复习题课件配套优秀教案案例

《图形的相似》复习教案

1.了解比例的基本性质,能应用比例的性质进行简单的计算.

2.掌握平行线分线段成比例定理及推论,会用平行线判定三角形相似.

3.理解并掌握相似三角形的判定定理,并能应用判定定理解决问题.

4.探索相似三角形的性质定理,能应用相似三角形的性质进行有关计算.

5.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.

6.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.

1.结合相似图形性质和判定方法的探索和证明,进一步培养学生的合情推理能力,发展学生逻辑思维能力和推理论证能力.

2.进一步培养学生综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.

3.通过坐标系下位似图形的画法,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.

4.通过探究相似三角形在实际问题中的应用,体会建模思想,提高学生分析问题、解决问题的能力,同时培养数学应用意识.

1.通过建立与三角形相似有关的数学模型解决实际问题,培养学生数学建模思想,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.

2.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.

3.通过类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精神.

4.通过建立数学模型解决实际问题,培养学生积极进取的精神,增强学生学习数学的自信心.

【重点】

理解并掌握相似三角形的判定和性质,并能应用相似三角形的判定定理和性质进行有关计算;能够利用位似将一个图形放大或缩小;会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.

【难点】

相似三角形的判定和性质的综合运用;建立数学模型,利用相似三角形解决实际问题.

专题一

比例的基本性质的应用

【专题分析】

应用比例的基本性质可以将比例式和乘积式进行互化,即若,则ad=bc;若ad=bc,则(b,d≠0).比例的性质还有等比性质和合比性质.

如果=k(b+d+f≠0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k=

.

〔解析〕

方法1:因为=k,且b+d+f≠0,所以k=,而a+c+e=3(b+d+f),即=3,所以k=3.方法2:因为=k,所以a=bk,c=dk,e=fk,而a+c+e=3(b+d+f),即k(b+d+f)=3(b+d+f),因为b+d+f≠0,所以k=3.故填3.

[方法归纳]

当已知中出现比例连等的形式时,常直接用等比性质或设k法求解.

【针对训练1】

已知≠0,求的值.

〔解析〕

设=k,用k分别表示x,y,z,代入所求代数式化简可得结果.

解:设=k,则x=3k,y=5k,z=7k,所以=1.

[解题策略]

通过设k法,用k分别表示x,y,z的值,代入所求代数式化简,也可以应用比例的等比性质直接求解.

专题二

证明比例式或乘积式

【专题分析】

对于四条线段a,b,c,d,如果a与b的比等于c与d的比,即(ad=bc),我们就说这四条线段

叫做成比例线段,通常这四条线段的单位是一致的.证明四条线段满足的比例式或乘积式,常常利用三角形相似来求解.

如图所示,已知在ΔABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的中点,ED交AB延长线于F,求证.

〔解析〕

首先由直角三角形的性质可得ΔCBA∽ΔABD,根据相似三角形的对应边成比例,可得AB∶AC=BD∶AD,又由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,证得ED=AC=EC,可得∠C=∠EDC,则易得∠FAD=∠FDB,又∠F为公共角,可得ΔDBF∽ΔADF,则得BD∶AD=DF∶AF,则结论得证.

证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC,

∴ΔCBA∽ΔABD,

∴AB∶AC=BD∶AD,①

∠C=∠FAD,

又∵E为AC的中点,AD⊥BC,

∴ED=AC=EC,

∴∠C=∠EDC,

又∵∠EDC=∠FDB,

∴∠FAD=∠FDB,又∠F为公共角,

∴ΔDBF∽ΔADF,

∴BD∶AD=DF∶AF,②

由①②得.

[方法归纳]

证明比例式或乘积式的基本方法是证明这四条线段所在的两个三角形相似.若不能直接证明所在的三角形相似,则利用等线段或等比例进行转化.熟练掌握直角三角形中双垂直关系,及基本图形中的隐含条件(公共角等),灵活准确地判断、灵活变形、正确推理是解决这类题的关键.

【针对训练2】

(1)如图(1)所示,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF于点G,求证;

(2)如图(2)所示,若四边形ABCD是平行四边形,探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得成立?并证明你的结论.

〔解析〕

(1)根据矩形的性质可得∠A=∠ADC=90°,由DE⊥CF可得∠ADE=∠DCF,即可证得ΔADE∽ΔDCF,从而证得结论;(2)在AD的延长线上取点M,使CM=CF,则∠CMF=∠CFM.根据平行线的性质可得∠A=∠CDM,再结合∠B+∠EGC=180°,可得∠AED=∠FCB,进而可证得ΔADE∽ΔDCM,从而证得结论.

证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠ADC=90°,

∵DE⊥CF,∴∠ADE=∠DCF,

∴ΔADE∽ΔDCF,∴.

解:(2)当∠B+∠EGC=180°时,成立.

理由如下:在AD的延长线上取点M,使CM=CF,则∠CMF=∠CFM.

