成比例线段与比例的基本性质教学设计第一课时

比例线段及比例的基本性质

教学目标

1．理解比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项

2．掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例

3．培养学生将比例式看成是关于末知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题

教学重点和难点

重点是比例线段的概念及基本性质的应用；难点是应用比例的基本性质进行比例变形

教学过程设计

一、复习四个数成比例的有关知识

1四个数a，b，c，d成比例的定义，比例的项、内项及外项的含义

2比例的基本性质的内容

二、类比联想、定义比例线段的有关概念

1复习两条线段的比的有关知识

投影：如图5-4，矩形ABCD与矩形ABCD中，AB=50，CD=25，AB=20，CD=10求ABA'B'及''的值，并回答它们的大小关系

出BCBCABA'B'2''由此引出比例线段的概念

答：BCBC12用类比的方法学习比例线段的概念

（1）比例线段的概念

在四条线段中，如果其中两条线段比等于另外两条线段比，那么这两条线段叫做成比例线段，简称比例线段

（2）比例线段的符号表示及有关名称

①

四条线段 a，b，c，d成比例，记作ab=c d 组成比例的项是a，b，cd，其中比例外项为a，b，比例内项为b，c，d称为a，b，c的第四比例项

②

特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同，即ab=c d 则线段b叫a，c的比例中项

③

（3）教师应强调四条线段才能成比例，而且有顺序关系

ABB'C'如图5-4中，，即AB，BC ，BC，AB四条线段不成线段，而AB，BC，BCA'B'AB ,BC四条线段成比例

三、比例的基本性质的证明及应用

教师应指出，将四条线段成比例转化成四条线段的长度成比例，它具有数的成比例的所有性质，本节先学习比例的基本性质对于线段的应用

1比例的基本性质的内容及推导

（1）

内容：acadbc

bd

1

（2）

特例：abb2ac

bc（3）

说明：①引导学生根据等式的性质从正、反两方面进行证明②教师强调,它的作用是将等积式与比例式互化,由于线段的长度都是正数,因此由一个等积式可得到八种比例式. 2.比例基本性质的应用应用（1）

判断四条线段是否成比例：将已知四条线段按大小顺序排列，如abcd ，若最长（a）和最短（d）的两条线段长之积等于其余两条线段长（b,c）之积，则这四条线段a，b，c，d成比例

例１

判断下列四条线段是否成比例

①

a=2，b=5,c=15，d=23；

②

a=2，b=3, c=2，d=3；

③

a=4，b=6, c=5，d=10；

④

a=12，b=8, c=15，d=10

说明：教师示范一个例子，其余请学生来巩固练习

如第①题排序时，将a改写成4，d改写成12

ab＜b＜d＜c，而ac＝4×15；bd=5×12，ad=bd，

a，b，c，d四条线段成比例

答案：②不成比例；③不成比例；④b，d ，a，c四条线段成比例

应用（2）按要求将等积式改写成比例式

教给学生等积式化比例式的方法按照分类讨论的思想以及“内项积等于外项积”，同时可写出8个比例式，也可根据需要写出其中某一个比例式，要求学生熟练掌握这种比例变形

例2已知：ad=bc

（1）

将其改写成比例式；

（2）

写出所有以a，d为内项的比例式；

（3）

写出使b作为第四项比例项的比例式；

（4）若ab；写出以c作第四比例项的比例式；

cd分析：教给学生等积式化比例式的方法

（1）分类讨论认准等积式中的一条线段，它可以在比例的内项、外项共四个位置出现，以a为例：

,,a,

aaa(2)找出与a作乘积的项d，放在相应位置上

 a,dad,da,d

a (3)写出其余两项，分别有两种情况，同时交换比例的内项或外项，共可得到八个比例式：

①c②ab

③bd

④cd

⑤bd

⑥cd

⑦abdcdcbcbaaaac

⑧db

dbaca解(1)见分析(3)(2)

2

(4)可以先将比例式化为等积式ab=bc，转化为第(3)题再处理，也可以这样处理：①直接同时交换每个比的前项和后项，②交换比例的内项或外项.

应用(3)检查所作的比例变形是否正确，把比例式化为等积式，看与原式所得的等积式是否

桢即可. 如将acac变形为，由于各自可化为等积式ad=bc，ad=cd，它们不相等，因此所bddb作的比例变形不正确. 四、应用举例、变式练习

例3 计算. (1)已知：x∶y=5∶4，y∶z=3∶7.求x∶y∶z. (2)已知：a，b，c为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-d)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长. 分析：将比例式转化为方程(或方程组)来解决问题. 第(1)题可将已知分别看成含同一字母y的方程，表示出x=1∶575y，z=y，得x∶y∶z=∶4347=15∶12∶28.或利用分数的基本性质，将两个比例式中y的对应项系数化成它们的3最小公倍数，如x∶y=5∶4=15∶12，y∶z=3∶7=12∶28，得出x∶y∶z=15∶12∶28. 第(2)小题可将比例式改为两个等积式，结合周长得到关于a，b，c的三元一次方程组；

例4 在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m，同时，高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么，古塔的高是多么米? 分析：

(1)利用比例的知识测量不可直接到达的物体的高度，是比例的很重要的一个应用；

(2)“相同时刻的物高与影长成比例”的实际含义是指同一时刻，两物体的高与它们对应的影长的比相等；

(3)列出比例式，得到关于古塔高度的方程求解(古塔高为30m). 例5(选用)已知：如图5-5，ABBE，AB=10cm，AD=2cm，BC=7.2cm，E为BC中点.求ADEFEF，BF的长.(答：0.72cm，2.88cm) 分析：应着重培养学生的分析能力，分析图中哪些线段可知长度，并列出关于一个末知数的方程来解决问题. 练习

课本第204页第1，2题.

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补充练习

如图5-6，AG·BC=DE·AH.(1) 写出由以上等积式得到的八个比例式；(2)若DE=12，BC=15，GH=3.求AH的长.(15) 五、师生共同小结

在学生尝试总结的基础上，教师强调：

1.比例线段的有关概念和注意事项. 2.比例的基本性质的内容.它是怎样证明的?有哪些应用?应用时有哪些需要注意的问题? 3.将比例式看成方程解决问题的观点. 六、作业

课本第207页第4题,第203页第1,2,3题. 1.成比例线段的顺序性课本虽然强调了，但学生体会不深，需要教师课堂举例让学生理解透彻,而且如何判断四条线段成比例，最好教给学生切实可行的措施. 2.比例的基本性质是后边证明三角形相似以及证明等积式、比例式经常用到的基础知识，教师应教给学生如何熟练利用性质进行比例变形，如何检查变形是否正确.例如根据需要化乘积式为比例式的方法，使学生能逐渐熟练巩固这些性质，为后边“相似三角形”的学习扫清障碍，打好基础.

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