2.3.1 椭圆的参数方程精品学案

第二节

参数方程

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[考纲传真]

1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．

1．曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某x＝ft，个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定y＝gt的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．

2．参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yx＝ft，＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，y＝gt必须使x，y的取值范围保持一致．

3．常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹

直线

普通方程

y－y0＝tan α(x－x0)

参数方程

x＝x0＋tcos α，(t为参数) y＝y0＋tsin αx＝rcos θ，(θ为参数) y＝rsin θx＝acos φ，(φ为参数) y＝bsin φ

圆

x＋y＝r

x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)

222椭圆

温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．

1

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) x＝ft，(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(

) y＝gtx＝x0＋tcos α，(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为y＝y0＋tsin α参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为→终点的有向线段M0M的数量．(

) x＝2cos θ，(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(

) y＝1＋2sin θx＝2cos t，(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数y＝4sin tπt＝3，点O为原点，则直线OM的斜率为3.(

) [答案]

(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

x＝－1＋cos θ，2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心(

) y＝2＋sin θA．在直线y＝2x上

C．在直线y＝x－1上

B．在直线y＝－2x上

D．在直线y＝x＋1上

x＝－1＋cos θ，cos θ＝x＋1，B

[由得

y＝2＋sin θ，sin θ＝y－2，所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1. 曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，

所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．] 2x＝2＋2t，C：2y＝1＋2t

3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线

(t为参数)的普通方程为________．

2

22x－y－1＝0

[由x＝2＋2t，且y＝1＋2t，

消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.] 4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为2x＝t，(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．

y＝22t

(2，－4)

[由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.①

2x＝t，由消去t得y2＝8x.②

y＝22t，

x＝2，联立①②得即交点坐标为(2，－4)．] y＝－4，5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为1x＝1＋2t，3y＝2t

x＝cos θ，(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直y＝2sin θ

线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．

y2[解]

椭圆C的普通方程为x＋4＝1.2分

2将直线l的参数方程1x＝1＋2t，y＝2t3

32t21y2代入x2＋4＝1，得1＋2t2＋4＝1，即7t2＋16t＝0，8分

1616解得t1＝0，t2＝－7，所以AB＝|t1－t2|＝7.10分

参数方程与普通方程的互化

x＝a－2t，

已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程y＝－4t

3

x＝4cos θ，为(θ为参数)．

y＝4sin θ(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

[解]

(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，2分

圆C的普通方程为x2＋y2＝16.4分

(2)因为直线l与圆C有公共点，

故圆C的圆心到直线l的距离d＝解得－25≤a≤25.10分

[规律方法]

1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．

2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．

x＝t，[变式训练1]

在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过y＝t－ax＝3cos φ，椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值. [解]

直线l的普通y＝2sin φ方程为x－y－a＝0，

x2y2椭圆C的普通方程为9＋4＝1，4分

所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，

若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，

则3－0－a＝0，所以a＝3.10分

参数方程的应用

|－2a|≤4，8分

5

x＝2＋t，x2y2

已知曲线C：4＋9＝1，直线l：(t为参数).

y＝2－2t

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

4

x＝2cos θ，[解]

(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．

y＝3sin θ直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.4分

5(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝5|4cos θ＋3sin θ－6|，

d254则|PA|＝sin 30°＝5|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝3.8分

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为225. 5

25当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为5.10分

[规律方法]

1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．

x＝x0＋at，2．对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式y＝y0＋bt后才能利用t的几何意义解题．

[变式训练2]

(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方x＝4cos θ，π程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝6. y＝4sin θ(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；

(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

x＝4cos θ，[解]

(1)由消去θ，

y＝4sin θ，得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.2分

π又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝6，

πx＝1＋tcos6，所以l的参数方程为πy＝2＋tsin6，

3x＝1＋2t，即1y＝2＋2t

(t为参数).4分

5

3x＝1＋2t，(2)把直线l的参数方程1y＝2＋2t

代入x2＋y2＝16，

123222＋t得1＋t＋＝16，t＋(3＋2)t－11＝0，

22所以t1t2＝－11，8分

由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.10分

参数方程与极坐标方程的综合应用

(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cos α，(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立y＝sin απ极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋4＝22. (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

x22[解]

