用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程教学实录

§2．2 配方法

课时安排

3课时

从容说课

配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程. 本节的重点、难点是配方法．根据课程的特点，以及学生的认知结构特点，本节内容分三课时．

在教学时，首先从前面两节课的实例引入求精确解.因为我们已经能解形如(x+a)2=b(b≥0)的方程，所以想到要求一个一元二次方程的精确解时，是否可把方程转化为已经能解的方程，这时引入了一元二次方程的解法——配方法．

配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征．

教学方法主要是学生自主探索、发现的方法．

课 题

§2．2.2 配方法

教学目标

(一)教学知识点

1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法——配方法．

(二)能力训练要求

1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法．

2．体会转化的数学思想方法．

3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．

(三)情感与价值观要求

通过师生的共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力．

教学重点

利用配方法解一元二次方程

教学难点

把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式．

教学方法

讲练结合法

1

教具准备

投影片六张：

第一张：问题(记作投影片§2．2．1 A) 第二张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 B) —第三张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 C) 第四张：想一想(记作投影片§2．2．1 D) 第五张：做一做(记作投影片§2．2．1 E) 第六张：例题(记作投影片§2．2．1 F) 教学过程

Ⅰ．创设现实情景，引入新课

[师]前面我们曾学***方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质? [生甲]如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。 用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．

[生乙]平方根有下列性质：

(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的．

(2)零的平方根是零．

(3)负数没有平方根．

[师]很好，那你能求出适合等式x=4的x的值吗? [生]由x2＝4可知，x就是4的平方根．因此x的值为2和-2．

[师]很好；下面我们来看上两节课研究过的问题．(出示投影片§2．2．1 A) 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米? 2

[师]由前节课的分析可知：梯子底端滑动的距离x(m)满足x2+12x-15＝0．上节课我们已求出了x的近似值，那么你能设法求出它的精确值吗? ……

这节课我们就来研究一元二次方程的解法．

Ⅱ．讲授新课 2

[师]我们已经学习了一元二次方程的定义及有关概念，现在同学们来讨论一下：你能解哪些一元二次方程? [生甲]等式x2=4就是一元二次方程，

像这样类型的方程我们就能解. [生乙]方程(x+3)2＝9，我们也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等于9，而9的平方根是3和-3，所以(x+3)就等于3或-3，因此x＝0或x＝-6．

[师]乙同学分析得很好，大家听清楚了没有?……好，下面大家看大屏幕(出示投影片§ 2．2．1 B) 你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的? (1)x＝5； (2)3x＝0；

(3)x2-4＝0； (4)2x2-50＝0；

(5)(x+2)2＝5； (6)(x-3)2＝6；

(7)2x2+50＝0．

[生甲]方程(1)的解为5

，-5，因为x是5的平方根．

方程(2)的解为0，因为方程3x2＝0可以化为x2＝0，即x是0的平方根．

[生乙]方程(3)可以通过移项化为方程

(1)的形式，即x2＝4，所以方程(3)的根为2，-2．

方程(4)也可以通过移项化为方程(2)的形式，即2x2＝50，然后再化为x2＝25，因此

方程(4)的根为5，-5．

[生丙]解方程(5)和(6)时，只要把(x+2)和(x-3)当作整体看待，其形式就如方程

(1)，这样方程(5)和(6)即可求解．

方程(5)就是求(x+2)，使它的平方为5，则x+2就等于5

或-5

，因此，x就等于-2+5或-2-5．

方程(6)就是求(x-3)，使它的平方为6，则(x-3)就等于6

或-6

，因此，x等于

3+6

或3-6．

[生丁]方程(7)通过移项得2x2＝-50．

而由平方根的性质可知：负数没有平方根，所以没有一个实数适合这个方程．

[师]同学们分析得真棒，大家利用平方根的定义求解了一类一元二次方程，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．其中适合方程(7)的实数x不存3

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在，所以原方程无实数解．

从刚才的解题过程中，我们知道了一元二次方程如果有解，则它有两个根，这两个根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我们在书写时，通常用x1、x2表示未知数为x的一元二次方程的两个根．

注意：

(1)方程3x2＝0有两个相等的实数根，即x1=0，x2=0．这与一元一次方程3x=0有一个根x＝0是有区别的．

(2)刚才我们解的一元二次方程，可用形式ax2+c=0来表示．当a、c异号时，方程ax+c＝0有两个不相等的实数根；当a、c同号时，ax+c=0没有实数根．

好，接下来同学们来看大屏幕(出示投影片§2．2．1 C)。分组讨论讨论．

判断下列方程能否用开平方法来求解?如何解? (1)x2-4x+4＝2；

(2)x2+12x+36＝5．

[生甲]方程(1)能用开平方法求解．因为方程(1)的左边正好是一个完全平方式，右边是一个正数，所以它可以化为(x-2)2＝2．这样利用直接开平方法可得x-2=±2，即x1=2+2，x2=2-2. [生乙]方程(2)也能用平方法来解，方法同解方程(1)，即原方程化为(x+6)2=5．两边分别开平方，得x+6＝±5，

即x1＝-6+5，x2＝-6-5

[师]很好，同学们基本了解了解一元二次方程的基本思路，谁来给大家叙述一下呢? [生]解一元二次方程的基本思路是：把原方程变为(x+m)2＝n，然后两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程．