∵AB∥CD,

∴∠A=∠CDM,

∵∠B+∠EGC=180°,

∴∠BEG+∠FCB=180°,

∵∠AED+∠BEG=180°,

∴∠AED=∠FCB,

∵AD∥BC,∴∠FCB=∠CFM,

∵∠CMF=∠CFM,∴∠FCB=∠CMF,

∴∠CMF=∠AED.∴ΔADE∽ΔDCM,

∴,即.

专题三

相似三角形的判定与性质

【专题分析】

三角形相似的判定和性质是中考中的热点内容,常常利用相似三角形的性质证明线段相等、平行、垂直关系,也可以计算图形的周长、面积、线段的比.三角形相似的判定方法有:(1)利用平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似;(2)三边对应成比例;(3)两边对应成比例且夹角相等;(4)两角对应相等;(5)斜边和直角边对应成比例的两个三角形相似.解题时要结合图形和已知条件,选择恰当的判定方法证明三角形相似.

如图所示,在ΔABC中,D,E分别为BC,AC的中点,AD,BE相交于点G,若SΔGDE=1,求SΔABC.

〔解析〕

先求与ΔDGE相似的ΔAGB的面积,由相似比,易得SΔABG,再根据ΔAGE的AG边上的高与ΔGDE的DG边上的高相等,ΔBGD的BG边上的高与ΔGDE的GE边上的高相等,可得SΔAGE及SΔGBD,从而可以得到四边形ABDE的面积,进而得出结果.

解:∵D,E分别是BC,AC的中点,

∴DE∥AB,且DE=AB,

∴ΔAGB∽ΔDGE,∴=2,

∴=4,∴SΔABG=4,

∵ΔAGE的AG边上的高与ΔGDE的DG边上的高相等,

∴=2,∴SΔAGE=2,

同理可得SΔGBD=2,

∴S四边形ABDE=4+2+2+1=9,

∵DE∥AB,∴ΔEDC∽ΔABC,

设SΔABC=x,则,

解得x=12,即SΔABC=12.

[方法归纳]

解决三角形的面积问题,常依据相似三角形的面积比等于相似比的平方,及等高(或等底)的三角形的面积比等于底(或高)之比,根据三角形面积之间的数量关系求解三角形的面积.

【针对训练3】

如图所示,D为ΔABC的边BC上一点,DE∥AB,DF∥AC,分别交AC,AB于E,F.已知ΔCDE的面积为4,ΔBDF的面积为9,求四边形DEAF的面积.

〔解析〕

先判断出ΔCDE∽ΔDBF,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进而得出ΔABC的面积,再根据S四边形DEAF=SΔABC-SΔCDE-SΔDBF可得出答案.

解:∵DE∥AB,DF∥AC,

∴∠CED=∠A=∠BFD,∠EDC=∠ABC,

∴ΔCDE∽ΔDBF,

∴,∴,

∴,

∵DE∥AB,∴ΔCDE∽ΔCBA,

∴,

又ΔCDE的面积为4,

∴SΔABC=25,

∴S四边形DEAF=SΔABC-SΔCDE-SΔDBF=25-4-9=12.

专题四

相似三角形的应用

【专题分析】

相似三角形的知识在实际生活中有广泛的应用,这一应用是建立在数学建模和数形结合思想的基础上的,把实际问题转化为数学问题,通过求解数学问题达到解决实际问题的目的.

一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一个路灯D的高度,如图所示,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等.接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25

m.已知李明直立时的身高为1.75

m,求路灯的高CD.(结果精确到0.1

m)

〔解析〕

根据AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,得到MA∥CD∥BN,从而得到ΔABN∽ΔACD,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可.

解:设路灯的高CD为x

m,

∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,

∴MA∥CD∥BN,

又∵EA=MA,

∴EC=CD=x

m,∵BN∥DC,∴ΔABN∽ΔACD,

∴,即,

解得x=6.125≈6.1.

∴路灯高CD约为6.1

m.

[方法归纳]

利用相似三角形解决实际问题时,常通过作辅助线构造相似三角形,利用相似三角形的性质求出不能直接测量的数值.解决问题的关键是建立数学模型,将实际问题转

化为数学问题.

【针对训练4】

如图所示,小华家(点A处)和公路(l)之间竖立着一块35

m长且平行于公路的广告牌(DE).广告牌挡住了小华的视线.将盲区内的那段公路记为BC.一辆匀速行驶的汽车经过公路BC段的时间是3

s.已知广告牌和公路的距离是40

m,小华家到广告牌的距离为

m,求汽车匀速行驶的速度.

〔解析〕

作射线AD,AE分别与l相交于点B,C,然后即可确定盲区.先根据路程=速度×时间求出BC的长度,然后过点A作AF⊥BC,根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式,然后求出AF的长度,也就是小明家到公路的距离,进而求出汽车匀速行驶的速度.

解:如图所示,作射线AD,AE分别交l于B,C,

过点A作AF⊥BC,垂足为点F,交DE于点H.

∵DE∥BC,

∴∠ADE=∠ABC,

又∵∠DAE=∠BAC.

∴ΔADE∽ΔABC,∴,

由题意知DE=35

m,HF=40

m,AH=

m,

∴BC=×35÷=50(m),

∵一辆匀速行驶的汽车经过公路BC段的时间是3

s,

∴该汽车的速度为50÷3=(m/s),

m/s=60

km/h.

