1. 共点力作用下物体的平衡名师教学实录

第1节

共点力作用下物体的平衡

学习目标

1.知道物体的平衡状态。

2.掌握共点力作用下的物体的平衡条件。

3.会用共点力的平衡条件解决有关平衡问题。

一、共点力作用下物体的平衡状态

阅读教材第94页“共点力作用下物体的平衡状态”部分，了解平衡状态的含义。

物体在共点力的作用下，保持静止或做匀速直线运动，我们就说这个物体处于平衡状态。

二、共点力作用下物体的平衡条件

阅读教材第94～96页“共点力作用下物体的平衡条件”部分，了解力的平衡条件及应用。

1．平衡条件：要使物体保持平衡状态，作用在物体上的力必须满足一定的条件，这个条件叫平衡条件。

2．共点力作用下物体的平衡条件是：F合＝0。作用在物体上的几个力的合力为零，叫做力的平衡。

3．当物体受到多个共点力(在同一平面内)的作用时，可用正交分解的方法，将各个力沿选定的直角坐标分解，如沿x轴方向的合力为零，沿y轴方向的合力也为零，则物体处于平衡状态，平衡条件可写成Fx合＝0，Fy合＝0。

思维拓展

如图1所示：

1个状态——平衡状态

1个条件——平衡条件

核心提炼

图1 (1)著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上，它受哪些力作用？这些力大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？

(2)高铁在水平轨道上匀速前进，它受哪些力作用？这些力大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？

(3)图中的两个物体的运动状态在物理上叫做什么状态？

提示

(1)受重力和支持力；重力竖直向下、支持力竖直向上，二力等大、反向，合力为零。

(2)受重力、支持力、牵引力、阻力四个力，重力与支持力等大、反向，牵引力与阻力等大、反向，合力为零。

(3)平衡状态。

预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中

问题1 问题2 问题3

共点力及其平衡

[要点归纳]

1．平衡状态：物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动的状态，我们说这个物体处于“平衡状态”。

2．平衡条件：合外力等于0，即F合＝0。

3．推论

(1)若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向，是一对平衡力。

(2)若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。

(3)若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意(n－1)个力的合力必定与第n个力等大、反向。

(4)三个分力的合力大小范围的确定

①最大值：当三个力同向时，合力F最大，Fmax＝F1＋F2＋F3。

②最小值：a.若其中两个较小分力之和(F1＋F2)大于等于第三个分力F3时，合力的最小值为零，即Fmin＝0；

b．若其中两个较小分力之和(F1＋F2)＜F3时，合力的最小值Fmin＝F3－(F1＋F2)。

③合力的取值范围Fmin≤F≤Fmax。

[精典示例] [例1] (多选)下列物体中处于平衡状态的是(

) A．静止在粗糙斜面上的物体

B．沿光滑斜面下滑的物体

C．在平直路面上匀速行驶的汽车

D．做自由落体运动的物体在刚开始下落的瞬间

解析

在共点力的作用下，物体如果处于平衡状态，则该物体必同时具有以下两个特点：从运动状态来说，物体保持静止或者匀速直线运动状态，加速度为零；从受力情况来说，合外力为零。物体在某一时刻的速度为零，并不等同于这个物体保持静止，如果物体所受的合外力不为零，它的运动状态就要发生变化，在下一个瞬间就不是静止的了，所以物体是否处于平衡状态要由物体所受的合外力和加速度判断，而不能认为物体某一时刻速度为零，就是处于平衡状态，本题的正确选项应为A、C。

答案

AC [针对训练1] 已知一个物体受到100个力的作用处于静止状态，现把其中一个大小为8 N的力转过90度，其余的力不变，求此时物体的合力。

解析

物体受到100个力的作用而处于静止状态时，合力为零，其中一个大小为8 N的力与其余99个力的合力大小相等，方向相反，即99个力的合力大小为8 N，方向与8 N的力相反。将8 N的力的方向转过90°时，与其余99个力的合力的夹角为90°，根据平行四边形定则得到，物体的合力为F合＝82 N。

答案

82 N

利用直角三角形法解平衡问题

[要点归纳]

