用计算器求立方根、用有理数估计一个数立方根的大小优秀教案说课稿

第四讲

平方根与立方根

知识导引

平方根和立方根的概念的建立在数学中起了十分重要的作用，此概念是通过逆运算来建立的，而且有多种不同的情况．因而要理解这些概念刚开始时应借助于平方、立方的概念．在此之外还应学会用平方根、立方根等知识去解决一些简单的实际问题．

1．有关平方根：

（1）一个正数有正负两个平方根，，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．

（2）算术平方根a的双重非负性：①a≥0；②a≥0．

（3）a的三层含义：开方的运算符号，表示对a进行开方运算；特征符号，表示a的算术平方根；表示一种新的数，是开不尽方的数（即无理数）的表示形式．

2．有关立方根：

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．所以任何数都有立方根．

3．实数的几种非负形式：

（1）a0（a为实数）；（2）a实数）．

4．算术平方根的主要性质：2n0（a为实数，n为正整数）；（3）a0（a为非负[来源学*科*网]

（1）(a)2a；（2）aa；（3）ab2ab(a0,b0)；

[来源学科网]（4）aa(a0,b0)．

bb典例精析

例1：填空题：

（1）(3)的算术平方根是

．

（2）平方根等于它本身的数是

．

（3）和数轴上的点一一对应的数是

．

例1—1：下列说法正确的有：

（填入相应的序号）．

①－8是64的平方根；②4的算术平方根是2；③任何数都有立方根；④64的立方根是2；⑤8的平方根是±8；⑥93．

例1—2：已知x2

例2：比较大小：（1）23与32．

22y3(z1)20，求xyz的平方根．

（2）

12，x，x，x（0＜x＜1）．

x例2—1：设a32，b23，c32，则a、b、c的大小关系是（

）

A、a＞b＞c

B、a＞c＞b

C、c＞b＞a

D、b＞c＞a

例3：观察下列等式：

32223344，34，…

23，3333437726266363可得出一般规律是

．

222例4：如图是实数a、b在数轴上的位置，化简ab(ab)．

例5：已知x，y是实数，且3x4y30，则xy的值是

．

例5—1：若实数x，y满足x2(y3)20，则xy的值是

．

例6：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊讶，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请按照下面的问题试一试．

（1）由101000，1001000000，你能确定359319是几位数吗？（2）由59319的个位数字9，你能确定359319的个位数是几吗？

（3）如果划去59319后面三位数319得到数59，而327，464，由此你能确定33333[来源学科网]

59319的十位数是几吗？

（4）现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？

例7：已知913与913的小数部分分别为a、b，求4a＋4b＋8的值．

探究活动

例：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：

(1)212，S11；

22；

23；

2(2)213，S2(3)214，S3……

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律．

（2）推算出OA10的长．

222（3）求出S12S2．

S3S10

学力训练

A组

务实基础

1、若a＜0，则下列结论不成立的是（

）

33222233A、a(a)

B、a(a)

C、aa

D、aa

2、实数：5，22，22，，3，39在数轴上2的对应点，既在点A，C之间，又在点B，D之间的有（

）

A、3个

B、4个

C、5个

D、2个

3、下列各式中正确的是（

）

A、()142111

B、21

242

C、493342

D、132721376

16444、已知x满足2008xx2009x，那么x20082的值为

．

0，求实数a、b的值为

．

5、已知实数a、b满足3aba249a76、满足3x5的整数x是

．

7、已知32x3与335y互为相反数，则x的值为

．

y8、填空：已知40≈6.325，则4105≈

；设2a，3b，用含a、b的式子表示0.54为

．

9、已知m满足mm23m30，求m1m1的值．

10、如果一个正数的平方根是a＋3与2a－15，那么这个正数是多少？

B组

瞄准中考

1、（江西中考）已知20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（

）

A、2

B、3

C、4

D、5 2、（南京中考）如图，数轴上点A表示的可能是（

）

A、4的算术平方根

B、4的立方根

C、8的算术平方根

D、8的立方根

3、（天津中考）比较2，5，37的大小，正确的是（

）

A、2＜5＜37

B、37＜2＜5

C、2＜37＜5

D、5＜37＜2 4、（镇江中考）已知a5，b23，且ab＞0，则a＋b的值为（

）

A、8

B、－2

C、8或－8

D、2或－2 5、（茂名中考）已知：一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是

．

6、（凉山中考）已知a、b为有理数，m、n分别表示57的整数部分和小数部分，且amnbn21，则2a＋b＝

．

7、（衢州中考）计算：327()2

．

8、（上海中考）计算：(3)2712

[来源学。科。网Z。X。X。K]12030132．

29、若a满足2014aa2015a，求a2014的值．

10、（菏泽中考）观察下列分母有理化的运算：

11212，112323，134134，…，

2001200220012002，2002200320022003．

利用上面的规律计算：

11111()(12003)

1223342001200220022003

C组

冲击金牌

1、已知x是实数，则xxA、1x1的值是（

）

1

B、11

C、11

D、无法确定

2、如图，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数为（

）

A、23

B、13

C、23

D、13

3、设m51，则m1的整数部分为

．

m4、观察下列各式：

1111111，23，34，…

2334455请你将猜想得到的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来：

．

5、设a、b、c均为不小于3的实数，则求a2b11c1的最小值．

第四讲

平方根与立方根参考答案

典例精析

1、（1）3；（2）0；（3）实数

1—1、①③④⑤

1—2、0

2、（1）23＞32（2）1nn2＞x＞x＞x

2—1、A

3、3n3（n≥2，且n为整数）

n33xn1n14、原式＝abababab2b

5、－4

5—1、23

6、（1）359319是两位数；（2）359319的个位数是9；（3）359319的十位数是3；（4）185193的立方根是57

7、913与913的整数部分分别是12与5，则：

a＝913－12＝133，b＝913－5＝413，故4a＋4b＋8＝12．

探究活动

解：（1）(n)21n1，Snn22；（2）OA10(9)110，所以OA1010；21223102)()2()2()

2222（3）S1S2S3S10(＝2222123101231055．

444444学力训练

A组

1、B

2、A

3、B

4、C

5、7

21

6、－1，0，1，2

7、5

28、632.5

0.3ab

9、当m≥0时，mm23m3mmm3m；当m＜0时，mm23m3mmmm，所以由已知得m＝0，所以m1m1＝210、∵a＋3＋2a－15＝0，∴a＝4，∴a＋3＝7，∴这个正数是7的平方，即49．

B组

1、D

2、C

3、B

4、C

5、2

6、9、－2015

10、2002．

C组

1、A

2、A

3、3

4、n

[来源学科网]

5

7、－4

8、23

211

5、22．

(n1)n2n2