2.7 正方形优质课一等奖

课题

2.7

正方形

授课人

1.理解正方形的概念及正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系．

2．探索正方形的性质定理，并会根据其性质去判定一个四边形是正方形，能根据正方形的性质进行有关计算与证明等．

3．了解正方形既是中心对称图形又是轴对称图形.

培养学生认识由“一般到特殊”的方法去解决问题的思考.

1.通过分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质，加强它们之间的区别与联系的认识，提高学生综合解决问题的能力．

2．利用正方形的性质去解决相关的计算与证明问题.

1.在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激情感态度

发学生学习数学的热情．

2．进一步加深对“从特殊到一般”的认识，培养从探究正方形性质的过程中，进一步发展学生合理的推理能力.

知识技能

教

学

目

标

数学思考

问题解决

教学

正方形性质及与平行四边形、矩形、菱形之间的联系.

重点

教学

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质之间的灵活运用.

难点

授课

类型

教具

教学

步骤

回顾

活动

一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

装修房子铺地面的瓷砖，大多是正方形的形状，它是什么样的四边形？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？

本课将进行讲述．

【探究1】

正方形的定义和性质

采用教材P72的“观察”对平行四边形、菱形、矩形三者之间的关系提出问题．

得出：

正方形的性质1：四条边都相等，四个角都是直角．

归纳：正方形既是矩形又是菱形，还是平行四边形．

用学生比较熟悉的正方形物体入手，容易引起学生的注意，激发全体学生的学习热情，提高学习效率.

让学生在图形的认识中，结合小学所学知识，感知正方形与平行四边形、矩形、菱形三者之间的关系，体会到正方形也是特殊的矩形、菱形，所以它具有这些图形的所有性质，从中归纳出正方形的性质与判定方法，使学生理解矩形、菱形、正方形之间的联系1 新授课

课时

直尺、三角板(多媒体：PPT课件、几何画板)

教学活动

师生活动

设计意图

通过复习，激励学生采用类似的学1.复***行四边形、矩形、菱形的定义及性质．

习方法去学习正方形，同时汇集所2．复***行四边形、矩形、菱形的对称性．

有信息，有利于正方形的教学. 活动

二：

实践

探究

交流

定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四新知

边形叫作正方形．

关系示意图：

与区别，体验事物之间是相互联系但又是有区别的.

图2－7－16 性质2：正方形的对角线相等，且互相垂直平分．

根据菱形及矩形的性质，我们可以得到正方形的对称性：

正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．

正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线以及过每一组对边的中点的直线都是它的对称轴．

【探究2】

判定正方形的方法

学生活动：小组讨论探究正方形的判定方法．

教师活动：教师在各组中巡回引导学生进行质疑、解惑，共同分析、讨论、交流得出以下基本方法：

(1)先判定四边形为矩形，再由矩形转化为正方形，其中需证明的是：矩形有一组邻边相等．

(2)可以先判定四边形为菱形，再由菱形转化为正方形，其中需证明的是：菱形有一个角为直角．

【应用举例】

例1

[教材P73例1]

如图2－7－17，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F. 求证：DE＝DF. 在应用的基础上多角度、开放性活动

三：

开放

训练

体现

应用

图2－7－17

图2－7－18 AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠BAE＋∠OBA＝90°.又∵∠FBC＋∠OBA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF(同角的余角相等)．在△ABE和△BCF中，∴∠ABE＝∠BCF，AB＝BC，∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BE＝CF. 变式二

如图2－7－19，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的大小．

解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，

AF＝AF，∴△ABF≌△AGF，∴∠BAF＝∠GAF.

图2－7－19 同理易得△AGE≌△ADE，∴∠GAE＝∠DAE，即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝

地提高，让学生广开思路，变换全面补充教材的例题单一讲解的缺失，让学生学习更完善，思路更发散，考题更具有针对性.

变式一

如图2－7－18，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，花样，综合知识，

2

1∠BAD＝45°.

2例2

[教材P73例2]

如图2－7－20，已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′＝BB′＝CC′＝DD′.

