*5 一元二次方程的根与系数的关系教案和课堂实录

一元二次方程的根与系数的关系

目标：（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。

（2）能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；

根据方程求代数式的值。

（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问

题的能力。

重点：一元二次方程根与系数的关系。

难点：运用韦达定理解决问题。

教学方法：（1）谈话法；（2）讨论法；（3）情景教学法等。

教学流程：

一．创设情景。

同学们，我们在前面学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程的根由系数决定，这说明一元二次方程的根与系数有密切的关系，究竟有怎样的关系呢？那我们今天和大家一起来探索。好吗？

二．探索新知。

1．

请大家完成下面的表格：

方程

x1

x2

x1x2

x1x2

x2x30

2x560

22.观擦上面的规律，运用你发现的规律填空：

2（1）已知方程x-4x70的根是x1和x2，则x1x2=

；x1x2=

（2）已知方程x+3x－5=0的根是x1和x2，则x1x2=

；x1x2=

23．猜想：如果方程xmxn0的根是x1和x2，则x1x2=

；x1x2=

24．同学们，你们的猜想对不对，请同学们分组来证明你们的猜想，好吗?（合作探讨）

5．同学们展示自己的证明。

6．（教师演示）

2

如果方程xmxn0的根是x1和x2，那么x1x2=－m，x1x2=n 22

证明：方程xmxn0的△=m4n

当△=m2mm24n4n≥0时，方程的根是x1=，x22=m-m24n

2x1x2

mm24nm-m24n=+

22=m x1x2

mm24nm-m24n=

22=n 7．（分组合作）如果方程ax2bxc0(a0)的根是x1和x2，那么

x1x2=

；x1x2=

三．应用新知。

例1．

已知方程x22xc0的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。

解.设方程的另一个根是x0，则

3+x0=2

解之得x0=－1。

∵3x0=c

∴3×（－1）=c

∴c=－3

故：方程的另一个根是－1，c=－3。

2例2．

已知方程x5x60的根是x1和x2，求下列式子的值：

（1）x1x2

+

x1x2

（2）22x1x2

x2x1解.由一元二次方程根与系数的关系知：x1x2=5，x1x2=－6

（1）原式=x1x2+2x1x2－x1x2

=(x1x2)x1x2

=5－（－6）

=31 2222

xx2（2）原式=1

x1x222(x1x2)22x1x2

=

x1x252-2（-6）

=

6

=37

6

四．信息反馈。（自主练习）

21．

填空：如果方程2x4x50的两个根分别是x1和x2，则x1x2=

；

x1x2=

2．

已知方程x2ax60的一个根是2，求方程的另一个根及a的值。

五．小结。你这节课学到了什么？

六．板书设计。（略）

七．作业: 21.

填空：（1）已知方程x3x40的两个根分别是x1和x2，则x1x2=

x1x2=

2

（2）已知方程xaxb0的两个根分别是2与3，则a

，b

22．已知方程x3xc0的一个根是2，求另一个根及c的值。

23．已知方程2x4x50的两个根分别是x1和x2，求下列式子的值：

（1）（x1+2）（x2+2）

（2）x1x1x2x2

22

教学课题：22.2.4一元二次方程的根与系数关系

教学课型：新授课

教学目标：

1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系. 2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. 4.学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明

教学重点：一元二次方程的根与系数关系

教学难点：对根与系数关系的理解和推导

教学过程

一、复习引入

一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？

二、探究新知

1.课本思考

分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1

+x2)，

q= x1 x2.

即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 2.跟踪练习

求下列方程的两根x1

、x2. 的和与积. x2+3x+2=0；

x2+2x-3=0;

x2-6x+5=0;

x2-6x-15=0 3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？

分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？

4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？

分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1

、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.跟踪练习

求下列方程的两根x1

、x2. 的和与积. ①3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;

3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；

②5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x 6.拓展练习

①已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b=

,c=

. ②已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是

,k的值是

. ③若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p=

; 若两个根互为倒数，则q=

. 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项. ④两个根均为负数的一元二次方程是(

)

A.4x2+21x+5=0

B.6x2-13x-5=0

C.7x2-12x+5=0

D.2x2+15x-8=0 ⑤.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（

）

A.4x2-3=0

B.-3x2+5x-4=0

C.0.5x2-4x-3=0

D.2x2+35x-6=0 ⑥.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m

时方程有两个正根；当m

时方程有两个负根；当m

时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大. 三、课堂训练

1.完成课本练习

2.补充练习：

x1

，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①11；

x1x2②x2x1x1x2

③x1x2；

④四、小结归纳

本节课应掌握：

2222x1x22；⑤x2x1

x1x21. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系

2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；

3.韦达定理的应用常见题型：

①不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；

②已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；

③由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；

5不解方程求含有方程的两根的式子的值. ④判断两个根的符号；○

五、作业设

计

必做：P43：7 选做：补充作业：已知一元二次方程x2+3x+1=0的两个根是、，求值.

的