小结与思考第一课时教学设计

中考数学压轴之阿氏圆模型教案

PB的最小值。

教学目标：理解阿氏圆定义，构造子母三角形相似，会求形如AP+12教学重点：掌握构造子母三角形相似的方法，阿氏圆问题的解答步骤。

教学难点：灵活构造子母三角形相似。

教学过程： 1.定义教学：阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：

PC=k (k不等于1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹PB最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A"型相似(也叫"母子型相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。

在几何画板上观察下面的图形，当P在在圆A上运动时，PC、PB的长在不断的发生变化，但PC的比值却始终保持不变。

PB解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。

APAC=如图，在△APB的边AB上找一点C，使得，则此时△APC∽△ABP。

ABAP

母子型相似（共角共边）

P

ACB

那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目: A

2.

例题讲解：已知∠AOB=90°，OB=4,OA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点. 已知平面上两定点C、B，则所有满足11求：①AP+BP的最小值为 ②

AP+BP的最小值为 23POCBPCOPOC===k（相似比）

第（1）问解题基本步骤：构造△OPC∽△OBP,则

BPOBOP①分别连接圆心O与系数不为1的线段BP的两端点，即OP，OB; ②计算OP1OP半径=（的值，则

k=）

OB2圆心到定点的距离OB1OC=k得：OC=OP（相似比×半径）

2OP③计算OC的长度，由1④连接AC，当A、P、C三点共线时，AP+BP=AP+PC=AC

2⑤计算AC的长度即为最小值.

1

总结归纳：“阿氏圆”的解答步骤

第一步：连接圆心和动点O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连），则连接OP,OB 第二步：计算出所连接的两条线段OP,OB的长度. 第三步：计算出这两条线段的比OP =k . OB第四步：在OB上取点C,使得OCOP=. OPOB第五步：连接AC,与圆O交点即为点P. 当堂练习：

1、已知⊙O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点，

试求

C

AO2PC+PD的最小值

D2PB2、已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求

y1AP+BP的最小值

2B

P

OAx

3、已知点A(-3,0)，B（0,3），C（1,0），若点P为⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，

1（1）AP+BP的最小值; 4（2）SPAB的最小值.

B

P

AOxC

4、如图1，在平面直角坐标系xoy中，半⊙O交x轴与点A、B(2,0)两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD=2，BC=7. (1)求OD的长；

（2）如图2，若点P是半⊙O上的动点，Q为OD的中点.连接PO、PQ. ①求证：△OPQ∽△ODP; ②是否存在点P，使PD+2PC有最小值，若存在，试求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

2 y

5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，11求PD+PC的最小值和PD-PC的最大值. 22(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么22PD+PC的最小值为 ；PD-PC的最大值为 33（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2.点P是圆B上的一个11动点.那么PD+PC的最小值为 ；PD-PC的最大值为 22

课后作业：

6、（2016年＊

济南28题）如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

C6（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若1＝，求m的値；

C25（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连2接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．

3yPByPBMMNANE'xAxOEOE第28题图1

3 第28题图2

27、（2017年＊遵义27题）如图，抛物线y=ax+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=816x+．

93（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；

（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；

i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

ii：试求出此旋转过程中，（NA+

NP始终保持不变，若存在，NB3NB）的最小值．

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