用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程ppt配套教案和课堂实录

佛山市顺德区陈惠南纪念中学 袁香

北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》

2.2用配方法求解一元二次方程（第二课时）

教学设计

佛山市顺德区陈惠南纪念中学 袁香

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学***方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。

学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。另外任教学生的基础比较好，学习能力比较强，对数学的兴趣也很浓厚。

二、教学任务分析

在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”

为此，本节课的教学目标是：

①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；

②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；

③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力. 教学重难点：

重点：掌握配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，能利用一元二次方程解决有关的实际问题

难点：对配方法的理解和拓展，为二次函数的配方奠定基础，体会恒等变形的精髓。

三、教学设计分析

教学环节

教学流程与教师活动

用配方法解方程：x2 + 6x + 8 = 0

2.思考：主要步骤有哪些？

3.若在二次项前添上系数2，即2x2 + 6x + 8 = 0 ，

你会求吗？

教师采用问题式教学，让问题引领着学生不断探索下去

学生活动与设计意图

学生5分钟完成计算和思考，并且小组内交流，一个小组代表发言。问题3学生代表说出方法，

大家认可后进入下一环节。

自

主

惠

学

例3：解方程：3x2+8x―3=0

分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。

8解：两边都除以3，得：

x2+

x―1=0 38移项，得：x2+

x = 1 3844配方，得：x2+

x+(

)2= 1+(

)2

333（方程两边都加上一慧

次项系数一半的平方）

心

45导

(x+

)2=(

)2

33引

45即：x+

=±

33

1所以x1=

，x2=―3 3思考：你的解答过程与课本38页的过程有何联系与区别？

教师在ppt上展示书本的解题过程，要求学生对着自己练习卷上自己的解答过程找异同，引发积极思考和对恒等变形的思考。

例4.一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹，它在空中的高度h (m)与时间

t (s)满足关系：h=15t - 5t2.小球何时能达到10m高？

解：将

h = 10代入方程式中.

15t - 5t2 = 10.

两边同时除以-5,得

：

t2 - 3t = -2, 解得：

t1=

2 ,

t2 =

1

即在1s或2s时，小球可达10m高. 学生独立解决并思考总结出两点：1.用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；

（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（4）用直接开平方法求出方程的根。

2.自己的方法与课本上的联系与区别在于：我们是先移项在配方，而书本上是先配方再移项，总而言之要保证恒等变形。

1.

学生独立完成问题不大，但是对于两个根取舍的情况不太理解，提出问题基本上学生层面解决不了，需要老师出马给予解释“竖直上抛h=10m，在上升和下降的两个过程都存在”故两个解都符合题意

2.

注意区别方程的配方和代数式的配方；通过配集

慧

解

惑

将h = 10代入公式求解方程问题不大，就是对于两个根的实际意义不太理解，老师需要对竖直上抛运动做解释来说明这两跟都符合题意。

例5.

试用配方法说明：不论k取何实数，多项式

k2－4k＋5的值必定大于零。

解：原式=k2－4k＋5=k2－4k＋4—4＋5

=（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，

所以（k－2）2＋1>0. 变式：

代数式2k2－4k＋5的大小范围是多少？

（注意提二次项系数，而不是代数式除以2）

老师带着同学们一起经历二次三项式的配方，分析与方程的配方的异同，刚好与例3中的书本配方法一致，恒等变形的进一步体会。另外引导学生对平方的非负性进行应用，分析代数式的取值范围

方找代数式的取值范围。这里直接运用在第二环节中的书本上的方法进行配方。对代数式的配方并分析最值是对今后的二次函数的配方进行渗透。也是对恒等变形的加深理解.估计学生对于分析最值认识上会有些难度。

1.方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则m的值为（

）

A. 1

B.1

C.1或2

D.1或-2 2.应用配方法求最值(课后面批). (1) 2x2 - 4x+5的最小值；

(2) -3x2 + 5x +1的最大值.

考虑到课堂上已经有两个例题，将问题延伸到课外，多一些带动学生与老师的沟通和交流

展

现

互

惠

1.独立思考后，进行小组交流，写下过程上台展示思路。

2.第1题学生都能独立解决，对根的理解和解方程的熟练；

第2题延伸到课后老师面批，用加德育分作为积极主动的奖励。

3.若x24xy26yz2130，求(xy)z 的值

22x2y3z20解：

利用平方与算术平方根的非负性求出x，y，z的值代入

4.已知a,b,c为△ABC的三边长，且

第3第4题属于挑战题，灵活的运用配方解决问a2b2c2abacbc0,试判断△ABC的形状. 题。学生中少部分同学在较短的时间内能解决，但1222展示的过程中会有思维解：abacbc0,

2的碰撞，问题的产生想，这里的思维开拓针对配方的妙用，老师在学生中寻找一点典型学生的合作交流产生非的作答，有思维误区或解答非常好的范例，“怂恿”学生上台展常好的效果

示，引发课堂另一番高潮

。



惠

化

亮

人

四、教学反思

一.说说我们的问题

1.已解决的问题

2.新发现的问题......

二.说说我们的收获。

1.方法上的.......

2.思想上的......

老师要注重培养学生的总结提升的习惯，尽可能的留3分钟以上的时间来落实这个环节。

学生想一想在小组内说一说，然后小组代表起来说，相互补充，完善。培养学生的问题意识，归纳总结的好习惯

1.创造性的运用了教材。

整合了配方在初中阶段的用处，强调了无论方程还是代数式的变形都要遵循恒等变形。本节课重视了基础的夯实，又开拓了视野，训练了思维。

2.学生参与度高。

问题层层递进，具有梯度性，引发学生深思和展示的欲望，也给了学生展示的机会。

3.重视学生的思维发展过程. 鼓励学生独立思考、小组合作进行探索，面对难度较大的题目，教师不急于一手包办，而是充分鼓励学生上台展示自己的思路，重在培养学生的能力.相比起一味的讲解，学生自己通过思考、练习、讲解，从而进行内化，对知识、题目的印象都会更加深刻. 4.效果显著。大部分同学熟练了配方法解一元二次方程，同时也明白方程配方与代数式配方的区别，为今后学习二次函数的顶点配方奠定了基础。

5.要改进的地方：多一点留时间和空间让学生内化，课堂节奏的把控在最后一个环节留的时间不够，学生来不及分享收获，只是跟着老师进行课堂小结。