求证：四边形A′B′C′D′是正方形．

图2－7－20

图2－7－21 DA至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH. 求证：四边形EFGH是正方形．

变式三

如图2－7－21所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠EBF＝∠HAE＝∠GDH＝∠FCG.又∵BE＝CF＝DG＝AH，∴CG＝DH＝AE＝BF，∴△AEH≌△CGF≌△DHG≌△BFE，∴EF＝FG＝GH＝HE，∠EFB＝∠HEA，∴四边形EFGH为菱形．∵∠EFB＋∠FEB＝90°，∠EFB＝∠HEA，∴∠FEB＋∠HEA＝90°，∴四边形EFGH是正方形．

变式四

如图2－7－22，在矩形ABCD中，AF，BE，CE，DF分别是矩形的四个角的平分线，E，M，F，N是其交点．求证：四边形EMFN是正方形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四个内角均为90°.∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴△EBC为等腰直角三角形， 图2－7－22

∴∠E＝90°，同理∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，∴四边形MFNE为矩形．∵∠F＝∠E＝90°，∠DAF＝∠EBC＝45°，AD＝BC，∴△DAF≌△CBE(AAS)，∴AF＝BE.∵AM＝BM，∴AF－AM＝BE－BM，即FM＝EM，∴四边形MFNE是活动

正方形．

三：

变式五

如图2－7－23，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AC，过点B作BF⊥DE，交线段DE的延长线于点F，过点C作CG⊥AB，开放

AB的中点，训练

交BF于点G，如果AC＝2BC. 体现

应用

图2－7－23 求证：(1)四边形BCDF是正方形；

(2)AB＝2CG. 证明：(1)∵D，E分别是边AC，AB的中点，∴DF∥CB.

∵∠ACB＝90°，

∴CD⊥DF.

又∵BF⊥DF，∴四边形BCDF为矩形．

在应用的基础上多角度、开放性地提高，让学生广开思路，变换花样，综合知识，全面补充教材的例题单一讲解的缺失，让学生学习更完善，思路更发散，考题更具有针对性.

3

又∵AC＝2BC，∴DC＝BC，∴矩形BCDF为正方形．

(2)易证△CBG≌△ADE，∴CG＝AE.又∵E为AB的中点，∴AB＝2AE＝2CG.

【拓展提升】

例3

如图2－7－24，已知在正方形ABCD中，AB＝10厘米，点E在AB边上，BE＝6厘米．

加强学生的应考，培养它们对图2－7－24 (1)如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，则经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？

考题的综合分析，让他们提前进行综合探究，使得学生在综合应用中快速提高.

解：(1)①全等．理由：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝4×1＝4(厘米)．∵在正方形ABCD中，AB＝10厘米，∴PC＝BE＝6厘米．又∵∠B＝∠C，∴△BPE≌△CQP.

②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，∴△BPE≌△CPQ，则BP＝PC，而BP加强学生的应5活动

＝4t，CP＝10－4t，∴4t＝10－4t，∴点P，Q运动的时间t＝秒，考，培养它们对4三：

考题的综合分6析，让他们提前开放

∴点Q的运动速度为v＝＝4.8(厘米/秒)．

5进行综合探究，训练

4体现

(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得4.8x－4x应用

7575＝30，解得x＝.∴点P共运动了×4＝150(厘米)，

22∴点P，Q在A点相遇，

75∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．

2当堂训练：P74练习T1，T2. 活动

作业布置：P74习题2.7A组T1，T2，B组T3. 四：

课堂

总结

反思

【知识网络】

当堂检测，及时反馈教学效果，以便查漏补缺.

归纳总结本节教学内容，对学生的证题思路起到引路的作

4 使得学生在综合应用中快速提高.

用.

【教学反思】

①[授课流程反思]

导入的整体设计合理，从教学实际出发，采用复习与变化方式结合，突出以后会用到解题所必需的思路，实现提前铺垫，为证明服务．

②[讲授效果反思] 本节课总结正方形的性质与判定，实际是结合平行四边形、实现教学反思，及时活动

矩形、菱形性质和判定的综合应用，使学生感受到了正方形完善教学内容，订正四：

与它们之间内在的联系，让学生在学习中突破解题的层次与教学法，修改出优秀课堂

步骤关系. 的教学案例，实施创总结

③[师生互动反思] 反思

新的课堂. 教学中通过师生互动，归纳总结，让学生全面了解到正方形的性质与判定，并结合实例理解正方形的特殊性，从而更加印象深刻，不过作为应用，本课解题由于层次多，比较复杂，因此需多加训练，才能熟能生巧．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________

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