1．如果三个共点力作用下物体处于平衡状态，则这三个力的任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反，且作用在一条直线上。这样三个力的大小可构成三角形三边的关系。

2．如果作出的是直角三角形，可用解直角三解形的知识求解，如三角函数、勾股定理等。

[精典示例] [例2] 如图2所示，用不可伸长的轻绳AC和BC吊起一质量不计的沙袋，绳AC和BC与天花板的夹角分别为60°和30°。现缓慢往沙袋中注入沙子。重力加速度g取10 m/s2。

图2 (1)当注入沙袋中沙子的质量m＝10 kg时，求绳AC和BC上的拉力大小TAC和TBC；

(2)若AC能承受的最大拉力为150 N，BC能承受的最大拉力为100 N，为使绳子不断裂，求注入沙袋中沙子质量的最大值M。

解析

装置受力图如下图所示

(1)T＝mg

TAC＝Tcos 30°＝86.5 N TBC＝Tsin 30°＝50 N

TAC1(2)因为T＝tan 30°＝3 BC而TACmax＝150 N，TBCmax＝100 N 所以沙子质量增加时，T增加，AC绳更容易被拉断。

3TACmax＝2Mg＝150 N，

所以M＝103＝17.3 kg。

答案

(1) 86.5 N

50 N

(2)17.3 kg 借题发挥

“C”点受力平衡也可采用正交分解的方法，但一般来讲三力平衡的问题用合成法或分解法，三力以上平衡问题采用正交分解法。

正交分解法在共点力平衡问题中的应用

[要点归纳]

1．当物体受到多个共点力(在同一平面内)的作用时，也可用正交分解的方法，将各个力沿选定的直角坐标轴分解(建立直角坐标系时，一般尽量使更多的力落在坐标轴上，以减少分解力的个数)，然后根据Fx合＝0，Fy合＝0列式求解。

2．运用共点力平衡条件解题的步骤

(1)选取研究对象。

(2)对所选取的研究对象进行受力分析并画出受力分析图。

(3)对研究对象所受的力进行处理，或合成或分解或正交分解。

(4)根据F合＝0或Fx合＝0，Fy合＝0列方程求解。

[精典示例]

图3 [例3] 如图3所示，与水平面夹角为30°的固定斜面上有一质量m＝1.0 kg的物体。细绳的一端通过摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧秤相连。物体静止在斜面上，弹簧秤的示数为6.0 N。求物体受到的摩擦力和支持力。(取g＝10 m/s2)

解析

物体受力情况如图所示。物体重力沿斜面方向向下的分量Gx＝mgsin 30°

＝5.0 N＜弹簧的拉力T

故摩擦力沿斜面向下。

根据共点力平衡：T＝mgsin30°＋f，N＝mgcos30°。

解得：f＝1 N，N＝53 N，方向垂直于斜面向上。

答案

摩擦力大小为1 N，方向沿斜面向下；支持力大小为53 N，方向垂直于斜面向上。

(1)解物体在三个以上共点力作用下的平衡问题，一般不选择合成法，而是选择正交分解法，既方便又不易出错。

(2)正交分解形式的平衡问题，若涉及有滑动摩擦力的一般有三个方程：一是Fx＝0，二是Fy＝0，三是f＝μN。

[针对训练2] 在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B，如图4所示。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力的大小。

图4 解析

法一

合成法

取足球作为研究对象，它受重力G＝mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T三个共点力作用而平衡，由共点力平衡的条件可知，N和T的合力F与G大小相等、方向相反，即F＝G，从图中力的平行四边形可求得

N＝Ftan α＝mgtan α

FmgT＝cos α＝cos α。

法二

分解法

取足球为研究对象，其受重力G、墙壁支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，将重力G分解为F1′和F2′，

由共点力平衡条件可知，N与F1′的合力必为零，T与F2′的合力也必为零，所以

N＝F1′＝mgtan α

mgT＝F2′＝cos α。

法三

正交分解法

取足球作为研究对象，受三个力作用，重力G，墙壁的支持力N，悬绳拉力T，如图所示，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将T分别沿x轴和y轴方向进行分解。由平衡条件可知，在x轴和y轴方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零。即

