5.1 二次函数优秀教案

5.1

二次函数

学习目标：1．探索两个变量之间函数关系，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系；

2．能确定二次函数的关系式，体会二次函数的意义；

3．通过实例分析，进一步感受函数的三要素和自变量取值范围的确定．

重难点：二次函数的概念及对函数概念的理解．

学习过程：

自主先学

1.设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，

y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的

，x叫做

．

2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中

的图像是直线，

的图像是双曲线．

我们得到它们图像的方法和步骤是：①

、②

、③

．

3. 形如y___________，（

）的函数是一次函数，当______0时，它是

函数，图像是经过

的直线；形如yk，（

）的x函数是

函数，它的表达式还可以写成：①

、②

．

4．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是

．

合作探究

活动一：想一想

1.用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？你能说清其中的道理吗？

2.一面长与宽之比为2:1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元．总费用y（元）与镜面宽x（米）之间有怎样的函数关系？

在这个问题中镜面、边框的费用分别与什么有关？有哪些变量？其中哪些是自变量？

活动二：

1.思考交流：

上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？

2.归纳：

二次函数的意义

一般地，形如

，（

，且

）的函数为二次函数.其中x是自变量，

函数.

通常，二次函数yax2bxc中自变量x的取值范围是

，如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个量，那么它的取值范围受到实际意义的限制．你能说出上述问题中自变量的取值范围吗？

3.判断下列哪些是二次函数？

①y13

②y2x25x1

2x

③y3x(x1)

④yx3，

⑤vt24t3（t是自变量）

⑥y(x3)2x2

生活中有许多二次函数的实例，你还能举出一些例子吗？

活动三：做一做

1.已知函数y＝(m－3)xm－7是二次函数，求m的值．

2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

（2）某化肥厂10月份生产某种化肥200t，如果11、12月的月平均增长率为x，求12月份化肥的产量y（t）与x之间的函数关系；

（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．

3.已知二次函数y＝ax，当x＝2时，y＝－8．当x＝－8时，求y的值．

当堂检测

1.把下列二次函数的表达式化成一般式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项. (1) y = x2+(x+1)2

(2) y=(2x+3)(x-1)+5

2. 若二次函数y＝2x2＋bx＋c的图像经过点A（-1，0），B（0，1），求这个函数的表达式.

22

5.2

二次函数的图像和性质（1）

学习目标：1．能用描点法画函数y＝x图像．

2．能画y＝－x2图像，并说出它与y＝x2图像的共同特征．

重难点：用描点法画函数y＝x2图像，理解它与y＝－x2图像的共同特征．

2

学习过程：

自主先学

1．画函数图像步骤：

、

、

．

2.一次函数的图像是___________. 反比例函数的图像是________________. 研究函数性质方法：

．

3．猜想二次函数图像是怎样的？

合作探究

活动一：想一想

根据二次函数y＝x2表达式，你能描述它的图像有什么特征吗？

活动二：画一画

1.在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数y＝x2的图像．

思考：列表选取哪些点？为什么？

2⑴列表：函数y=x2的自变量x的取值范围可以是任意实数，根据函数y=x的特征，我．．．．们选取自变量x的值，请计算对应的函数值y，并填入下表：

x y=x2

…

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

…

⑵描点：以表中的每个x值为点的横坐标、对应的y值为点的纵坐标，在图1的直角坐标系中描出相应的点．（按x的值从小到大，从左到右描点）

⑶连线：用平滑的曲线顺次连接所描出的点．

yyOxOx

图1

图2

2.类似地，在图2的平面直角坐标系中，画出二次函数y＝－x2的图像．

议一议：

函数y=x2的图像与函数y＝－x2的图像有什么共同特征？

抛物线：

. 顶点：

.

