[本专题的学习总结报告]课堂实录【1】

极坐标与参数方程高考高频题型

大理二中王绍雄

除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及

（一）有关圆的题型

题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较

1个交点；2个交点；

dr:相离，无交点； dr:相切， dr:相交，

用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离dAx0By0CAB22，算出d，在与半径比较。

题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）

思路：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离d 第二步：判断直线与圆的位置关系

第三步：相离：代入公式：dmaxdr，dmindr

相切、相交：dmaxdr dmin0

Ax0By0CAB22

题型三：直线与圆的弦长问题

弦长公式l2r2d2，d是圆心到直线的距离

延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题

（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）

弦长公式lt1t2,解法参考“直线参数方程的几何意义”

（二）距离的最值： ---用“参数法”

1.曲线上的点到直线距离的最值问题

2.点与点的最值问题

“参数法”：设点---套公式--三角辅助角

①设点：

设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设

②套公式：利用点到线的距离公式

③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一

例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x3cos(为参数)，ysin以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin()22．

（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标

x2Ⅰ）C1的普通方程为y21，

34C2的直角坐标方程为xy40. （解说：C1：x3cosα利用三角消元：移项-化同-平方-相加

ysinα这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边x2x2cosαx2cosα两边同时平方3两道式子相加y2133ysinαy2sin2a

（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)

（解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）

因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()|3cossin4|2|sin()2|. 32（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）

1时即当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标当sin（）3631为(,). 22

（三）直线参数方程的几何意义

xx0tcos1.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为若A，B为直线l上(t为参数）yytsin0两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

(1)t0=t1＋t22；

(2)|PM|=|t0|=t1＋t22；

(3)|AB|=|t2－t1|；

(4)|PA|·|PB|=|t1·t2| 2t1t2(t1t2)4t1t2,当t1t20（5）PAPBt1t2t1t2,当t1t20

（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）

【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1,t2，则弦长lt1t2；

2.解题思路

第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程

第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：at2btc0

bc第三步：韦达定理：t1t2,t1t2aa

第四步：选择公式代入计算。

3x＝5＋t，2例如：已知直线l：1y＝3＋t2

(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ. (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

解

(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①

将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②

3x＝5＋t，2(2)将1y＝3＋t2

代入②式，得t2＋53t＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.

（四）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离

思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。

例如：（2016•福建模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．

（其中α为参数），

解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．

∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，

∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，

得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，

化简，得ρ=2cosθ．

（Ⅱ）依题意设A（），B（），

∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，

将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，

解得ρ1=3，

同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得．

，

∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣（五）面积的最值问题

面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题

例题2016•包头校级二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．

解：（1）由，化简得：，

．

消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，

∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．

由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，

即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，

则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；

（Ⅱ）将A（2，∴|AB|=设P点的坐标为（﹣5+），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），

=2cost，3+，

sint），

=，

∴P点到直线l的距离为d=∴dmin==2，

×2=4．

则△PAB面积的最小值是S=×2