Fx合＝N－Tsin α＝0①

Fy合＝Tcos α－G＝0②

Gmg由②式解得T＝cos α＝cos α

代入①得N＝Tsin α＝mgtan α。

mg答案

cos α

mgtan α

1．关于物体的平衡，下列说法正确的是(

)

A．如果物体所受合力等于零，则一定处于静止状态

B．如果物体所受合力等于零，则一定处于匀速直线运动状态

C．只要物体速度等于零，物体就处于平衡状态

D．如果物体受到共点力作用而处于平衡状态，则合外力一定为零

解析

物体所受合力等于零，则物体处于静止状态或匀速直线运动状态，因此，A、B均错；物体速度为零时，合力可能不为零，如竖直上抛物体到达最高点的瞬间，故C错。

答案

D

2．某同学为体验所学知识，做了如图5所示的实验。他让铅笔保持水平，铅笔尖B顶在手心，手掌保持竖直，用细线OA的A端系在手指头上，另一端O与铅笔头相连并打结，用细线OC的O端与铅笔头相连并打结，C端连接一钩码．两细线与铅笔都处于同一竖直平面上，A、B在同一竖直线上，整个装置都处于静止状态。已知AO＝20 cm，BO＝16 cm，忽略细线和铅笔的质量，钩码质量m＝90 g，g＝10 m/s2。则铅笔尖对手心的压力大小是(

)

图5 A．0.9 N

B．1.2 N

C．1.6 N

D．2.0 N

解析

结点受到绳子OC向下的拉力和绳子AO的拉力、杆子的作用力，如图．TCmg164＝mg，根据合成法，结合几何知识得：F＝tan θ，cos θ＝20＝5，故θ＝37°，故mgF＝tan 37°＝1.2 N。

答案

B 3．如图6所示。一个与竖直方向间夹角α＝30°的斜向推力F能使一块重G＝100 N的物体贴着光滑的竖直墙面匀速上行，则推力F大小为多大？此时墙受到的压

力N大小为多大？

图6 解析

以A为研究对象，受力如图所示，建立直角坐标系，

由平衡条件知：N＝Fsin 30°①

Fcos 30°＝G②

①②联立得F＝115.5 N，N＝57.7 N；

由牛顿第三定律知墙受到的压力大小是

N′＝N＝57.7 N。

答案

115.5 N

57.7 N 4．如图7所示，质量为m的物体在恒力F作用下，沿水平天花板向右做匀速直线运动。力F与水平方向夹角为θ，重力加速度为g。求物体与天花板间的动摩擦因数μ。

图7 解析

对物体受力分析，将推力F正交分解，如图

根据共点力平衡条件得：

水平方向：Fcos θ－f＝0 竖直方向：Fsin θ－N－mg＝0 则物体受到摩擦力大小为f＝Fcos θ。

支持力为N＝Fsin θ－mg

由f＝μN可得

μ＝答案

Fcos θ。

Fsin θ－mgFcos θ

Fsin θ－mg

基础过关

1．物体在共点力作用下，下列说法中正确的是(

) A．物体的速度在某一时刻等于零，物体就一定处于平衡状态

B．物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态

C．物体所受合力为零，就一定处于平衡状态

D．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态

解析

处于平衡状态的物体，从运动形式上看是始终处于静止或匀速直线运动状态，从受力上来看，物体所受合力为零。

答案

C 2．重60 N的物体放在水平地面上，现用35 N的竖直向上的拉力提物体，则物体所受的合力是(

) A．25 N B．95 N C．0 D．因为不知物体所处状态，故无法判断

解析

物体受到的竖直向上的拉力小于重力，物体还受到支持力作用，在三力作用下处于平衡状态，故合力为0。

答案

C 3．物体同时受到同一平面内三个共点力的作用，下列几组力的合力不可能为零

的是(

) A．5 N、7 N、8 N

C．1 N、5 N、10 N

B．5 N、2 N、3 N D．10 N、10 N、10 N 解析

三力合成，若前两个力的合力可与第三个力大小相等、方向相反就可以使这三个力合力为零，只要使其第三个力在其他两个力合力范围内，就可能使合力为零，即第三个力F3满足：|F1－F2|≤F3≤F1＋F2。

