3 相似多边形教学设计与反思

第四节

相似多边形

第五课时

●课

题

§4.4

相似多边形

●教学目标

（一）教学知识点

经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形. （二）能力训练要求

经历探索图形的边、角关系，培养学生的观察能力，分析判断能力. （三）情感与价值观要求

通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性. ●教学重点

探索相似多边形的定义，以及用定义去判断两个多边形是否相似. ●教学难点

探索相似多边形的定义的过程. ●教学方法

指导探索法. ●教具准备

投影片两张

第一张（记作§4.4 A）

第二张（记作§4.4 B）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］大家从语文的角度来分析一下“相似”一词的意思. ［生］“相似”就是差不多，但也不是完全相同，既有相同部分也有不同部分. ［师］很好，那“相似多边形”应怎么理解呢？

［生］“相似多边形”即为两个边数相同的多边形，并且形状一样、大小可能不同. ［师］大家的分析能力非常棒，究竟“两个相似多边形”需满足什么条件呢？本节课我们将进行探索. Ⅱ.新课讲解

1.探究相似多边形的定义

投影片（§4.4 A）

下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？

图4－14 （1）在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测. （2）在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？

［师］请大家动手验证一下. ［生］在上图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形，其中

∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别对应相等，AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1A1的比都相等. ［师］从上可知，幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同，只是大小不同，它们的对应角相等、对应边成比例.那么，形状相同的多边形是都有这种关系呢，还是只有六边形才有呢？下面我们继续进行探讨. ［例题］

下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？

（1）正三角形ABC与正三角形DEF；

（2）正方形ABCD与正方形EFGH. ［师］请大家互相交流. ［生］解：（1）由于正三角形每个角都等于60°，所以

∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°

由于正三角形三边相等，所以

ABBCCA. DEEFFD（2）由于正方形的每个角都是直角，所以

∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，

∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°. 由于正方形四边相等，所以

ABBCCDDA

EFFGGHHE［师］从上面的讨论结果来看，大家能否猜测出相似多边形的定义呢？

［生］可以. 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）. 相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）.

［师］相似应该怎样表示呢？请认真看书. ［生］六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似.记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，其中AB∶A1B1等于相似比. ［师］在记两个多边形相似时，要注意什么？

［生］要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 2.想一想（1）

如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？

若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例. 3.议一议

投影片（§4.4 B）

1.观察下面两组图形，（1）中的两个图形相似吗？为什么？（2）中的两个图形呢？与同伴交流.

图4－15 2.如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？

［生］1.（1）中的两个图形不相似. 因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例，虽然（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等,所以两个图形不相似. （2）中的两个图形也不相似. 因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似. 2.如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如（2）中的两个图形；

如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等. 4.做一做

一块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的

内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？请大家交流后回答.

图4－16 ［生］答：不相似. 内边缘的矩形长为300 cm，宽为150 cm，外边缘的矩形长为315 cm，宽为165 cm，因为300150≠，所以内外边缘所成的矩形不相似. 3151655.想一想（2）

所有的边数相同的正多边形都相似吗？

［师］正多边形是指各边都相等，各角都相等的多边形，请大家根据定义进行判断. ［生］相似，因为各角都相等，各边都相等，所以在两个图形中满足对应角相等、对应边成比例，因此这两个正多边形肯定相似.比如：两个正三角形相似. Ⅲ.课堂练习

判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由. （1）两个大小不等的矩形；

（2）两个大小不等的正五边形；

（3）一个正方形与一个平行四边形；

（4）两个大小不等的菱形. 解：（1）两个大小不等的矩形不一定相似，虽然它们的对应角相等，都是直角，但它们的对应边不一定成比例. （2）两个大小不等的正五边形是相似多边形，因为它们的对应角相等，对应边成比例. （3）一个正方形与一个平行四边形不相似，因为平行四边形的四个角不相等，四条边也不相等，所以对应角不相等，对应边也不成比例. （4）两个大小不等的菱形不一定相似.因为菱形的边长相等，两个菱形满足对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似. Ⅳ.课时小结

本节课通过探究相似多边形满足的条件，从而推导出相似多边形的定义，并能根据定义判断某些图形是否为相似多边形. Ⅴ.课后作业

习题4.5 1.解：对应边的比为2∶3. 2.解：两个正六边形的边长分别为a和b，这两个正六边形相似.因为正六边形的每个角都等于120°，所以满足对应角相等，对应边成比例，所以它们相似. 3.解:小路内外边缘所成的矩形不相似，虽然它们的对应角相等，但对应边2010，2212

即对应边不成比例，所以不相似. Ⅵ.活动与探究

纸张的大小

图4－17 如图，将一张长、宽之比为2的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN. （1）矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗？