三

当堂检测

1．在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y=121x，y=-x2的共同特点是（

）

44A．关于y轴对称，抛物线开口向上

B．关于y轴对称，y随x的增大而增大

C．关于y轴对称，y随x的增大而减小

D．关于y轴对称，抛物线顶点在原点

2．下列关于抛物线y=x2和y=-x2的关系的说法错误的是（

）

A．它们有共同的顶点和对称轴

B．它们都关于y轴对称

C．它们的形状相同，开口方向相反

D．点A（-2，4）在抛物线y=x2上也在抛物线y=-x2上

3.在平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像．

2（1）y＝x；

（2）y＝2x2；

12yyOxOx

（3）y＝

12x；

（4）y＝2x2．

2yOxyOx

5．2

二次函数的图像和性质（2）

学习目标：1．能归纳总结yax2（a≠0）的图像性质；

2．体会用类比方法研究数学问题，实现“探索——经验——运用”的思维过程．

重难点：

归纳总结yax2 (a≠0)的图像性质．

学习过程：

自主先学

1.画一画：请在坐标系中画出函数yy121x和y2x2、yx2和y2x2图像．

22yOxOx

2.想一想：这四个图像各有什么特征？

归纳：

二次函数yax2的图像是

，抛物线的顶点

，对称轴为

．

当a＞0时，

．

当a＜0时，

．

合作探究

活动一：想一想

1．

观察yax2的图像，你还能发现什么？

2．

如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？

归纳：

（1）a＞0时，

当x＜0时，y随x的

；

当x＞0时，y随x的

；

当x＝0时，y的值

，最小值是

．

（2）a＜0时，

当x＜0时，y随x的

；

当x＞0时，y随x的

；

当x＝0时，y的值

，最大值是

．

活动二

：试一试

快速说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值．

（1）y3x2

；

（2）y0.6x2；

（3）y0.75x2

；

（4）y100x2．

活动三：做一做

1.已知函数y(m1)xm2m是二次函数且其图像开口向下.

（1）求m的值和函数表达式；

（2）x在什么范围内，y随x的增大而增大；y随x的增大而减小．

2.函数yax2（a≠0）与直线y＝2x－3交于点（1，b)，求：

（1）a与b的值．

（2）求抛物线yax2的表达式，并求顶点坐标和对称轴．

当堂检测

1.分别说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标与对称轴：

y3x2,y2.填空：

123x,y5x2,yx2

34（1）对于函数y7x2，当x＞0时函数值随自变量x的增大而

；当x=

时

, 函数有最

值，最

值是

；

（2）对于函数y22x，当x＜0时函数值随自变量x的增大而

；当x=

时

, 32函数有最

值，最

值是

. 3.已知二次函数yax的图像经过点P（2,3），你能确定它的开口方向吗？你能确定a的值吗？试试看.

5.2

二次函数的图像和性质(3)

学习目标：1．会用描点法画函数y＝ax2＋k和函数y＝a(x＋m)2

（a≠0）的图像；

2．能用平移变换解释二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2和二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系；

3．能根据图像认识和理解二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2

（a≠0）的性质；

重难点：

探索二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图像和二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系．从中体会它们之间的关系．

学习过程：

自主先学

你还记得二次函数y＝x2的图像是怎样的吗？

那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？

合作探究

活动一：画图与观察

1．填表：

画函数y＝x2和y＝x2＋1的图像．

x y＝x2

…

－3 …

－2

－1

0 1 2 3 …

…

…

y＝x2＋1

…

2．画图：在下图平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x2＋1的图像和y＝x2的图像；

yOx

3．观察：（1）从表格的数值看：相同的自变量所对应的两个函数的函数值有什么关系？

（2）从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝x2的图像有什么关系？

（3）根据图像，你能得出函数y＝x2＋1的图像的性质吗？

4．猜想：函数y＝x2－2的图像和y＝x2的图像的位置有何关系？函数y＝x2－2的图像有哪些性质？

总结与归纳：（1）由上面的例子，你发现函数y＝ax2＋k的图像与函数y＝ax2（a≠0）的图像有什么关系？（2）二次函数y＝ax2＋k（a≠0）有什么性质？

活动二：观察与思考

1．填表：画函数y＝x2和y＝(x＋3)2的图像．

x y＝x2

x …

…

－3 －2 －1

0

1

2

3

…

…

…

－6 －5 －4 －3 －2 －1 …

0

…

…

y＝(x＋3)2

2．画图：在图2平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x2与函数y＝(x＋3)2的图像；

yOx

3．观察：（1）从表格的数值看：函数y＝(x＋3)2与函数y＝x2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系？

