建立一元二次方程解决几何问题课件配套优秀教案案例

立德、善心、端行、博学

2017 学年

上

学期广州市荔湾区四中聚贤中学公开课试验课教案

科目

主讲教师

课题

数学

林丽珊

时间

职称

高级

课型

2018年5月18日

年级

新授课

初二

一元二次方程的应用探究（面积问题）

教材分析

新课标指出，能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。本节是学生在认识了一元二次方程并掌握了一元二次方程的解法后，将要应用一元二次方程解决生活当中的实际问题，这是本章的重点也是难点，为前面的解法做好复习，也为后面的二次函数的学习打下基础，起到承上启下的作用。

知识与能力：

1、会选用合理的方法解决一元二次方程的面积问题。

2、会根据实际面积问题中的数量关系列一元二次方程解应用题。

3、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

过程与方法：

1、经历探索列一元二次方程解面积应用题的过程。

2、体验通过移动变化分析面积问题的方法。

3、发展学生应用数学的意识。

4、体会转化、方程、数形结合的的思想方法。

情感态度与价值观：

让学生体会一元二次方程是刻画现实世界一个有效的数学模型，感悟数学来源于生活，服务于生活；同时培养学生自我探索的兴趣和能力。

教学目标

教学手段

进度

安排

重点重点：一元二次方程的方法解有关面积方面的应用题。

难点

难点：正确寻找等量关系,从实际问题中建立一元二次方程的模型。

本节课学生进行探究式学习，通过例题阅读题目找关键点，得出等量关系。培养学生进行观察、交流、探索、合作的能力，接着，变式拓展提升，采取变式形式来提教法高题目的难度和广度。

学法

本节课采用“自主探究发现，师生合作交流”的教学方法，包括：讲授法，独立探究法，练习法等。以学生合作探究为主，凸显学生主体地位。

课件PPT，实物投影，学案

学生已经有了学习一元一次方程的经验，并且也知道了列方程的基本步骤和方法。所以学习一元二次方程的应用就有了一定的经验，知道找等量关系是列方程的关学情键。本部分知识旨在要求学生通过平移使得构建方程简便，并熟练解一元二次方程，分析

所以学习起来应该比较顺畅。学生活泼，充满好奇心，模仿能力较强，主观能动性容易开发, 具备了一定的学习能力，希望得到老师和同学的关注，是未来的生力军，是实现中国梦的中坚力量，社会主义核心价值观必将伴随学生成长。

1课时

1

立德、善心、端行、博学

课堂教学实施设计

一、温习（1分钟）

列方程解应用题的一般步骤是什么？

第一步：审题，明确已知和未知；

第二步：找相等关系；

第三步：设未知数，列方程，并解方程；

第四步：检验根的合理性；

第五步：作答．

【设计意图】熟悉列方程解应用题的步骤。

二、探究

探究（一）（15分钟）

引入：现有一项美化校园的设计项目,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑一条宽度为x米相同的道路,余下部分作草坪，设道路宽为x米，则草坪面积为 。

【设计意图】通过简单引入，为下面平移解决平面问题作铺垫。

例1：现有一项美化校园的设计项目,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相同的道路,余下部分作草坪,要求草坪总面积为540平方米，如图是一位同学的设计，请计算该设计方案中道路的宽。

【设计意图】引导学生积极分析题中的已知与未知，探索得出“图形存在的等量关系”，既培养学生发现问题的能力，又为学生列方程提供了解决的途径。

【师生活动】教师通过ppt展示，划红线，引导学生读题找出关键点得到等量关系，学生思考，并找小组代表发言。

学生种列法：（1）32x20xx3220540（2）(32x)(20x)540

大部分学生采用了第一种。

教师肯定学生的两种做法，但，指出第一种方法容易出错的地方是漏减重叠部分；重点讲第二种方法，通过ppt动态展示平移，并过平移解题，肯定第二种方法的可行性强。

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立德、善心、端行、博学

【设计意图】再次明确移动图形问题是本节课探索的重点，及时引导学生发现图形中存在的等量关系。

思考：若改变道路形状如图，其他条件不变，如何列方程相关问题？

小结：通过图形的拼接，只要道路每一处的宽度相同，就可以通过平移，把图形变成规则图形来解决。

【设计意图】使学生掌握研究此类问题的一般方法：平移。渗透从特殊到一般的方法，渗透数学建模思想，培养学生灵活解决问题的能力。鼓励学生探究疑惑，教育无止境，这才是真正体现。

变式1：如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直，宽度相等),道路所占面积是耕地的四分之一，则道路宽为多少米? 设道路宽x米，列方程为：

【设计意图】将题目改成若干条，让学生思考设计方案，变式拓展，再次得解题方法。

通过以上的设计，让学生学到了处理图形面积类的好方法。通过探究得解决方法是：平移图形。

变式2：如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的四条道路(三条纵向,一条横向,且互相垂直，宽度相等),道路所占面积是耕地的四分之一，则道路宽为多少米? 设道路宽x米，列方程为：

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立德、善心、端行、博学

探究（二）（15分钟）

例2：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占

面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？设四周边衬的宽度为 x cm，列方程为：

【设计意图】巩固所学知识，渗透教学建模思想。通过数学知识在现实情景中的应用，让学生感受到生活之中处处有数学。探究二可以说是探究一的变式，一题多变，一题多解，既能充分利用教材，最大限度地调动学生的学习积极性，又能拓展学生的思维，增加学生的广度深度。

变式：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?

