测试第二课时教学实录

坐标系中三角形面积的求法及其变式初探

作者：江门市新会葵城中学

邓小华、梁英花

活动一：热身训练，引入课题

1、（自编题）如图1，三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为（6，0），（0，4），求三角形AOB的面积. 2、（自编题）如图2，三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为（6，0），（2，4），求三角形AOB的面积.

y y

y

7 7 7 A 6 6

6 A 5 5 5 A

4 4 4 3

3 3 B B 2 2

2 1 1 1 B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x O x O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O x 2 1 3

4 5 6 7 8 9 10

3、如图3，三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为（2，4），（6，2），求三角形AOB的面积.（人教版七年级数学下册第80页第9题）

分析：第3题的解法：

y 解法一(补形)：如图4,过点A作MN//x轴，与y轴交于点N，7 过点B作MP//y轴，与x轴交于点P，与MN交于点M. 6 4 则SAOBS长方形OPMNSAONSAMBSPOB

OPON5 NA MB P3 111ANONAMBMBPOP

2 2221 11164244226

O 22210

解法二(补形)：如图5,过点A作MA//x轴，过点B作MP//y轴，

y 与x轴交于点P，与MA交于点M. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

图4 则SAOBS梯形OPMASAMBSPOB

111AMOPPMAMBMBPOP

2221114644226

22210

6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 B P4 5 6 7 8 9 10 x A M

图5

解法三(补形)：如图6,将线段AB向两端分别延长, 与y轴交

于点D，与x轴交于点E. 则SAOBSDOESAODSBOE

111ODOEOD2OE2

22211110552102

22210

解法四(补形)：如图7,将线段AB延长,与x轴交于点E.

y 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 B E 8 9 10 x D A 图6

y 7 则SAOBSAOESBOE

6 5 4 A 113 OE4OE2

222 1 11104102

O 2210

y 解法五(分割)：如图8,过点A作AE //y轴，过点B作BE//x轴, 7 AE、BE相交于点E，连接OE. 6 B E 1 2 图7 图7 3 4 5 6 7 8 9 10 x

则SAOBSAOESABESOBE

5 4 3 2 1 O A 111224242

22210

解法六(分割)：如图9,过点B作BE // x轴，与AO交于点E. 则SAOBSABESOBE

B E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 图8

y 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E A

115252

2210

B x

图9

解法七(分割)：如图10,过点B作BF  x轴，过点A作AE x 轴，与OB交于点E. 设直线OB的解析式：ykx

直线OB经过点B（6，2）

6k2

1k

3

y 7 6 5 4 3 2 1 O E 1 2 b B F a 3 4 5 6 7 A 2E(2,)

3AE4210

33则SAOBSABESAOE

11AE4AE2

221AE（42）

210



8 9 10 x

图10 1直线OB：yx

31把x2代入yx，得

32y

3

y 7 6 5 4 3 2 1 O D ②

A F ①

E ③

解法八(割补)：如图11, 利用割补的方法，将三角形①补到

三角形②，将三角形③补到三角形④.这样三角形AOB的面积

被割补成两个长方形的面积之和. 则SAOB2412

B ④

G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

10

图11

活动二：解题反思，归纳总结

（1）对于在平面直角坐标系内部的三角形，通常利用这种割补法来求面积的最大值：

y

O x

SABC1水平宽铅锤高1PAQN

22

（2）对于在平面直角坐标系内部的三角形，并且有一个点在原点处，另外两个点的坐标都是已知的，还可以用下面这种方法来解决. 1y 即：如图12，已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则SAOBx1y2x2y1

A(x1,y1) 2证明：过点A作AM∥y轴，交OB于点M 设直线OB的解析式为：

B(x2,y2) 设直线OB的解析式：ykx

M(x2x11,yx)

M 直线OB经过点B（x22,y2）

O N yx2x1y1x2-y2x12ky2

AMy1x2x2图12 ky2

x

2则SAOBSABMSAOM

直线OB：yy21xx

22AEx2

把xxy1x2-y2x121代入yx1yx，得

2xx2

22y＝1x1y2x2y2x12y1

x

2

活动三：变式训练，总结方法

变式1

如图13，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y-x24x刻画，斜坡可以用一次函数y12x刻画

（1）

请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）

小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）

连接抛物线的最高点P与O、A得POA，求POA的面积.

y

O x

图13

x

变式2

如图14，抛物线yax2bxc与

y轴交于点

C（0，-3），

与x 轴交于A（-3,0）、B（1,0）（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 是AC 下方抛物线上的动点，求△PAC 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标.

y

O

x

图14

活动四：实战演练，直击中考

1、（2018.山东泰安）如图15，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc与x 轴交于A（-4,0）、B（2,0），与

y轴交于点

C（0，6）.在y轴上有一点E（0, -2），连接AE. （1）求二次函数的解析式

；

（2）若点P 是抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求△PAE面积的最大值.

y

O

图15

x

2、（2016.四川攀枝花）如图16，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc与x 轴交于A、B两点，B点坐标为（3,0），与

y轴交于点

C（0，-3）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点P 是在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.

y

O

x

图16

3、（2014.涉县）如图17－1，已知二次函数yax2bxc经过A（-3,0）、B（1,0），C（0，3）三点.其顶点为D，对称轴是直线m,m与x 轴交于H. （1）求二次函数的解析式；

（2）如图17－2，若点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合）、过点E作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x 轴于点G，设点E的横坐标为n, △ADF的面积为s. ①求s与n的函数关系式；

②s是否有最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

y y

O O

x

x

图17－1 图17－2