（2）从对应点的位置看：函数y＝(x＋3)2的图像与y＝x2的图像有什么关系？

（3）根据图像，你能得出函数y＝(x＋3)2图像的性质吗？

4．猜想：函数y=(x－1)2的图像和y＝x2的图像的位置有何关系？函数y=(x－1)2的图像有哪些性质？

总结与归纳：（1）由上面的例子，函数y=a(x＋m)2的图像与函数y=ax2（a≠0）的图像有什么关系？（2）函数y＝a(x＋m)2有什么性质？

当堂检测

1．将函数y＝2x2－2的图像先向___平移___个单位，就得到函数y＝2x2的图像，再向___平移___个单位得到函数y＝2(x－3)2的图像．

2．二次函数y=－3(x＋4)2的图像开口_____，是由抛物线y=－3x2向___平移___个单位得到的；对称轴是_________，当x＝_____时，y有最______值，是______．

3．将二次函数y=6x2的图像向右平移1个单位后得到函数___________的图像，顶点坐标是_____，当x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小．

5.2

二次函数的图像和性质(4) 学习目标：1．会用描点法画函数y＝a(x＋m)2＋k（a≠0）的图像；会用平移变换解释函数y＝a(x＋m)2＋k与函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2、y＝ax2（a≠0）的图像之间的关系；

2．会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、对称轴，根据对称性列表、描点、画图，并确定函数的最大值或者最小值. 重难点：

1．会用平移变换解释函数y＝a(x＋m)2＋k与y＝ax2（a≠0）的图像之间的关系；

2．会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、对称轴、函数的最值.

学习过程：

自主先学

你知道函数y＝x2＋2的图像与y＝x2的图像有什么关系？函数y＝(x＋3)2的图像和y＝x2的图像有什么关系？

猜想：函数y＝(x＋3)2＋2与y＝x2有什么关系？

合作探究

活动一：画图与观察

画函数y＝x2、y＝(x＋3)2和y＝(x＋3)2＋2的图像．

1．填表：

x y＝x2

y＝(x＋3)2

y＝(x＋3)2＋2

…

-4 …

…

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

…

…

…

2．画图：在坐标系中，描点并画出函数y＝x2、y＝(x＋3)2和y＝(x＋3)2＋2的图像；

yOx

3．观察：

（1）你能说出函数y＝(x＋3)2＋2的图像的形状吗？

（2）函数y＝(x＋3)2＋2的图像与函数y＝(x＋3)2和y＝x2的图像有什么联系？

（3）根据图像，你能得出函数y＝(x＋3)2＋2图像的性质吗？

4．思考：函数y＝x2＋2x＋3的图像是抛物线吗？它与函数y＝(x＋1)2＋2有何关系？

总结与归纳：

（1）函数y＝a(x＋m)2＋k的图像与y＝ax2（a≠0）的图像有什么关系？

（2）函数y＝a(x＋m)2＋k（a≠0）有什么性质？

活动二

：转化与思考

1.你能将函数y＝－x2－4x－5转化为y＝a(x＋m)2＋k的形式吗？并画出它的图像，指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（小）值．

2.如何将二次函数y＝ax2＋bx＋c转化y＝a(x＋m)2＋k的形式？

总结与归纳：

二次函数y＝ax2＋bx＋c转化为y＝a(x＋m)2＋k的形式是什么？

你能得到函数y＝ax2＋bx＋c的哪些性质？

当堂检测

1.抛物线y=-7(x+1)2-2的开口_____,顶点坐标_______，对称轴________,当x____时，y随x 的增大而增大，当x____时，y取最___值是____.若将此抛物线平移后得到抛物线y=-7(x-1)2+2，写出平移方向和距离.

2. 函数y=a(x+m)2+k的图像是由函数y=12x的图像向左平移1个单位长度，再向下平3移2个单位长度得到的，则a=

;m

;k=

. 3.用配方法求下列函数的顶点坐标、对称轴和最值

1x2x

4(1)yx24x7

(2)y4

4.已知抛物线的顶点为（2,-1），且过点（-1,2），求此函数表达式.