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21

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立德、善心、端行、博学

探究（三）（7分钟）

例3：如图，某课外活动小组准备围建一个矩形生物花圃园，其中一边靠墙（墙的最大可用长度a为7米），其余部分用总长度为14米篱笆围成面积为24平方米的花圃，则AB、BC的长是多少米？

解：设AB为x米，则BC为(14-2x)米，

由题意得 x(14-2x)=24 2化简得 x-7x+12=0解得x1=3，x2=4 ∵0＜14-2x≤7得3.5≤x＜7 ∴ x1=3不合题意,舍去

∴AB=4，BC=14-2x=6 答：花圃的边AB为4米，BC为6米。 【设计意图】根据应用题本身的内容，联系实际，对学生进行德育渗透：既要考虑当前发展的需要，又要考虑未来发展的需要，爱护环境，绿化环境，做环保先锋。

变式1：如图，某课外活动小组准备围建一个矩形生物花圃园，其中一边靠墙（墙的最大可用长度a为7米），其余部分用总长度为14米篱笆围成总面积为24平方米的花圃，且中间用一段篱笆把它分隔成两个矩形，则AB、BC的长是多少米？(只列方程)

变式2：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为7米），其余部分用总长度为14米篱笆围成总面积为24平方米的花圃，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，两个花圃各留一道1米宽的门，设宽AB为x米，则AB、BC的长是多少米？(只列方程) 【设计意图】拓展延伸。

【设计意图】通过学生亲自探索列一元二次解面积问题，分析并找出其中的等量关系，列方程解方程检验作答。既能得出列一元二次方程解应用题的一般步骤又为接下来的教学埋下了伏

笔，又能激发学生自我探究的兴趣。

三、课堂小结（2分钟）

1、解决实际问题的思路：审、设、列、解、验、答

2、运用到数形结合、转化、方程思想。

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立德、善心、端行、博学

【设计意图】培养学生及时归纳知识的习惯和归纳总结的能力。帮助学生自主建构知识体系。师生互动，针对本堂课引导学生对学习中所运用的数学思想、方法等进行小结。加强数学思想的渗透力，提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通。

四、拓展延升（此环节属于课后延伸）

拓展1：一块长方形铁皮的长是宽的两倍，四个角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是

500cm3的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽.

拓展2：如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2

CQAPB

【设计意图】为一些学习能力强的学生提供拓展练习，锻炼他们运用知识点的能力，提高学生的逻辑思维能力、增强学生独立分析问题和解决问题的能力。

五、板书设计

一元二次方程的应用探究（面积问题）

多媒体电脑屏幕

PPT 例1 解：---------- ---------------- ----------------

小结：平移、建模、数形结合、方程思想、从特殊到一般。

例2 变式

解：---------------- ---------------- ----------------- 2127

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立德、善心、端行、博学

听课情况记载

参

听

教

师

参

评

教

师

林结英、陈玲、李嘉敏、肖艳蕾等全校数学教师。

林结英、陈玲、李嘉敏、肖艳蕾、江烽等全校数学教师。

评议时间

2018年5月18日

主持人

林结英

评议意见

整节课能够抓住主线，完成教学目标。教学设计梯度好，照顾到不同层次的学生。探究（一）通过例板书规范格式，渗透从特殊到一般的数学思想，总结方法，归纳关键点。以学生为主体，引导学生积极思考，特别重视引导学生审题，找出关键的等量关系；另外，鼓励学生积极发言，给予学生展示的时间和空间，让学生回答问题，或是上台来讲解题思路，并投影学生的解题过程，及时正面评价，体现了新课标标准。

优

评议等次

主讲人意见

科

组

长

意

见

1、本节课能顺利完成教学目标。本课是对一元二次方程在实际问题中关于面积的应用重点表现在两个方面：（1）构建数学模型；（2）如何使构建的方程简易理解，不易出错。

2、整体设计开篇便引入较简易的问题，由此问题找出解决问题的简便方法，然后在新问题解决时便有了经验。学生对构建方程并不陌生关键是通过图形的平移前后比对面积有无变化，其次是平移前后所列方程的简易做出判断。

3、进行适当的挖掘、拓展、整合，是提高学生思维能力和解题能力，较好掌握知识与技能的重要方法。

4、为了让学生一开始就能够跟上学习的步伐，采用了底起点、小步子的递进教学方式，从而提高学生学习的信心，有一种想继续学习的欲望。

5、本节课在充分运用信息技术（动态PPT课件）有效地解决重点、难点，提高了教学效率，体现出新型的教学模式。交互式电脑屏幕正在完成现代的教学方式从黑板向白板的转化，信息技术与数学教学的整合，实现课堂的积极互动，实现课堂教学的最优化。

6、在探究过程中，由易到难有梯度有层次的设计，使学生对本节课知识理解的更透彻，取得好的教学效果。一题多变，能充分利用教材最大限度的调动学生的学习积极性，又能拓展学生的思维，增加学生探索的广度和深度。

签名：

年

月

日

7