菱形的性质与判定的综合应用多媒体教案及点评

第一章

特殊平行四边形

1

菱形的性质与判定

第1课时

菱形的定义和性质

教学目标：

知识与技能：

1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系。

2.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系。

过程与方法：

体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力。

情感态度价值观：

在证明菱形的性质和运用性质定理解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力。

教学重点：理解并掌握菱形的概念与性质定理。

教学难点：菱形性质定理的证明及运用。

教学准备: 主要教学过程: 一、情境导入

阅读教材P2～4，完成下列问题：

(一)知识探究

1．有一组________________的平行四边形叫做菱形．

2．菱形具有________________的一切性质．

3．菱形是________图形，它的____________________就是它的对称轴．它有________对称轴，两条对称轴互相垂直。

4．菱形的四条边都相等。

5．菱形的两条对角线________，并且每一条对角线平分一组________。

(二)自学反馈

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。

(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

(2)有哪些特殊的三角形？

(三)提出问题：课件出示教材第2页情境图

你能从这几幅图中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？

学生：图片中有八年级学过的平行四边形。

教师：请同学们观察，这些平行四边形与下图的平行四边形ABCD相比较，还有什么不同点吗？

学生：这些平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。

教师：同学们观察得很仔细．像这样，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

1

二、探究新知

1.菱形的性质

教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？

学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。

学生讨论交流后，教师点评。

教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？

(2)菱形中有哪些相等的线段？

学生分小组进行折纸活动后讨论交流，回答问题，教师点评，并进一步讲解：

①菱形是轴对称图形，有两条对称轴．对称轴是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直．②菱形的四条边相等。

2.证明菱形的性质

教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。

三、举例分析

活动1 小组讨论

例1

已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O。

求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；

(2)AC⊥BD.

证明：(1)∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等) 又∵AB＝AD ∴AB＝BC＝CD＝AD (2)∵AB＝AD ∴△ABD是等腰三角形

又∵四边形ABCD是菱形

∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABD中，

∵OB＝OD，

∴AO⊥BD，

即AC⊥BD. 例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。

解：∵四边形ABCD是菱形，

2

∴AB＝AD(菱形的四条边都相等)，

AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，

11OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分) 22在等腰三角形ABD中，

∵∠BAD＝60°

∴△ABD是等边三角形

∴AB＝BD＝6 222在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＋OB＝AB

∴OA＝AB－OB＝6－3＝33 ∴AC＝2OA＝63 此题由菱形的性质可知AB＝AD，结合∠BAD＝60°，即可得到△ABD是等边三角形，从而可求AB的长度．再根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求AO，继而求出AC。

2222四、练习巩固

活动2 跟踪训练

1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(

) A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC

2．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形的边长为(

) A．5 B．10 C．6 D．8 3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为(

) 22 A．3 cm B．4 cm

C.3 cm D．23 cm

4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于________。

22

5．如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点，连接AE、CE，请找出图中一对全等三

角形为________________．

16．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E.求证：DE＝BE。

27.教材第4页“随堂练习”。

五、课堂小结

1.什么叫做菱形？有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2.菱形有哪些性质？

3

菱形的四条边相等 菱形的对角线互相垂直．

六、课外作业

教材第4～5页习题1.1第1～4题。

教学反思：

第一章

特殊平行四边形

1

菱形的性质与判定

第2课时

菱形的判定

教学目标：

知识与技能：

1.理解并掌握菱形的定义及其两个判定方法。

2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算，探索证明菱形的判定方法，掌握证明的基本要求、方法及思路。

过程与方法：

1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。

2.经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理的能力。

情感态度价值观：

在具体问题的证明过程中，有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想，提高学生解决问题的能力。

教学重点：菱形判定定理的证明及应用。

教学难点：菱形的判定方法的综合运用。

教学准备: 主要教学过程：

一、复习导入

阅读教材P5～7，完成下列问题．

(一)知识探究

1.有一组________的平行四边形是菱形。

2.对角线________的平行四边形是菱形。

3.________的四边形是菱形。

(二)自学反馈

判断下列说法是否正确：

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(

) (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(

) (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(

) (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。(

) (三)提出问题

1.菱形的定义是什么？

2.菱形有哪些性质？

教师：同学们对菱形的性质都掌握得很好，那么怎样判定一个四边形是菱形呢？这就是我们

4

这节课所要研究的内容。

二、探究新知

1.菱形的判定方法一

教师：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这可以作为菱形的第一种判定方法。

2.菱形的判定方法二

课件出示：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。

教师转动木条，提出问题：

(1)转动木条，这个四边形总有什么特征？

(2)继续转动木条，什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？

引导学生猜想：当木条互相垂直时，平行四边形的一组邻边相等，此时四边形为菱形。

教师：你能证明你的猜想吗？

学生独立完成，指名板演，教师点评。

已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD. 求证：

▱ABCD是菱形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD，

∴BD是线段AC的垂直平分线．

∴BA＝BC. ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．

3.菱形的判定方法三

教师：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？

学生独立尝试作图，教师点评，并进一步讲解用尺规作菱形的方法：

1如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依2次连接A，B，C，D. 教师：你能说明得到的四边形为什么是菱形吗？

学生小组讨论交流，找到原因：该四边形四边相等。

教师：你能证明四边相等的四边形是菱形吗？

学生独立完成，指名板演，教师点评。

已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA. 求证：

四边形ABCD是菱形。

5

证明：∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形

又∵AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).

