解决问题ppt课件课堂实录

《方圆之间的面积》

教学设计

东莞市大岭山镇第三小学

黄

小

宁

教学目标：

让学生结合具体情境认识组合图形的特征，掌握计算组合图形面积的方法，并能准确计算简单组合图形的面积；通过自主合作，培养学生独立思考、合作探究的意识；学生在解决实际问题的过程中寻求不同的思考角度，达成对解决问题的回顾与反思，进一步体验图形和生活的联系，感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。

教学重点：“外方内圆”“外圆内方”图形的认识及面积计算，使学生在解决问题的过程中积累一般性的问题解决经验。

教学难点：对“外方内圆”和“外圆内方”图形的分析与解决。

教具、学具准备：“外方内圆”和“外圆内方”的手工卡纸展示图，学生需要的“外方内圆”和“外圆内方”2个等圆及相应的2个正方形，其它有一定相关联的平面图形透明塑料薄片一套（学生学具盒有），多媒体课件。

教学过程： 一、旧知热身，重现合情演绎。

师：同学们，前面我们学习的圆形、环形的面积公式是如何推导、归纳的？

师，根据学生的回答多媒体跟进：

圆的面积=圆周长的一半×半径 环形的面积=大圆的面积－小圆的面积

S圆=C×r S环= S大－S小

2 =πr×r =πR²－πr²

=πr² =π(R²－r²)

师：在五年级上册101页，我们就学过类似环形面积求法的题目，还记得吗？谁能简要地说一说阴影部分面积的求法？它们相似在哪里？

生：以上第3题是用大正方形

减去小正方形，第4题是用梯形减去长方形，它们都是求两个图形之间相差的面积。

师：对，答得非常好！如果把第3小题的小正方形或大正方形改成圆形，它们之间部分或非重叠部分的面积如何计算呢？老师期待你们本节课有新的收获！ 二、顺水推舟，分析与解答。

1、设问开路，引诱思考。

师：下面请看看有什么挑战？（多媒体逐一出现正方形和圆形）请问，①下图提供什么条件，你就可以算出它的面积？②如果把两幅组合成一幅图呢？这时求四个角橙色部分的面积需要什么条件？

生：边长，半径——（稍停，争辩：边长、半径或两样都要）

师：如果只能提供一个条件，你最想要哪个？

生：边长或半径都可以，因为在正方形中画一个最大的圆，这时正方形的边长等于圆的直径。

师（坚起大母指）：你观察得真仔细！“最大”这个词用得好！

2、阅读理解，抽出表象。

例3

中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。上图中的两个圆半径都是1m，你能求正方形和圆之间部分的面积吗？

师：同学们，以上是我国建筑中经常能见到的设计，这两种设计有什么联系和区别？中间部分的面积与圆的面积有没有关系？有什么样的关系？

生，普遍存在不知所措。

师：其实，“外方内圆”的设计相当于在正方形中画了一个最大的圆形的组合图形，中学称为“圆外切正方形”，正方形与圆之间部分的面积求的是它们相差部分的面积；那么“外圆内方”相当于在圆形中画一个最大的正方形，中学称为“圆内接正方形”，求的是圆形与正方形之间相差部分的面积。（边解说边在黑板中贴出手工卡纸展示图）

图1 图2 生，眉扬目展，蠢蠢欲动。

师：请拿出手中的学具，组合出上图，想想如何去解答？

生，动手操作及解答。

3、分析交流，尝试解答。

（1）学生根据“‘外方内圆’之间部分的面积=正方形的面积－圆形的面积”，很

快解答图1。 （2）学生知道，“‘外圆内方’之间部分的面积=圆形的面积－正方形的面积”，可东张西望起来。

师：同学们完成第一个图后，为何左顾右盼？想瞄什么呢？

生（很不好意思）：找不到正方形的边长怎么算啊？

师（故弄玄虚）：有那么难吗？老师会变魔术，眨眼看不到哦，不眨眼很快就找到解决方法!(坏笑着边说边把图2旋转90度）现在有什么发现？

生（眼睛一亮）：哦，知道了！正方形可看成两个三角形。

师：请你作出你发现的三角形的底和高，再和同桌说一说，然后动笔解答。

生私语：三角形的底实是圆的直径，高是圆的……。

师，指名板演两题，再修正。

“外方内圆”之间部分的面积=正方形的面积－圆形的面积

 S正=α×α

S圆=πr² S正-圆=S正－S圆

=2r×2r =πr² =4－3.14

=4r² =3.14×1×1 =0.86 (㎡)