[师]真棒，实际上解一元二次方程的关键是要设法将其转化为一元一次方程，即将原方程“降次”，“降次”也是一种数学方法．

下面我们来看能否求出方程x2+12x-15=0的精确值，同学们先来想一想：(出示投影片§2．2．1 D) 解方程x2+12x-15=0的困难在哪里?你能将方程x2+12x-15＝0转化成(x+m)2=n的形式吗? [生]解方程x2+12x-15＝0的困难就是：怎么样能把x2+12x-15=0的左边变成一个完全平方形式，右边变成一个非负数．

[师]噢，那想一想完全平方式的特征是什么? 224

[生]完全平方公式是:a±2ab+b＝(a±b)

[师]好，下面大家来做一做．(出示投影片§2．2．1 E) 填上适当的数，使下列等式成立．

(1)x2+12x+ ＝(x+6)2；

(2)x2-4x+ =(x- )2；

(3)x2+8x+ ＝(x+ )2．

[生甲](1)的左边应填上：36．

(2)的左边应填上4，右边填；2．

(3)的左边应填上16，右边填：4．

[生乙]老师，我看出来了，这三个等式的左边填的常数是：一次项系数一半的平方；而右边填的是：一次项系数的一半．是吗? [师]大家说呢? [生齐声]是．

[师]好，我们理解了完全平方式的特征后，把方程；x2+12x-15＝0转化为(x+m)2＝n的形式．

[师生共析]x2+12x-15＝0，

可以先把常数项移到方程的右边，得

x2+12x＝15．

两边都加上6(一次项系数12的一半的平方)，得

x2+12x+62=15+62，

即(x+6)2＝51．

[师]接下来能否求出方程x2+12x-15＝0的精确值，即梯子底端滑动的距离呢? [生齐声]能，给方程两边开平方，得

x+6＝±51，

即x+6＝51或x+6＝-51

所以x1＝-6+51,2＝-6-51．

[师]噢，所以梯子底端滑动了(-6+51)m或(-6-51)m．

[生]老师，梯子底端滑动的距离是正数，不能是负数，所以x1是原问题的解，而x2不是．

[师]大家说，对吗? [生齐声]对．

[师]很好，x1，x2是方程x2+12x-15＝0的根，但x2不是原问题的解，所以应5

2222

舍去．

我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x2+12x-15＝0的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法(Solving by completing the square)．

下面同学们来看一例题：(出示投影片§2．2．1 F) [例题]解方程x2+8x-9＝0．

[师]大家能独立解这个方程吗? [生齐声]能．

解：可以把常数项移到方程的右边，得

x2+8x＝9．

两边都加上16，得

x2+8x+16＝9+16，

即(x+4)2=25．

开平方，得

x+4＝±5，

即x+4=5或x+4＝-5．

所以x1＝1，x2＝-9．

[师]很好，由此我们可以知道：由配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根．

注；因为在实数范围内任何非负数都有平方根，所以当n≥0时，方程有解；当n<0时，左边是一个完全平方式，右边是一个负数，因此方程在实数范围内无解．

接下来，通过做练习来进一步巩固本节所学的内容．

Ⅲ．课堂练习

课本P49随堂练习 1 1．解下列方程

(1)x2-10x+25＝7；(2)x2+6x＝1．

解：(1)x2-10x+25＝7，

(x-5)2＝7，

x-5=±7，

即x-5=7或x-5=-7，

所以x1＝5+7，x2＝5-7

(2)x2+6x＝1，

6

x+6x+9＝1+9，

(x+3)2＝10，

x+3＝±10，

即x+3＝10或x+3＝-10．

所以x1＝-3+10，x2＝-3-10．

Ⅳ．课时小结

这节课我们研究了一元二次方程的解法：

(1)直接开平方法．

(2)配方法．

Ⅴ．课后作业

(一)课本P49习题2．3 1、2 (二)1．预习内容P49～P52

2．预习提纲

如何利用配方法解二次项系数不为1或一次项系数不为偶数的一元二次方程．

Ⅵ．活动与探究

1．解下列关于x的方程：

x2 (1)＝1(a>0)；

a2 (2)x2-a＝0(a≥0)；

(3)(x-a)2＝b2；

(4)(ax+c)2＝d(d≥0，a≠0)．

[过程]通过对本题的探究，让学生了解字母系数的一元二次方程的解法与数字系数的一元二次方程的解法一样，因为负数没有平方根，因此只有在判明了方程的两边均是非负数时，才能开平方．本题的(1)、(2)方程经过变形后，可得x＝a，因为给了条件a＞0或d≥0，所以可以对a进行开平方；方程(3)中，两边都是完全平方式，可以同时开平方；方程(4)是给了条件d≥0，所以也可以直接开平方．

[结果] 解：(1)化简为x2=a．

因为a＞0，

所以两边同时开平方，得x＝±a，

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即x1=a，x2＝-a．

(2)化简为x2=a．

因为a≥0，

所以两边同时开平方，得x＝±a，

即x1=a，x2＝-a．

(3)两边同时开平方，得

x-a=±a，

即x-a＝b或x-a＝-b．

解关于x的方程，得

x1=a+b，x2=a-b．

(4)因为d≥0，

所以两边同时开平方，得ax+c＝±d

即ax+c=d或ax+c=d，

又因为a≠0，

∴x1= cdcd ，x2=

aa 注意：

若题目(4)中不给条件d≥0，则要分情况讨论如下：

①若d>0时，则有ax+c＝±d，

得x1＝cdcd，x2＝

aa ②若d＝0，则有ax+c＝0，

c 所以x1＝x2＝-. a ③若d<0，则因为一个数的平方不可能

为负，所以本题无解． 板书设计

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