5.3

用待定系数法确定二次函数表达式（1）

学习目标：通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求二次函数表达式的方法. 重难点：会用待定系数法求二次函数的表达式.

学习过程：

自主先学

1.回顾：

（1）已知直线y=kx+b经过点（-1,0）和点（1,2），求此直线的函数表达式.

（2）已知反比例函数的图像经过点（-2,6），求此函数的表达式.

2.（1）已知二次函数y=ax2的图像经过（-2,8），求a的值.

（2）已知二次函数y=ax2+c的图像经过（-2,8）和（-1,5），求此函数表达式.

合作探究

活动一：由一般式y＝ax2＋bx＋c确定二次函数的表达式．

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点(3，、6)(2，1)和(0，3)，求这个二次函数的表达式．

方法总结: 对比以上几题的区别和联系，你能总结用一般式确定二次函数表达式的方法和步骤吗？

2活动二：由顶点式y＝a(x＋h)＋k确定二次函数的表达式．

已知抛物线的顶点为(1,3)，与y轴交点为(0，5)，求抛物线的表达式．

方法总结：

你能总结用顶点式求函数表达式的优点及方法和步骤吗？

当堂检测

1.已知，抛物线y12xbxc

与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐2标为（6，0），点C坐标为（0，6），求抛物线的解析式．

2.已知抛物线yx2bxc与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1，求此抛物线的解析式．

3.已知抛物线的顶点为-2，-4，与y轴交点为0,3，求抛物线的表达式．

4.如图所示，已知抛物线的对称轴是过（3，0）的直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这个抛物线的表达式．

5.3

用待定系数法确定二次函数表达式(2) 学习目标：1.会根据特殊的已知条件求二次函数的表达式，并掌握规律；

2.渗透数形结合的数学思想. 重难点： 能灵活的根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化.

学习过程：

自主先学

1.二次函数yax2bxc的图像如图所示，求a、b、c的值.

合作探究

活动一：试一试

1.抛物线的顶点为（-1，-8），它与x轴的两个交点间的距离为4.求此抛物线的表达式. y1-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-6-7-8123y321-4-3-2-1O-1-2123xy=ax2+bx+cx

2.二次函数图象的对称轴是x1，与y轴的交点纵坐标是-6，且经过顶点（2,10）. 求此二次函数的表达式.

活动二：做一做

二次函数yax2bxc的图像与x轴交与A、B两点，与y轴交C点，A点坐标为（-3,0）,B点坐标为（1,0），且△ABC的面积为6，求该二次函数的表达式.

y4321-4-3-2-1O-1-2-3-4123x

当堂检测

1.抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B（-6,0），则线段AB=

. 2.二次函数yx2bxc的对称轴是直线x1，则b=

. 3.函数yx2bxc经过(-2,0)、(3,0)两点，则这个函数的表达式中b=

，c=

. 24.已知二次函数yaxbxc，当x3时，函数取得最大值10，且它的图像在x轴上截得的线段长为4，求a、b、c的值.

5.抛物线yxbxc与x轴只有一个交点，坐标为（-2.，0），求抛物线的表达式.

2

5.4

二次函数与一元二次方程（1）

学习目标：1．体会函数与方程之间的联系，体会利用函数图像研究方程问题的方法；

2. 能根据二次函数图像与x轴的位置关系判断相应的一元二次方程的根的情况．

重难点：能根据二次函数图像与x轴的位置关系判断相应的一元二次方程的根的情况.

学习过程：

自主先学

复习旧知，明确结论

1.