=4×1×1

= 3.14 (㎡)

=4 (㎡)

“外圆内方”之间部分的面积=圆形的面积－正方形的面积



S圆=πr²



S正=2S S圆-正=S圆－S正

=3.14×1×1 =2r×r÷2×2 =3.14－2 = 3.14 (㎡)

=2r² =1.14 (㎡)

=2×1×1

=2 (㎡)

师：同学们已经习惯正方形、圆形面积的字母表示了（S正、S圆），为了方便大家书写与理解，大家觉得最后一步用什么方式表示“‘外方内圆’之间部分的

面积”为好？

生：（略）

师：统一大家的意见，因为

“外方内圆”，所以可表示为

“S正-圆”；又因为是求它们之间部分的面积，所以用“-”

隔开，“外圆内方”

的亦然。

三、回顾反思与整合，寻得一般规律。

1、合作整理，初现表征。

师：（坚着大母指，然后指着学生解答的3步过程，再次抛出问题）大家的解答非常的明了！你能用综合算法演示出整个解决过程吗？在小组中整合，看看还有什么发现？（指名板演） S正-圆=S正－S圆 S正-圆=0.86r²

=2r×2r－πr²

=4r²－πr²

=0.86r² “外方内圆”之间部分的面积是0.86r²

=0.86×1×1 =0.86(㎡)

S圆-正=S圆－S正 S圆.正=1.14r²

=S圆－2 S =πr²－2r×r÷2×2 =πr²-2r²

=1.14r² “外圆内方”之间部分的面积是1.14r²

=1.14×1×1 =1.14(㎡)

师，引导学生综合的过程中去发现：“外方内圆”之间部分的面积是0.86r²；

“外圆内方”之间部分的面积是1.14r²。两个建筑物都是用了圆和正方形进行巧妙的设计，因为它们的位置不同，相差数也各异，但两者之间的面积都与圆半径的平方有关系。

2、拓展思维，收获异外。

师：如果我把它们三者合一组合，同一个圆的内、外两正方

形之间部分的面积是不是与圆的半径也有关系的，那到底有什么样的关系呢？你能用字母表示吗？自己试试看。

生：S大正=4r²

，S小正=2r²，所以它们之间部分的面积是2r²。

3、区别类比，抽象模型

师：看来，今天大家的收获真不少！对于大家正捂热着的几道公式，它们有什么区别与联系？你有什么方法牢记而不混淆呢？思考一下，再来说说。（多媒体出示） S圆=πr² S正.圆=0.86r² S圆.正=1.14r²

（圆内、外接的两正方形）S大正-S小正=2r²

同：都是一个固定的数乘半径的平方

异：S圆=πr²是一个图形的计算，而其它三个是两个之间部分面积的计算，且一个比一个相差大。

四、学以致用，巩固提升。

1、即兴练习。

师：古代象以上的设计多着呢，看，它来了。“这是我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24㎝。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？”认真阅读分析，小组四人合作，其中两人用分步的思路完成，另两人用综合推导出的规律解答，相互验证。

师（指名展示，强调书写格式）：两种过程都可以，你喜欢哪种？（生：

S圆-正=1.14r²）前提是什么？（它们必须是最大存在的状态）对，这就是数学简洁、精炼之妙。

师：又来了，“图中的铜钱直径20㎜，中间的正方形边长为6㎜。这个铜钱的面积是多少？”这个问题怎么解决呢？请独立完成再解决，再交流。

师（展示错例）：S圆-正=1.14r²=1.14×10×10=114（㎜²）

对吗？

生：不对，它们不是最大存在的状态，所以不能用规律解决。

2、综合提炼。

1）口答：怎样计算下面各图阴影部分的面积？它们相等吗？可以怎样解答

2）如果正方形的边长是20㎝，阴影部分的面积是多少？

引导学生说出用“外方内圆”的方法，再解决。

3、动手组合，各施所能。

自己动手，用学具中的圆或半圆与其它图形组成你想设计的新中国建筑物，并想想它们非重叠部分的面积怎么求？需要什么条件？

五、课堂小结。

通过本节课的学习，你有什么收获？