本章小结ppt课件教学实录

2016学年海珠区中学“海教杯”课堂教学（教学设计）

2016.11.10 高三复习：极坐标的应用

——《坐标系》第2课时

广州市第九十七中学 数学科 陈燕熔

【考纲要求】

(1)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（第1课时）

(2)能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（第2课时）

【选题依据】

极坐标系是构建坐标系的一种方法，曲线在不同的坐标系中可以有不同形式的方程，不同的坐标系，可能对曲线问题的研究带来繁简，这就是学习极坐标系的必要性. 然而很多学生由于对直角坐标系比较熟悉，看到题目就马上转化成直角坐标系下进行解题，造成有些题目的运算太过繁琐，因此，教会学生恰当选择坐标系进行解题，就显得非常地重要. 【学情分析】

上课班级为高三文科重点班，本节课为高三一轮复习《坐标系》的第2个课时，第1课时已经复习了坐标系的伸缩变换、极坐标系的概念已经极坐标系与直角坐标系的互化,学生基本掌握两种坐标系之间的互化，但是对于为什么要学习极坐标系，以及对于具体题目该选择哪种坐标系解题会更加方便，学生还是比较茫然. 【设计思路】

本节课上课内容选自2011年、2015年和2016年新课标高考的5道高考题，综合2011·新课标和2015·新课标II 2道高考题改编成例题，设置层层递进的3个问题，体现高考从定到动，从特殊到一般的特点，进而引导学生数学学习只要回到本质（即极坐标的几何意义），题目百变不离其宗；将例题中的条件和结论互换，产生了变式训练，采用的是2016·新课标II，目的在于训练学生对于知识正用和逆用的能力，同时由于本题解法比较多，学生可以多种角度，发散思维，将数学学习的前后知识联系起来.课后练习采用的是2015·新课标I和2016·新课标I 2道高考题，两个题目解法都不唯一，两种坐标系都可以解决问题，体现了学习两种坐标系的意义. 【教学目标】 (1)知识与技能：掌握极坐标系方程中的几何意义，会用的几何意义解决有关距离问题. (2)过程与方法：让学生从简单具体的问题出发,师生共同探究极坐标系下如何借助的几何意义来解决极角相同的两点间的距离问题，引导学生通过观察、归纳，由特殊到一般等方法，感受3年高考题的变化特点. (3)情感态度与价值观：在探究发现的学习过程中，让学生感受到：所有数学知识的产生和发展，都是自然的和合理的，发现数学学习的价值所在.

所有数学知识的产生和发展，都是自然的和合理的. 1

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2016.11.10 【教学重点】

掌握极坐标系方程中的几何意义，会用的几何意义解决有关距离问题. 【教学难点】

选择适当的坐标系解决距离问题. 难点的突破：解决此类综合问题要注意数形结合，在图形中观察求解的线段的特点（是否过原点，是否确定有无最值等等），根据线段的特点来选择适当的坐标系.

【教学方法】

讲授教学法、问题探究法、探究教学法、讨论教学法．

【教学手段】

采用多媒体ppt课件、几何画板进行辅助教学；借助实物投影仪展示学生的课堂练习；利用黑板适当进行板书示范.

【教学过程】

一、知识回顾：

1、极坐标系的概念

①一个点——极点； ②以极点为端点的一条射线——极轴；

③确定一个长度单位；④确定角度单位（弧度）以及它的正方向（逆时针方向）

极径——坐标平面内的点M到到极点O的距离|OM|，记为，

极角——以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM，记为

极坐标——有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M,

注意：一般地0，当极角的取值范围是[0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)

建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。极点的极坐标是(0,)，其中极角是任意角。

2、极坐标与直角坐标的转化

直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x,y)和(,)，则由三角函数2x2y2xcos(x0)

的定义可以得到：

yysintanx注意：若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角，在转化过程中注意不要漏解.

二、问题引入

上一节复习完直角坐标系和极坐标系的互化之后，有同学就问：既然极坐标都可以化成直角坐标，那不就是所有的极坐标问题都可以化成直角坐标来解决？我们看看下面的例子：

（1）在极坐标系中，已知A(2,)，B(3,)，则|AB|

1

；

332')，则|AB'|

5

. （2）在极坐标系中，已知A(2,)，B(3,33

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2016.11.10 【设计意图】通过具体简单的例子，结合极坐标系画图，让学生发现利用的几何意义，可以较快的算出线段AB的长度，师生一起总结出：极坐标系内任意极角相同（过极点）的两点A,B之间的距离可以由|AB|求出来.

三、例题讲解

在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1:2sin，C2:23cos，曲线C3:(R).C3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B. （I）求C1与C2交点的直角坐标；

生：完成后由学生直接在黑板上书写结果. 【设计意图】复习上节复习课的重点内容：极坐标与直角坐标的互化，承上启下. 略解：C1:x2y22y0；C2:x2y223x0；两曲线交点的直角坐标为：(0,0)和(（II）若33,)

226，求AB的值；

y生1：极坐标系下，过极点的线段AB|AB|

生2：直角坐标系下，联立直线与圆的方程求交点，进而求线段的长度. 【设计意图】不同坐标系下，两种解题方法的对比，体现极坐标系下解题的优势，进而体现学习极坐标系的意义. 略解：曲线C1的极坐标方程为2sin，

OC1ABC2xC2的极坐标方程为23cos

直线直线6与C1的异于极点的交点A的极径为12sin6=1

6与C2的异于极点的交点A的极径为123cos6=3

所以|AB||12|23

（III）若0，求AB的最大值；

师：借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示直线(R)运动过程中|AB|长度的变化过程. 师：继续提问生2，这个问题在直角坐标系下容易解决吗？

生2：直线不确定，联立求解交点很困难.