观察一次函数y＝x＋1的图像，发现并归纳一次函数与一元一次方程之间存在联系：

321yx–2–1O–11

从“数”的方面看: 从“形”的方面看: 合作探究

活动一：想一想

1.二次函数y＝x2＋2x与一元二次方程x2＋2x＝0有怎样的关系？

（1）从关系式看二次函数y＝x2＋2x成为一元二次方程x2＋2x＝0的条件是什么？

（2）观察二次函数y＝x2＋2x的图像，你能确定一元二次方程x2＋2x＝0的根吗？

2.用同样的方法探索: 二次函数y＝x2－2x＋1与一元二次方程x2－2x＋1＝0有怎样的关系？

二次函数y＝x2－2x＋2与一元二次方程x2－2x＋2＝0有怎样的关系？

归纳结论：一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个公共点（x1，0）、(x2，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x＝x1、x＝x2，反过来也成立．

活动二：观察并思考

观察下列图像：

22

2

y＝x＋2x

y＝x－2x＋1

y＝x－2x＋2

（1）二次函数图像与x轴的公共点的个数；

（2）函数值为0与一元二次方程根的情况；

归纳结论：一般地，

(1)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有_________实数根; (2)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有一个公共点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有_________实数根; (3)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0_________实数根; 反过来，根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况，也可以判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数. 活动三：试一试

1．不画图像，你能判断函数的图像y＝x2＋6x－6与x轴是否有公共点吗？请说明理由．

2．已知二次函数y＝x2－4x＋k＋2与x轴有公共点，求k的取值范围．

当堂检测

1．方程x2＋4x－5＝0的根是

；则函数的图像与x轴的交点有

个，其坐标是

．

2．方程x2＋10x－25＝0的根是

；则函数的图像与x轴的交点有

个，其坐标是

．

3．下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是（

）

A．y＝x2－x

B．y＝x2－2

C．y＝x2＋6x－9

D．y＝x2－x＋2

5.4

二次函数与一元二次方程（2）

学习目标：1．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力,体会数形结合思想；

2．通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图像与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．

重难点：

能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根．

学习过程：

自主先学

回忆：函数yx22x3的图像如图1所示，你能看出方程x22x30的解吗？

创设：函数yx22x1的图像如图2所示，你能看出方程x22x10的解吗？

图1 合作探究

活动一：观察并思考

图2

从图像上来看，二次函数yx22x1的图像与x轴交点的横坐标一个在－1与02之间，另一个在2与3之间，所以方程x2x10的两个根一个在－1与0之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．

如下边表格所示，当我们算到－0.5时，还需要算吗？为什么？因为从图像的走势来看，继续往左取自变量的值，所得的函数值将越来越大，所以我们可以判定这个根一定在－0.4与－0.5之间，那会是多少呢？

x

y

－0.1 －0.79 －0.2 －0.6 －0.3 －0.31 －0.4 －0.04 －0.5 0.25 我们在取值时能不能较快地找到接近它的近似值呢？

我们可以取它们中间的值，再看它们的正负情况，它们的根一定在函数值的正负交替之间，这样我们就能较快缩小它的范围了．

活动二：试一试

利用二次函数的图像求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．

现在我们应该利用什么函数图像求方程x2＋2x－10＝3的根呢？

函数y＝x2＋2x－13的图像如图所示：

由图可知，图像与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面可用计算器进行探索．

x

y

－4.5 －4.6 －4.7 －4.8 0.44 －4.9 1.21 －1.75 －1.04 －0.31 因此x＝－4.7是方程的一个近似根．

另一个根可以类似地求出. 想一想：利用二次函数的图像估计一元二次方程的根的步骤是什么？

当堂检测

21．二次函数yaxbxc(a0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：

x

1

11

0

221

1 3274

2 52

3 y

2

1

4274

2

1 1

2

4一元二次方程axbxc0(a0，a，b，c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个

．

①③1315x10，x22

②1x1，2x2

22221513x10，2x2

④1x1，x22

2222221.利用二次函数yx2x5的图像，借助计算器探索方程x2x50根的近似值（精确到0.01）；

5.5

用二次函数解决问题（1）

学习目标：1．会运用二次函数的有关知识求有关销售中最大利润的问题.

2.培养将现实生活中的相关问题转化为二次函数问题的能力．

重难点：会运用二次函数的有关知识求有关销售中最大利润的问题.