分析选项A、B、C、D各组力中前两个力合力范围，只有C中的三个力不满足上述关系，即选项C中的三个力的合力不可能为零。

答案

C 4．如图1所示，木块在拉力F作用下，沿水平面向右做匀速直线运动，则力F与摩擦力的合力方向一定是(

)

图1 A．向上偏右

B．向上偏左

C．向左

D．竖直向上

解析

物体受重力、支持力、拉力F、摩擦力四个力作用而平衡，由共点力的平衡条件可知，拉力F与摩擦力的合力一定与重力和支持力的合力等大反向，即竖直向上，D项对。

答案

D 5．(多选)如图2所示，用两根细线把A、B两小球悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接A、B两小球，然后用某个力F作用在小球A上，使三根细线均处于直线状态，且OB细线恰好沿竖直方向，两小球均处于静止状态。则该力可能为图中的(

)

图2 A．F1

B．F2

C．F3

D．F4

解析

因为BO处于竖直方向，所以B只受重力和竖直绳OB的拉力，绳AB没

有力的作用，故而可知A球只受三个力的作用：重力、绳OA的拉力、外力。根据平衡条件，A所受合外力为零，即绳OA的拉力与重力的合力一定与第三个力是一对平衡力。绳OA拉力大小不确定，所以其与重力的合力可能范围在两力的夹角内，那么外力的范围是该角的对顶角，综上B、C两项正确。

答案

BC 6．用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图3所示。已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为(

)

图3 31A.2mg，2mg

31C.4mg，2mg

13B.2mg，2mg

13D.2mg，4mg

解析

以结点c为研究对象，受到三个拉力作用，作出受力分析图，整个装置静止，则重物对c点拉力F等于重物的重力，根据平衡条件得

3Fac＝Fsin 60°＝mgsin 60°＝2mg

1Fbc＝Fcos 60°＝mgcos 60°＝2mg

答案

A 7．(多选)如图4所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角为45°，日光灯保持水平，所受重力为G，下列说法正确的是(

)

图4

A．两绳对日光灯的合力大小为G

B．两绳的拉力和重力不是共点力

22C．两绳的拉力大小分别为2G和2G

11D．两绳的拉力大小分别为2G和2G

解析

两绳的拉力的作用线与重力的延长线交于一点，这三个力为共点力，B错误；对日光灯受力分析如图所示，

由平衡条件知，两绳拉力F1和F2的合力与重力等大反向。由力的矢量三角形知22Fsin 45°＝G，解得F＝2G，A、C正确，D错误。

答案

AC 8．(多选)如图5所示，质量为m的物体在与水平方向成α角的拉力作用下做匀速直线运动，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，则物体所受摩擦力的大小为(

)

图5 A．Fcos α

C．μmg

B．Fsin α

D．μ(mg－Fsin α)

解析

以质量为m的物体为研究对象，受力分析如图所示

根据平衡条件得：水平方向上

Fcos α＝f，选项A正确；

竖直方向上Fsin α＋N＝mg，

又f＝μN＝μ(mg－Fsin α) 知D正确。

答案

AD 能力提升

9．(多选)我国国家大剧院外部呈椭圆型，屋顶可视为半球形。一警卫人员为执行安保任务，须在半球形屋顶上向上缓慢爬行，如图6所示，则他在向上爬的过程中(

)

图6 A．屋顶对他的支持力变大

B．屋顶对他的支持力变小

C．屋顶对他的摩擦力变大

D屋顶对他的摩擦力变小

解析

警卫人员缓慢爬行时受力平衡，分析受力如图所示，由力的平衡条件得f＝mgsin θ，N＝mgcos θ，随着向上爬行，角度θ在不断减小，因此摩擦力f减小，支持力N增大。

