1.2.1 平面上点的极坐标系教学设计第一课时

极坐标参数方程典练

1．(2015·课标Ⅰ，23，10分，中)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

π(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

π(2)将θ＝4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.

1由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为2.

x＝4＋5cos t，2．(2013·课标Ⅰ，23，10分，中)已知曲线C1的参数方程为y＝5＋5sin t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．

x＝4＋5cos t，解：(1)将消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，

y＝5＋5sin t即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

x＝ρcos θ，将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得

y＝ρsin θρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

22x＋y－8x－10y＋16＝0，联立C1，C2的方程22

x＋y－2y＝0，

1

x＝1，x＝0，解得或

y＝1y＝2.ππ所以C1与C2交点的极坐标分别为2，，2，.

423(2014·辽宁，23，10分)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

【解析】

(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，x＝x1，y)，依题意，得

y＝2y.1由2x1＋y21＝1y2得x＋2＝1，

22y2即曲线C的方程为x＋4＝1.

x＝cos t，故C的参数方程为(t为参数)．

y＝2sin ty22x＋＝1，x＝1，x＝0，4(2)由解得或

y＝0y＝2.2x＋y－2＝01不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为2，1，所求直线斜1率为k＝2，

11于是所求直线方程为y－1＝2x－2，

化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，

即ρ＝3.

4 sin θ－2cos θπ4．(2015·辽宁大连一模，23，10分)已知在极坐标系中点C的极坐标为2，. 3(1)求出以点C为圆心，半径为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图

2

形；

(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．

ππ解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－3或3－θ.

π由余弦定理得，AC2＝OA2＋OC2－2OA·OCcosθ－，

3π即4＋ρ2－4ρcosθ－＝4，

3π∴圆C的极坐标方程ρ＝4cosθ－.

3(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，3)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M(x，y)，∵Q(5，－3)，M是线段PQ的中点．

6＋2cos αx＝，2∴M的参数方程为

2sin αy＝2，x＝3＋cos α，即(α为参数)．

y＝sin α∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.

x＝tcos α，5．(2015·课标Ⅱ，23，10分，中)在直角坐标系xOy中，曲线C1：y＝tsin α，(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos θ. (1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

3

解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.

22x＋y－2y＝0，联立22

x＋y－23x＝0，3x＝x＝0，2，解得或

y＝0，3y＝2.33所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和，.

22(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.

因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α)．

所以|AB|＝|2sin α－23cos α|

π＝4sinα－.

35π当α＝6时，|AB|取得最大值，最大值为4.

3x＝5＋2t，6．(2015·湖南，16Ⅱ，6分，中)已知直线l：(t为参数)，以1y＝3＋2t坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

解：(1)ρ＝2cos θ等价于

ρ2＝2ρcos θ.①

将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①，

即得曲线C的直角坐标方程为

x2＋y2－2x＝0.②

4

3x＝5＋2t，(2)将代入②，

1y＝3＋2t得t2＋53t＋18＝0.

设这个方程的两个实根分别为t1，t2，

则由参数t的几何意义即知，

|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.

x＝a－2t，7．(2014·福建，21(2)，7分，易)已知直线l的参数方程为(t为y＝－4tx＝4cos θ，参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．

y＝4sin θ(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，

圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

(2)因为直线l与圆C有公共点，

故圆C的圆心到直线l的距离d＝|－2a|≤4，解得－25≤a≤25.

58．(2014·江苏，21C，10分，易)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的2x＝1－2t，参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，2y＝2＋2t求线段AB的长．

2x＝1－2t，2解：将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，得2＋t22y＝2＋2t22＝41－t，解得t1＝0，t2＝－82.所以AB＝|t1－t2|＝82.

2

5

x＝2cos t，9．(2013·课标Ⅱ，23，10分，中)已知动点P，Q都在曲线C：y＝2sin t(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．

(1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，

因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．

M的轨迹的参数方程为

x＝cos α＋cos 2α，(α为参数，0<α<2π)．

y＝sin α＋sin 2α(2)M点到坐标原点的距离

d＝x2＋y2＝2＋2cos α(0<α<2π)．

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

10·课标Ⅱ，23，10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半π轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos

θ，θ∈0，. 2(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

【思路导引】

(1)先写出直角坐标方程，再写出参数方程；(2)利用参数方程的几何意义求出点的坐标．

【解析】

(1)C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．

x＝1＋cos t，可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．

y＝sin t(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．

因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，

πtan t＝3，t＝3，

ππ33故D的直角坐标为1＋cos，sin，即，.

3322

6

(2013·辽宁，23，10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，πρcosθ－＝22. 4(1)求C1与C2交点的极坐标；

(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数x＝t3＋a，方程为b3(t∈R为参数)，求a，b的值．

y＝t＋12解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，

直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

22x＋（y－2）＝4，联立

x＋y－4＝0，x1＝0，x2＝2，解得

y1＝4，y2＝2.所以C1与C2交点的极坐标为

ππ4，，22，.

