*5 一元二次方程的根与系数的关系教学活动设计方案

一元二次方程的根与系数的关系

教学时间

教学媒体

教

知识

技能

学

过程

课题

课型

新授

多媒体

1．熟练掌握一元二次方程的根与系数关系。

2．灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题。

3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。

学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演

方法

绎证明。

目

标

教学重点

教学难点

【教学过程】

教学程序及教学内容

一、复习引入

导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，

教师出示问师生行为

设计意图

创设问题一元二次方程的根与系数关系。

对根与系数关系的理解和推导。

情感

培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的态度

积极性，激励学生勇于探索的精神。

早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，题，引出课题学情境，激发学你能发现吗？

二、探究新知

1．课本思考。

分析：将（x- x1）（x-x²）=0化为一般形式x²-( x1

生初步了解本课生好奇心，求所要研究的问题

知欲

学生通过

通过思考+x²)x+ x1

x²=0与x²+px+ q=0对比，易知p=-( x1

+x²)，

去括号、合并得问题，让学生q= x1 x²。

即二次项系数是1的一元二次方程如果有实到一般形式的知道二次项系

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数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于一元二次方程，数为1的一元两根之积。

2．跟踪练习。

求下列方程的两根x1

、x²。

的和与积。

x²+3x+2=0； x²+2x-3=0； x²-6x+5=0； x²-6x-15=0 3．方程2x²-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？

分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形教师适时点拨，二次方程的根分析总结得到与系数关系，结论。

为后面继续研学生独自究做铺垫。

完成。

巩固上诉知识。

让学生通过探究问教师出示探题，体会从特有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，究问题，学生通殊到一般的检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什过特殊例子入认知过程，体么？

手，再通过一般会数学结论4．一般的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中的形式推导证明，的确定性。

a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题教师引导学生根中的关系吗？

据求根公式进行

加深对韦达定理的理解，培养学生的应用意识和分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算探究、交流，尝两根的和、积，得到方程的两个根x1

、x²和系数a，b，试发现结论。

c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。

求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系。

5．跟踪练习。

求下列方程的两根x1

、x²。

的和与积。

13x²+7x+2=0；3x²+7x-2=0； 3x²-7x+2=0；3x²○-7x-2=0；

25x-1=4x²；5x²-1=4x²+x ○6．拓展练习。

学生独立解能力。

决，并交流。

先观察，尝

1已知一元二次方程2x²+bx+c=0的两个根是-1，○3，试选用合适方法

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则b= ，c= 。

解题，之后交流，通过学生2已知关于x的方程x²+kx-2=0的一个根是1，则比较解法。

○另一个根是 ，k的值是 。

3若关于x的一元二次方程x²+px+q=0的两个根互○为相反数，则p= ；

若两个根互为倒数，则q= 。

分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的

学生尝试归亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性。

进一步加强对所学知识的理解和掌握。

值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母纳，师生总结。

系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数。二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项。

4两个根均为负数的一元二次方程是( ) 。

○A．4x²+21x+5=0 B．6x²-13x-5=0 C．7x²-12x+5=0 D．2x²+15x-8=0 5两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）○。

A．4x²-3=0 B．-3x²+5x-4=0 C．0.5x²-4x-3=0 D．2x²+35x-6=0

学生独立完成，教师巡回

6。若关于x的一元二次方程2x²-3x+m=0，当m ○检查，师生集体

时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 订正。

时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大。

分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关

通过归6中还需考虑m的值还系，确定方程各项系数的符号，○

纳，进一步理得受根的判别式的限制。

三、课堂训练

1．完成课本练习。

2．补充练习：

x1

，x²是方程3x²-2x-4=0的两根，利用根与系数x1x2

解韦达定理及其应用。

加强教学生归纳，学反思，帮助111；

○2x2x12x1x22

○3总结阐述，体学生养成系的关系求下列各式的值：○

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224x1x22；○5x2x1

x1x2；

○x1x2会，反思。并做统整理知识出笔记。

的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系。

四、小结归纳

本节课应掌握：

1．韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系。

2．运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；

3．韦达定理的应用常见题型：

1不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方○程的两根；

2已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数○的值；

3由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；

○4判断两个根的符号；○5不解方程求含有方程的两○根的式子的值。

五、作业设

计

选做：补充作业：已知一元二次方程x²+3x+1=0的两个根是、，求的值。



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