(1)C1的普通方程为3＋y＝1，2分

π由于曲线C2的方程为ρsinθ＋4＝22，

所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，

因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.4分

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α)．

因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，8分

又d(α)＝|3cos α＋sin α－4|π＝2sinα＋3－2，

2

π当且仅当α＝2kπ＋6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直31角坐标为2，2.10分

[规律方法]

1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

6

2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．

[变式训练3]

(2017·石家庄市质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方2x＝2t，程为2y＝3＋2t

(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ. (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．

[解]

(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，

∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，

∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.4分

2x＝2t，(2)将直线l的参数方程2y＝3＋2t2)2＝5，得到t2＋22t－3＝0，8分

∴t1t2＝－3，

∴|PA||PB|＝|t1t2|＝3.10分

[思想与方法]

1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加1减消元等，经常用到公式：cosθ＋sinθ＝1,1＋tanθ＝cos2θ. 222

(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2．利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法．

3．将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充分体现了转化与化归思想的应用．

[易错与防范]

1．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性．在消去参数的

7

过程中，要注意x，y的取值范围．

2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．

3．设过点M(x0，y0)的直线l交曲线C于A，B两点，若直线的参数方程为x＝x0＋tcos α，(t为参数)注意以下两个结论的应用：

y＝y0＋tsin α(1)|AB|＝|t1－t2|；

(2)|MA|·|MB|＝|t1·t2|.

课时分层训练(六十八)

参数方程

x＝1＋3cos t，1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参y＝－2＋3sin t数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，π以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsinθ－4＝m(m∈R).



(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

[解]

(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2分

π由2ρsinθ－4＝m，得ρsin θ－ρcos θ－m＝0，

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.4分

(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，8分

即|1－－2＋m|＝2，

2

解得m＝－3±22.10分

2．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以xx＝2＋t，轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极y＝3t坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ. (1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|. [解]

(1)由ρsin2θ＝8cos θ，得ρ2sin2θ＝8ρcos θ，

8

故曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.4分

1x＝2＋2t，(2)将直线l的方程化为标准形式3y＝2t.22

6分

1664代入y＝8x，并整理得3t－16t－64＝0，t1＋t2＝3，t1t2＝－3.8分

32所以|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝3.10分

3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

x＝tcos α，(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|y＝tsin α＝10，求l的斜率．

[解]

(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.4分

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.8分

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2

＝144cos2α－44. 315由|AB|＝10得cos2α＝8，tan α＝±3. 1515所以l的斜率为3或－3.10分

4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半π轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈0，2. (1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

9

[解]

(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．

x＝1＋cos t，可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π).4分

y＝sin t(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，

π所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝3.8分

ππ故D的直角坐标为1＋cos 3，sin 3，

33即，.10分

225．(2017·湖北七市三联)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝sin α＋cos α，(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极y＝1＋sin 2απ坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋4＝2，曲线C2的极坐标方程为ρ＝223πacosθ－4(a＞0)．

(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)；

(2)若直线l与C2相切，求a的值．

[解]

(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－2，2]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，

2y＝x，x＝1，x＝－2，联立解得或(舍去)．

x＋y＝2，y＝1y＝4

π故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为2，4.4分

(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即

(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a＞0).8分

|－a＋a－2|由直线l与C2相切，得＝2a，故a＝1.10分

26．(2017·福州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

10

x＝3cos α，(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，

y＝sin α直线l的极坐标方程为ρsinπθ－4＝2. (1)求C的普通方程和l的倾斜角；

(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|. [解]

(1)由x＝3cos α，

x22y＝sin α消去参数α，得9＋y＝1，

即C的普通方程为x229＋y＝1.2分

由ρsinθ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ

代入(*)，化简得y＝x＋2，

所以直线l的倾斜角为π4.4分

(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为x＝tcosπ4，y＝2＋tsinπ4为参数)，

x＝22t，即为参数)，

y＝2＋22t

(tx2代入y29＋＝1并化简，得5t2＋182t＋27＝0，

Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，8分

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t＋t1822712＝－5＜0，t1t2＝5＞0，所以t1＜0，t2＜0，

所以|PA|＋|PB|＝|t|＋|t18212|＝－(t1＋t2)＝5.10分

11 (t