24注：极坐标系下点的表示不唯一．

(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

bbab由参数方程可得y＝2(x－a)＋1＝2x－2＋1，

b2＝1，所以

ab－2＋1＝2，解得a＝－1，b＝2.

x＝2cos α，10．(2015·黑龙江大庆二模，23，10分)已知圆锥曲线C：(αy＝3sin α为参数)和定点A(0，3)，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线AF2的直角坐标方程；

7

(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值．

x2y2解：(1)圆锥曲线C的直角坐标方程为4＋3＝1，可得F2(1，0)，

xy∴直线AF2的直角坐标方程为1＋＝1，即y＝－3x＋3.

3(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

3∵直线AF2的斜率为－3，∴直线l的斜率为3.

3x＝－1＋2t，∴直线l的参数方程为(t为参数)，

1y＝2t3212代入椭圆方程可得3－1＋t＋42t＝12，

2123整理得13t2－123t－36＝0，∴t1＋t2＝13，

123∴||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝13.

11．(2015·河南郑州质检，23，10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，xπ轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝22cosθ＋，直线4x＝t，l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆y＝－1＋22tC上不同于A，B的任意一点．

(1)求圆心的极坐标；

(2)求△PAB面积的最大值．

解：(1)由圆C的极坐标方程为

ρ＝22cos(θ＋4)，得

ρ2＝2222，

ρcos θ－ρsin θ22πx＝ρcos θ，把代入可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(xy＝ρsin θ－1)2＋(y＋1)2＝2.

8

∴圆心坐标为(1，－1)，

7π∴圆心的极坐标为2，.

4(2)由题意，得直线l的直角坐标方程为22x－y－1＝0.

∴圆心(1，－1)到直线l的距离d＝∴|AB|＝2r2－d2＝2|22＋1－1|22＝，

223（22）＋182102－9＝3.

2252点P到直线l的距离的最大值为r＋d＝2＋3＝3，

121052105∴Smax＝2×3×3＝9.

x2+t,12.【2017课标3，文22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），ykt,x2m,（m为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为直线l2的参数方程为my,k曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−2=0，M为l3与C的交点，求M的极径. 22【答案】（1）xy4(y0)；（2）5

【解析】试题分析：（1）利用加减消元法将直线l1，l2的参数方程化为普通方程，再消去k得C的普通方程，注意去杂，（2）先根据xcos,ysin

将l3化为直角坐标方程32x2与x2y24联立方程组解得，再根据2x2y2得M的极径. xy2，y22

9

32xxy22

，

联立2得2xy4y22222∴xy1825，

44∴l3与C的交点M的极径为5.

13. 【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x3cos在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，ysin以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin()22．

4（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标. x2y21，C2的直角坐标方程为xy40；【答案】（Ⅰ）C1的普通方程为（Ⅱ）331(,)．

22【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程普通方程，利用公式cosx与siny代入曲线C2的极坐标方程即可；（Ⅱ）利用参数方程表示出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立|PQ|d()的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点P坐标即可．

10

x2y21，C2的直角坐标方程为xy40. ……5试题解析：（Ⅰ）C1的普通方程为3分

（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()|3cossin4|2|sin()2|. 32………………8分

当且仅当2k6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(,). ………………10分

14【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l的参数方程是3122xtcos（t为参数）, l与C交于A,B两点，ytsin|AB|10，求l的斜率．

【答案】（Ⅰ）12cos110；（Ⅱ）215. 3试题解析：（I）由xcos,ysin可得C的极坐标方程12cos110.

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)

由A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得

2212cos110.

11

于是1212cos,1211,

|AB||12|(12)2412144cos244,由|AB|10得cos2来源学优高考网

,tan3815，

3所以l的斜率为1515或. 3315【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

xacost在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为错误！未找到引用源。（t为参数,ay1asint＞0）．

在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=4cos. （I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；

（II）直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．

【答案】（I）圆,22sin1a20（II）1 【解析】

xacost试题分析：⑴先把化为直角坐标方程,再化为极坐标方程；

⑵C2：y1asintx22y24,C3：y2x,C1,C2方程相减得4x2y1a20,这就是为C3的方程,对照可得a1. 试题解析：⑴

xacost2

（t均为参数）,∴x2y1a2

①

y1asint1为圆心,a为半径的圆．方程为x2y22y1a20

∴C1为以0，∵x2y22，ysin,∴22sin1a20

即为C1的极坐标方程

12

16.【2017课标II，文22】

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4。

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为(2,23)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值。

2【答案】(1)x2y4x0；

(2)

23。

【解析】

试题分析：(1)设出P的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程2为x2y4x0；

2(2)利用(1)中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得△OAB面积的最大值为23。

（2）设点B的极坐标为B,B0,由题设知OA2,B4cos,于是△OAB面积

13

S1OABsinAOB24cossin3

32sin23223。当12时，S取得最大值23。

所以△OAB面积的最大值为23。

x3cos,17.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参ysin,数），直线l的参数方程为

xa4t,（t为参数）．

y1t,（1）若a1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a．

【答案】（1）(3,0)，(【解析】

试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点(3cos,sin)，由点到直线距离公式求参数．

2124,)；（2）a8或a16．

2525

14

当a4时，d的最大值为a9a917，所以a8；

．由题设得1717a1a117，所以a16．

．由题设得1717当a4时，d的最大值为综上，a8或a16．

15