答:该汽车的速度60

km/h.

专题五

位似图形的画法与性质

【专题分析】

位似图形是特殊的相似图形,具有相似图形的所有性质,同时还具有性质:(1)对应点连线交于位似中心;(2)对应点到位似中心的距离比等于相似比;(3)对应边互相平行或在同一条直线上.画位似图形就是将图形放大或缩小.

如图所示,已知O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).

(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将ΔOBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;

(2)分别写出B,C两点的对应点B',C'的坐标;

(3)如果ΔOBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M'的坐标.

〔解析〕

(1)延长BO到B',延长CO到C',使OB',OC'的长度分别是OB,OC的2倍.顺次连接O,B',C'三点即可;(2)观察直角坐标系,易写出B',C'的坐标;(3)观察坐标之间的关系可得M'的坐标为(-2x,-2y).

解:(1)如图所示.

(2)B'(-6,2),

C'(-4,-2).

(3)M的对应点M'的坐标为(-2x,-2y).

[解题策略]

以原点为位似中心的位似图形的坐标变化一定要注意符号的变化,即如果两图形在原点同侧,符号相同,如果两图形在原点异侧,符号相反.

【针对训练5】

如图所示,在6×8网格图中,每个小正方形的边长均为1,点O和ΔABC的顶点均为小正方形的顶点.

(1)以O为位似中心,在网格图中作ΔA'B'C',使ΔA'B'C'和ΔABC位似,且位似比为1∶2;

(2)连接(1)中的AA',求四边形AA'C'C的周长.(结果保留根号)

〔解析〕

(1)连接AO,在AO,BO,CO上分别截取OA'∶OA=OB'∶OB=OC'∶OC=1∶2,顺次连接A',B',C',得ΔA'B'C';(2)分别求出四边形的各边长,即可求得四边形AA'C'C的周长.

解:(1)如图所示,

ΔA'B'C'即为所求.

(2)连接AA',由图知AA'=CC'=2,

在RtΔOA'C'中,OA'=OC'=2,∴A'C'=2.

同理可得AC=4.

∴四边形AA'C'C的周长为AA'+CC'+A'C'+AC=4+6.

专题六

数学思想

【专题分析】

分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想及建模思想是数学中常用的思想方法.在一些题目中由于题设的不确定或运动中点的位置的变化,解题时需要分多种情况考虑;数形结合思想可使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,是优化解题的重要途径之一;利用相似三角形的性质列方程求解,会给解题带来很大的方便;建模思想是在解决实际问题时,通过对已知和所求的分析,建立和数学知识的联系,转化为相应的数学问题,从数学的角度找出问题的答案,从而使问题得以解决的一种思想方法.

直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,在AB上取一点P,使ΔAPD与ΔBPC相似,求AP的长.

〔解析〕

ΔAPD与ΔBPC相似,没有明确指出两个三角形的各顶点间的对应关系,因此要进行分类讨论,由∠A=∠B=90°,得点A与点B对应,则可以分两类讨论,即ΔAPD∽ΔBCP与ΔAPD∽ΔBPC,然后由相似三角形的性质列方程求解.

解:可设PA的长为x(0

则PB=7-x.

当ΔAPD∽ΔBCP时,

则,即,

解得x=1或x=6.

当ΔAPD∽ΔBPC时,

,

解得x=1或6

综上所述,AP的长度为1,或6.

[解题策略]

本题中两个三角形相似,有且只有两种可能的对应关系,由∠A=∠B=90°,得点A与点B一定是两个相似三角形对应的顶点.易错点是忽略分类讨论,解题关键是利用方程思想求线段的长.

【针对训练6】

如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,BC=8

cm,5AC-3AB=0,点P从B出发,沿BC方向以2

cm/s的速度移动,与此同时点Q从C出发,沿CA方向以1

cm/s的速度移动,经过多长时间ΔABC和ΔPQC相似?

〔解析〕

由AC与AB的关系,设出AC=3x

cm与AB=5x

cm,再由BC的长,在直角三角形ABC中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,进而得到AB与AC的长,然后设出动点运动的时间为t

s,根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长,由ΔABC和ΔPQC相似,根据对应顶点不同分两种情况,列出比例式,把各边的长代入即可得到关于t的方程,求出方程的解即可得到t的值,从而得到所有满足题意的t的值.

解:在RtΔABC中,

∵5AC-3AB=0,∴5AC=3AB,

设AB为5x

cm,则AC=3x

cm,

在RtΔABC中,

根据勾股定理得AB=BC+AC,

即25x=64+9x,

解得x=2或x=-2(舍去),

∴AB=5x

cm=10

cm,AC=3x

cm=6

cm,

22222

设经过t秒ΔABC和ΔPQC相似.

则有BP=2t

cm,PC=(8-2t)

cm,CQ=t

cm,

分两种情况:

①当ΔABC∽ΔPQC时,有,即,解得t=;

②当ΔABC∽ΔQPC时,有,即,解得t=.

综上可知,经过秒或秒ΔABC和ΔPQC相似.