答案

AD 10．(多选)如图7所示，质量为m、横截面为直角三角形的物块ABC，∠BAC＝α，AB边靠在竖直墙面上，F是垂直于斜面AC的推力。物块与墙面间的动摩擦因数为μ，现物块静止不动，则(

)

图7

A．物块可能受到4个力作用

B．物块受到墙的摩擦力的方向一定向上

C．物块对墙的压力一定为Fcos α

D．物块受到摩擦力的大小等于μFcos α

解析

对物块受力分析可知物体可能受摩擦力也可能不受摩擦力，受摩擦力时可能方向向上，也可能向下。由水平方向的平衡知C项正确。

答案

AC 11．人站在自动扶梯上随扶梯匀速上升，如图8所示，下列说法中正确的是(

)

图8 A．人所受合力方向同图中速度的方向

B．人在水平方向受到向右的摩擦力的作用

C．人只在竖直方向受力且合力为零

D．人在竖直方向所受合力不为零

解析

由于人匀速上升，处于平衡状态，所以人所受的合力一定为零，在水平方向不受力的作用。否则，与人所处的状态就是矛盾的。

答案

C 12．如图9所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线和水平线的m2夹角为α＝60°，求两个球的质量比m。

1

图9

解析

选取m1为研究对象，受力分析如右图所示。根据碗口光滑可知，m1受到的拉力F等于m2的重力m2g，由几何知识可得F和N与竖直方向的夹角θ＝30°，利用正交分解法可知Fcos 30°＋Ncos 30°＝m1g

Fsin 30°＝Nsin 30°

又F＝m2g

m23由此可以解出m＝3

13答案

3

13．如图10所示，表面光滑、重量为G的尖劈插在A、B之间，在尖劈背上加一压力F，求

图10 (1)尖劈对A侧的压力大小；

(2)尖劈对B侧的压力大小。

解析

将尖劈受到的重力G和外力F按照两个方向进行分解，如图所示。

(1)尖劈对A侧的压力

GFA＝G1＋F1，其中G1＝sin α

G＋FFF1＝sin α，代入可得FA＝sin α

(2)尖劈对B侧的压力FB＝G2＋F2

GF其中G2＝tan α，F2＝tan α

G＋F代入可得FB＝tan α

G＋FG＋F答案

(1)sin α

(2)tan α

14．如图11所示，一质量为6 kg的物块，置于水平地面上。物块与地面的动摩擦因数为0.5，然后用两根绳分别系在物块的A点和B点，A绳水平，B绳与水平面成37°，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8, g取10 m/s2

图11 (1)逐渐增大B绳的拉力，直到物块对地面的压力恰好为零，则此时A绳和B绳的拉力分别是多大？

(2)将A绳剪断，为了使物块沿水平面做匀速直线运动，在不改变B绳方向的情况下，B绳的拉力应为多大？

mg解析

(1)FA＝tan θ＝80 N mgFB＝sin θ＝100 N (2) 水平方向：f＝

FBcos θ

竖直方向：FBsin θ＋N＝mg

得N＝mg－

FBsin θ，f＝μN

得FBcos θ＝μ(mg－FBsin θ)

FB＝27.3 N 答案

(1)80 N

100 N

(2)27.3 N 15．如图12所示，物体A置于水平桌面上，物体B的重力为6 N，物体A、B均处于静止状态，绳OA水平，绳OC与水平方向成37°角。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2。

图12 (1)求绳OC中的拉力的大小；

(2)求物体A受到的摩擦力的大小；

(3)若物体A与水平桌面间的最大静摩擦力为10 N，为使物体A、B保持静止状态，则物体B的重力不能超过多大？

解析

(1)根据物体平衡条件得，FCsin 37°＝GB

GB则FC＝sin 37°＝10 N (2)根据物体平衡条件得

FCcos 37°＝FA

解得FA＝8 N 物体A在水平方向受到的摩擦力f大小与绳OA拉力大小相等f＝FA＝8 N (3)绳OA中的最大拉力

FAm＝Fm＝10 N GBm根据物体平衡条件得F＝tan 37°

Am解得GBm＝FAmtan 37°＝7.5 N 答案

(1)10 N

(2)8 N

(3)7.5 N