计算，不要去掉括号进行整理后，再进行计算．

【例2】用配方法解下列方程：

(1)x2＋2x＋1＝5；

(2)x2－8x－2＝7. 【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

【解答】(1)配方，得(x＋1)2＝5.方程两边同时开平方，得x＋1＝±5.所以x1＝－1＋5，x2＝－1－5. (2)移项，得x2－8x＝9.两边都加上(－4)2(一次项系数一半的平方)，得x2－8x＋(－4)2＝9＋(－4)2，即(x－4)2＝25.两边开平方，得x－4＝±5，即x－4＝5或x－4＝－5.所以x1＝9，x2＝－1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得到的方程为(

D

) A．(x＋1)2＝0 C．(x＋1)2＝2 2．用直接开平方法解下列方程：

(1)4x2＝81；

(2)36x2－1＝0；

(3)(x＋5)2＝25. 9911解：(1)x1＝，x2＝－.

(2)x1＝，x2＝－.

(3)x1＝0，x2＝－10. 22663．用配方法解下列关于x的方程：

(1)x2＋2x－35＝0；

(2)x2－8x＋7＝0. 解：(1)x1＝5，x2＝－7.

(2)x1＝1，x2＝7. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．

【互动探索】求解本题的关键是确定出x、y、z的值．已知等式，需对其进行适当的变B．(x－1)2＝0 D．(x－1)2＝2

形才能确定出x、y、z的值．

【解答】由已知方程，得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]2＝－1. 36【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0. 环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：移项→配方→开方→解

请完成本课时对应训练！

第2课时

用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型方程

一、基本目标

1．进一步理解配方法，会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．

2．通过将ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型方程转化为形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程的过程，掌握配方的方法．

3．通过用配方法求解一般型一元二次方程，进一步体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．

二、重难点目标

【教学重点】

用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．

【教学难点】

会用转化的数学思想解决有关问题．

环节1

自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P38的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：

(1)化——化二次项系数为1；

(2)配——配方，使原方程变为(x＋m)2－n＝0的形式；

(3)移——移项，使方程变为(x＋m)2＝n的形式；

(4)开——如果n≥0，就可左右两边开平方得x＋m＝±n；

(5)解——方程的解为x＝－m±n. 环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】解方程：2x2＋5x＋3＝0. 【互动探索】(引发学生思考)类比用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的解法解决本题．

52523535x＋5【解答】两边同除以2，得x2＋x＋＝0.配方，得x2＋x＋－＋＝0，即42224422511515151x＋2＝.两边开平方，得x＋＝±，即x＋＝或x＋＝－.所以x1－＝0.移项，得416164444443＝－1，x2＝－. 2【互动总结】(学生总结，老师点评)利用配方法求解形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)形式的方程的关键是利用转化的方法将其转化为二次项系数为1的一元二次方程，从而把问题转化为用配方法求形如x2＋px＋q＝0形式的一元二次方程．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．某学生解方程3x2－x－2＝0的步骤如下：

2121224210x－2＝＋②，解：3x2－x－2＝0，→x2－x－＝0，→x2－x＝①，→→x－＝±3393333332＋102－10③，→x1＝，x2＝④，上述解题过程中，最先发生错误的是(

B

) 33A．第①步

C．第③步

2．解下列方程：

(1)3x2＋6x－5＝0；

(2)2x2－4x＋1＝0；

(3)2x2－4x＝6；

(4)9y(y－2)＝4. 2626解：(1)x1＝－1，x2＝－－1. 33(2)x1＝1＋(4)y1＝1＋22，x2＝1－.

(3)x1＝3，x2＝－1. 221313，y2＝1－. 33B．第②步

D．第④步

活动3

拓展延伸(学生对学)

5m－3【例2】先化简，再求值：2÷m＋2－m－2，其中m是方程x2＋3x－1＝0的根．

3m－6m【互动探索】解决此类问题的一般规律是先化简，再确定m的值，最后解决问题．本题中m的值能否直接求出？

m－3m2－9m－3m－21【解答】原式＝÷＝·＝＝

3mm－2m－23mm－2m＋3m－33mm＋31. 3m＋3m2∵m是方程x2＋3x－1＝0的根，

∴m2＋3m－1＝0，即m2＋3m＝1. 11∴原式＝＝. 23m＋3m3【互动总结】(学生总结，老师点评)要求5m－3m＋2－÷m－2的值，首先要对它进3m2－6m行化简，然后从已知条件入手，将m的关系式直接代入即可求解．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：

化→移项→配方→开方→解

请完成本课时对应训练！