教师：你能用折纸等办法得到一个菱形吗？

学生动手操作，教师巡视指导。

三、举例分析

活动1 小组讨论

例1

已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形。

思考：(1)观察题目中的数据，AB，OA，OB有什么数量关系？

(2)利用勾股定理的逆定理能否判定△ABO是直角三角形？

(3)如果可以得到直角三角形，那么利用菱形的哪一个判定定理进行判断？

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC 又∵AC⊥BD，

∴BD是线段AC的垂直平分线

∴BA＝BC ∴四边形ABCD是菱形(菱形定义) 有一组邻边相等的四边形是菱形

例2

已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，OA＝2，OB＝1.求证：▱ABCD是菱形．

证明：在△AOB中，∵AB＝5，OA＝2，OB＝1，

222∴AB＝AO＋OB

∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角

∴AC⊥BD. ∴▱ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

四、练习巩固

活动2 跟踪训练

1．如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是(

) A．AB＝BC B．AC⊥BD

6

C．BD平分∠ABC D．AC＝BD

2．如图，已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是(

) A．AD平分∠BAC B．AB＝AC，且BD＝CD C．AD为中线 D．EF⊥AD 3．将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形(

)

A．三角形 B．不规则的四边形

C．菱形 D．一般平行四边形

4．如图所示，在▱ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若OE＝3，则▱ABCD的周长是________．

5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF.求证：

(1)△ADE≌△CDF；

(2)四边形ABCD是菱形．

活动3 课堂小结

菱形常用的判定方法：

1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3．有四条边相等的四边形是菱形。

五、小结

1．怎样判定一个四边形是菱形？

2．通过本节课的学习，你还学到了哪些知识？

六、课外作业

1．教材第7页“随堂练习”。

2．教材第7页习题1.2第1-3题。

教学反思：

7

第一章

特殊平行四边形

1

菱形的性质与判定

第3课时

菱形的性质与判定的应用

教学目标：

知识与技能：

1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。

过程与方法: 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。

情感态度价值观：

在具体问题的证明过程中，渗透试验论证、逆向思维的思想，提高学生解决问题的能力。

教学重点：菱形的性质定理与判定定理的综合应用及菱形面积的求法。

教学难点：等宽纸条交叉部分为菱形的证明及菱形面积的综合应用。

教学准备: 主要教学过程：

一、复习导入

阅读教材P8～9，能灵活运用菱形的性质及判定。

自学反馈

如图所示：在菱形ABCD中，AB＝6

(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？

(2)对角线AC与BD有什么位置关系？

(3)若∠ADC＝120°，求AC的长；

(4)求菱形ABCD的面积。

拓展

1.如图①，在菱形ABCD中，AB＝6.

(1)求AD，DC，BC的长。

(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC＝120°，求AC的长。

图①

图②

2.如图②，在▱ABCD中添加一个条件使其成为菱形。

添加方式1：_____________________________________________________. 添加方式2：_________________________________________________ ___. 提出问题：教材第87页图1－7，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？

分析：由图可知，重叠部分为平行四边形，且相邻的两边对应的高相等，由平行四边形的面积，可证平行四边形ABCD为菱形。

二、探究新知

活动1 小组讨论

例

如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长为10 cm。

8

求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积。

解：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即∠AED＝90°

11DE＝BD＝×10＝5(cm) 22∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：

AE＝AD－DE＝13－5＝12(cm) ∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm) (2)S菱形ABCD＝S△ABD＋S△CBD

1＝2×S△ABD＝2××BD×AE 2＝BD×AE＝10×12＝120(cm) 菱形的面积除了以上求法，还可以用对角线相乘除以2。

注意：学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不规范；对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论、交流、点拨后学生能接受这种方法．在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线有什么关系，引起学生的思考，进而突破这一教学难点。

22222三、举例分析

例

(变式训练)如上图，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长12 cm，AC长16 cm.求：

(1)菱形的边长；

(2)菱形一条边上的高。

分析：灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积进而求出一边上的高。

教师：同学们，在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么感悟或经验？

教师引导学生总结经验，帮助学生形成解题思路。

四、练习巩固

活动2 跟踪训练

1．如图，菱形ABCD的周长为40 cm，它的一条对角线BD长10 cm，则∠ABC＝________°，AC＝________cm.

2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个2菱形的面积是________cm. 3．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形．

五、小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？

9

六、课外作业

1.教材第9页习题1.3第1～4题．

2.教材第9页“随堂练习”第1，2题．教材第10页习题1.3第5题．

3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F.当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

教学反思：

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