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2016.11.10 生：独立思考后相互之间讨论交流，形成解题思路. 师：黑板板演解题过，形成解题规范. 【设计意图】问题设置层层递进，由定到动，由特殊到一般，符合学生的认知规律.通过《几何画板》软件的演示，使学生对最值问题有一个初步的感知，并且在线段的运动过程中找到A,B两点的共性：极角相同，进而寻找解题突破口. 略解：曲线C3的极坐标方程为：(R)，其中0

因此得到A的极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(23cos,)

所以|AB||2sin23cos|4|sin(y3C1)|

AO2由于0，所以

3335所以当即时，|AB|取得最大值，最大值为4.

326C2xBxtcos,思考：若把条件C3:改为C3:（t为参数）（其中0）

ytsin,其他条件不变，结果会有变化吗？

【设计意图】体现过极点的直线方程不同形式的呈现方式，本质都相同.

xtcos,略解：（t为参数），结果不变.

ytsin,【真题重现】

（2011·新课标）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x2cosy22sin（为参数），M是C1上的动点，P点满足OP2OM，P点的轨迹为曲线C2.

（I）求C2的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C2的异于极点的交点为B，求AB.

3与C1的异于极点的交点为A，xtcos,（2015·新课标II）在直角坐标系xOy中,曲线C1:（t为参数,且t0）

,其中0,ytsin,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:2sin，C3:23cos.

（I）求C2与C3交点的直角坐标；

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2016.11.10 （II）若C1与

C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值. 【设计意图】体现高考从定到动，从特殊到一般的特点，进而引导学生数学学习只要回到本质（即极坐标下与的几何意义），题目百变不离其宗.

四、变式训练

（2016·新课标II）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

xtcos,l（Ⅱ）直线的参数方程是（t为参数），l与C交于A,B两点，|AB|10，求l的ytsin,y斜率．

生1：极坐标系下，利用过极点的线段AB|AB|10，

求出.

生2：直角坐标系下，利用垂径定理，求出圆心到直线的距离，借

助该距离求出直线的斜率. 师：大家不妨观察一下直线的参数方程，有没有什么特点？能不能从直线的参数方程中t的几何意义来解题呢？

【设计意图】将例题中的条件和结论互换，产生了变式训练，采用的是2016·新课标II，目的在于训练学生对于知识正用和逆用的能力，同时由于本题解法比较多，学生可以多种角度，发散思维，将数学学习的前后知识联系起来.

略解：（Ⅰ）由圆C的标准方程(x6)y25，

得xy12x90，

所以圆C的极坐标方程为12cos90．

（Ⅱ）直线l的参数方程是22222AB6Oxxtcos,（t为参数）可以化为极坐标方程

ytsin,(R)，因此直线l与C交于点A,B的极坐标可以设为(1,),(2,)，

且1,2是方程12cos90的两个根，则1212cos，1211．

所以|AB||12|得cos22(12)2412144cos24410，

315615，解得cos，所以tan或tan．

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2016.11.10 归纳总结：利用极坐标系解决问题时要注意：

(1)熟练掌握直角坐标与极坐标之间的互化；

(2)熟练掌握过极点的直线的极坐标方程的形式；

(3)利用极坐标方程中与的几何意义解题时，一定要数形结合，解决线段距离问题是，注意直线是否过极点. 五、课堂小结

(1)两种坐标系：适当选择直角坐标系或者极坐标系，可以简化运算；

(2)两个变量：正确理解极坐标系下与的几何意义，解决两点间距离问题；

(3)两种思想方法：转化与化归、数形结合思想的思想方法的运用. 极坐标下解决某些距离问题，可以简化运算.所有数学知识的产生和发展，都是自然的和合理的.

六、板书设计

课题：极坐标的应用

知识回顾

问题引入：

例题

变式

（1）

1、极坐标

（2）

七、课后作业

（2015·新课标I）在直角坐标系xOy

中，直线C1:x2，圆C2:x1y21，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求C1,C2的极坐标方程.（II）若直线C3的极坐标方程为22

结论

2、互化

πR，设C2,C3的交点为4M,N，求C2MN

的面积. xacost（2016·新课标I）在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

y1asint（t为参数，a>0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ. (Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

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2016.11.10 八、教学反思

上节复习课讲完两种坐标系互化后，有些学生质疑：既然极坐标可以化成直角坐标，那为什么还要学习极坐标呢？根本原因还是学生对极坐标系中与的几何意义理解还不到位，对数学的本质理解还不透彻。针对这一问题，本节课上课内容选取了2011年、2015年和2016年新课标高考的5道高考题，综合2011·新课标和2015·新课标II

2道高考题改编成例题，设置层层递进的3个问题，体现高考从定到动，从特殊到一般的特点，进而引导学生数学学习只要回到本质（即极坐标的几何意义），题目百变不离其宗；题目中既体现坐标系的选择，也突显极坐标在解决某些具体问题上的优势，让学生深刻体会到：所有数学知识的产生和发展，都是自然的和合理的.

不足之处：学生数形结合的意识还是比较薄弱，这一节课也注意在解题中渗透数形结合的思想，但是还是体现得不够深刻，需要继续强化

感悟:数学本质的理解正是数学核心素养的体现，数学教育就是要潜移默化，将数学问题的本质如春风般润物细无声地植入学生的心中，让学生发自内心地感叹到：这就是数学学习的价值！

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