学习过程：

自主先学

问题1 某种粮大户去年种植优质水稻360亩，平均每亩收益440元．他计划今年多承租若干亩稻田．预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元．该种粮大户今年应多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？

思考：

1.问题涉及哪些量？哪些是不变的量？哪些是变量？你能发现其中隐藏的数量关系吗？

2.若设总收益为y(元），尝试写出y(元）与x（亩）之间的函数表达式.以该函数表达式为基础，能否求出该种粮大户今年应多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？

合作探究

活动一

问题2 某商场以每件42元的价格购进一种服装,由试销知,每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t=204-3x . (1)写出商场每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数表达式（毛利润=销售价-进货价）

(2)每件的销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润为多少？

当堂检测

1.某鱼塘里饲养鱼苗10千尾，预计平均每千尾鱼的产量为1000kg．若再向该鱼塘里投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg．应再投放鱼苗多少千尾才能使总产量最大？最大总产量是多少？

2.某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

5.5

用二次函数解决问题(2)

学习目标：1.会用二次函数解决生活中的拱形问题.

2.会建立适当的平面直角坐标系解决此类问题.

重难点：用二次函数解决生活中的拱形问题.

学习过程：

自主先学

1.如图所示的抛物线的解析式可设为

，若AB∥x轴，且AB=4，OC=1，则点A的坐标为

，点B的坐标为

；代入解析式可得出此抛物线的表达式为

.

第1题

第2题

2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，于是你可推断点A的坐标是

，点B的坐标为

；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数表达式可设为

.

合作探究

活动一

河上有一座拱桥，已知桥下的水面离桥拱顶部3 m时，水面宽是6 m，

（1）求此拱桥所在抛物线的关系式；

（2）当水位上升1 m时，水面宽为多少（精确到0.1 m）

思考：如何建立平面直角坐标系？

（你有哪些方法）

你能根据你所建立的平面直角坐标系求出问题的答案吗？

活动二

一艘装满防汛器材的船，在上述问题所说的河流中运行，露出水面部分的高为0.5m、宽为4m．当水位上升1m时，这艘船能从桥下通过吗？

当堂检测

1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=－x2

，当水位线在AB位置时，水面宽

AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（

）

A.

5米

B.

6米；

C.

8米；

D.

9米

O A

2. 某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4.4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

(参考数据：11的算术平方根约为3.32)

B

5.5

用二次函数解决问题(3)

学习目标：1. 会用二次函数解决生活中的面积问题. 2.会建立适当的平面直角坐标系解决此类问题.

重难点：用二次函数解决生活中的面积问题.

学习过程：

自主先学

有一周长为60cm的矩形，设其一边长为xcm,面积为Scm2，则S与x之间的函数表达式为_________,自变量x的取值范围是________.当x=________时，S有最大值为____________.

合作探究

活动一

例1

在徐州市开展的美化城市活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示），若设花园的BC 长为x （m），花园的面积为y（m2）.

（1）求y 与x 之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；

（3）根据（1）中求得的函数表达式，描述其图像的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？

活动二

例2

如图，利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，并使∠C=90°，如果新建墙BCD的长为12m，怎样修建才能使储料场的面积最大？

当堂检测

1.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．

（1）求S与x的函数表达式．

（2）如果要围成面积为45m2的花圃，问AB的长是多少？

2.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为10米．求当x等于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？

第5章

小结与思考(1)

学习目标：1.理解二次函数的意义，会画二次函数的图像，加深理解二次函数的性质. 2.能确定二次函数图像的顶点、开口方向和对称轴，理解二次函数与一元二次方程的关系并能联系图像解决实际问题.

重难点：二次函数意义、性质及简单的实际应用.

学习过程：

自主先学

1．一般地，形如________________________________（_________是常数，且_____≠0）的函数称为二次函数，其中x是自变量，y是x的函数．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是___________，它的顶点坐标是___________，

对称轴是___________．

(1)当a>0时，图像的开口向______，当x______时，y随x的增大而增大；

当x______时，y随x的增大而减小；当x＝_______时，y有最_______值，为_______．

(2) 当a<0时，图像的开口向_______，当x_______时，y随x的增大而增大；

当x_______时，y随x的增大而减小；当x＝_______

时，y有最_______值，为________ . 3．将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x＋m)2＋h(a≠0)的形式为_________________．

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与_______的交点的横坐标；在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，若b2－4ac>0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴___________交点；若b2－4ac＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c

(a≠0)的图像与x轴___________交点；若b2－4ac<0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴___________交点．

5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)关系式与图像的联系，a决定了抛物线的_____________，a、b的符号决定了对称轴的位置，同号对称轴在y轴的______侧.c是抛物线与y轴交点的___

坐标.b2－4ac决定了抛物线与x轴的_______个数. 合作探究

活动一

二次函数的概念：

1．下列函数中，是二次函数的是（

）

2A.yx1222

B.y2x3x

C.yxy

D.yx1

xm222．若y(2m)x是二次函数，则m=

.

二次函数的图像及性质: 1．对于y2(x3)2的图像，下列叙述错误的是（

）

2

A．顶点坐标为(－3，2)

B．

对称轴为直线x=3 C．当x=3时，y有最大值2

D．当x3时y随x增大而减小

2．二次函数y＝x2－2x＋3的图像的顶点坐标是______,对称轴是__________ 3．已知抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为_______．

4．如图1，抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x1，且经过点P（3，0），则abc的值为

(

)

A. 0

B. －1

C.

1

D.

2

二次函数与一元二次方程的关系（尽量作草图解题）: 1．二次函数图1 yx22(m1)x4m的图像与x轴

（

）

A．没有交点

B．只有一个交点

C．只有两个交点

D．至少有一个交点

2．已知抛物线y＝x2－2(k＋1)x＋16的顶点在x轴上,则k＝_______ .

3．抛物线在y=x2-2x-3在x轴上截得的线段长度是

．

活动二

例1

初三数学课本上，用“描点法”画二次函数yx2bxc中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x

y

…

…

1

0

1

2

2

3

2

4

…

…

10

5

1

5

根据表格上的信息回答问题：（请在草稿纸上画出草图，关注四点一线）

2（1）该二次函数yaxbxc在x=5时，y

；

（2）当y<5时，x的取值范围是________________；

（3）当x为何值时，y有最_____值，最_____值是__________；

（4）若A(m，y1)，B(m1试比较y1、y2的大小(m＞6)

. ，y2)两点都在该函数的图像上，

例2

已知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，有下列结论：①b

－4ac＞0；②abc＞0；③8a＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0．其中,正确结论的个数是(

)．

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

２２

当堂检测

1.抛物线yx2-2x3与y轴的交点坐标是

，与x轴的交点坐标是

.若y＞0，则x的取值范围是____

．

2.若二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图像过原点，则m的值是

. 3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图像与x轴有交点，则k的取值范围是

(

) A．k<4

B．k≤4

C．k<4且k≠3

D．k≤4且k≠3

4.函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图像大致是

(

)

第5章

小结与思考（2）

学习目标：1. 理解并掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，体会数形结合思想；

2. 通过分析实际问题中的数量关系，会建立函数模型解决有关问题．

重难点： 二次函数在实际问题中的综合运用．

学习过程：

自主先学

1．二次函数yaxbxc（a0），

当

时，其图像与x轴有两个不同的交点，

当

时，其图像与x轴只有一个交点；

当

时，其图像与x轴没有交点．

2．二次函数yx22x3与y轴的交点C的坐标为

；

与x轴的交点A、B的坐标分别为

；当

时，y5．

3．商店出售某种书包，若每个获利x元，一天可售出(36x)个，则当x

元时，一天出售该种书包的总利润y最大为

．

4. 某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y12，x（x＞0）202若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为

．

5.行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能﹙车速不超过140千米/时﹚，对这

种汽车进行测试，数据如下表：

刹车时车速（千米/时）

刹车距离

0 0 10 20 30 40 50 60 0．3 1．0 2．1 3．6 5．5 7．8 ﹙1﹚以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图像；

﹙2﹚观察图像，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；

﹙3﹚该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？

合作探究

活动一

例1

某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施. 调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

活动二

医药公司推出了一种抗感冒药，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．如图的二次函数图象（部分）表示了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．

根据图像提供信息，解答下列问题：

（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；

（2）累积利润S与时间t之间的函数表达式；

（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；

（4）求第8个月公司所获利是多少元？

当堂检测

某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数表达式．

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数表达式．

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数表达式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？