（2）在这些矩形中，有成比例的线段吗？

（3）你认为这些大小不同的矩形相似吗？

解：（1）矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比不改变. 设纸的宽为a，长为2a，则

2a

22aAE=a，ME=

222aMF=，HF=a

422aLG=a，LN=

442BC∴=a∶a=2

2BE2AEa= a∶=2

2ME22MFaa2

∶4HF2LG2aa∶=2

LN44所以五个矩形的长与宽的比不改变. （2）在这些矩形中有成比例的线段. （3）这些大小不同的矩形都相似. ●板书设计

BC=a，BE=

§4.4

相似多边形

一、1.探究相似多边形的定义. 例题

2.想一想（1）

3.议一议（根据定义判断两个多边形是否相似）

4.做一做

5.想一想（2）

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

●备课资料

经典名题

苏轼巧分田产

相传，北宋大文学家苏轼在凤翔作官时，为官清正，秉公执法，深得百姓拥戴.一天，有兄弟四人前来告状.苏轼坐在公案前，展开状纸一看：“小民杨大毛，家住城南寨.先父临终时，留下两顷田.只因分不均，兄弟反目.青天大老爷，请把理来断.”

图4－18 苏轼接过地契，心中暗暗盘算，杨家田地为工字形，如何分配，才让四兄弟满意呢？沉思片刻，计上心来,遂唤一名差役耳语道：“只需如此如此……”差役遵嘱叫上四兄弟当场丈量，不一会儿，只见四兄弟满面带笑地跑过来，叩头不迭道：“多谢恩公明断！”

你知道苏轼是怎样使分开后的四块田地形状相同，面积相等的吗？

分法如下：

图4－19

3.形状相同的图形

4.相似多边形

作业导航

认识生活中形状相同的图形；理解相似多边形和相似比的意义. 一、选择题

1.下列图形中一定相似的是(

) A.有一个角相等的两个平行四边形

B.有一个角相等的两个等腰梯形

C.有一个角相等的两个菱形

D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形

2.下列结论不正确的是(

) A.所有的矩形都相似

B.所有的正方形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似

D.所有的正八边形都相似

3.五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是(

) A.5∶4

B.4∶5 C.5∶25

D.25∶5 4.如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是(

) A.2∶1

B.4∶1 C.2∶1

D.1∶2

5.梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，EF∥AD交AB、CD于E、F，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则EF等于(

)

A.ab

B.ab

2a2b2C.

2

D.不能确定

二、填空题

6.如图1，EFAD∽ABCD，则∠A的对应角是________，∠B的对应角是________，AF( ). ( )AB

图1 7.所有的黄金矩形都是________. 8.两个相似多边形的对应边的比是9.两个相似多边形的相似比是2，则这两个多边形的相似比是________. 31，则这两个多边形的对应对角线的比是________. 810.在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∠A=∠A′=60°，若AB∶A′B′=1∶3，则BD∶A′C′=________. 三、解答题

11.某块地的平面图如图2所示，∠A=90°，其比例尺为1∶2000，根据图中标注的尺寸(单位：cm)，求该块地的实际周长和面积.

图2 12.如图3，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1.求矩形ABCD的面积.

图3 13.如图4，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD=4，BC=9，求AE∶EB.

图4

参考答案

一、1.C

2.A

3.B

4.C

5.A 二、6.∠FED

∠EFA

BC

EF

7.相似形

8.三、11.640 m

14400 m 2

12.由矩形ABCD∽矩形EABF可得21

9.

10.1∶3 38AEAB，设AE=x，则BC=2x，又AB=1，所以ABBCx1212，S矩形ABCD=2x·1=2

,x,x12x2213.梯形AEFD∽梯形EBCF

∴ADEFAE

EFBCEB又∵AD=4，BC=9. ∴EF2=AD·BC=4×9=36 ∵EF＞0

∴EF=6 ∴

AEAD42AE2,即

EBEF63EB3§4.4

相似多边形

班级：_______

姓名：_______ 一、请你填一填

（1）以下五个命题：①所有的正方形都相似

②所有的矩形都相似

③所有的三角形都相似

④所有的等腰直角三角形都相似

⑤所有的正五边形都相似. 其中正确的命题有_______. （2）已知三个数1，2，3，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是________（填写一个即可）. （3）相同时刻的物高与影长成比例，如果有一根电线杆在地面上的影长是50米，同时高为1.5米的标竿的影长为2.5米，那么这根电线杆的高为________米. （4）在一张比例尺为1∶50000的地图上，量得A、B两地的图上距离为2.5 厘米，那么A、B两地的实际距离是________米.

二、

如图，图（1）是一个正六边形ABCDEF，使线段BC、FE的长增加相等的数，得图（2），将图（1）中的点A、D分别向两边拉长相等的量，得图（3）. 那么图（1）与图（2）相似吗？图（1）与图（3）相似吗？图（2）与图（3）呢？为什么？

三、

（1）如图4—4—1与2—4—2,等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似,∠A′=65°,A′B′=6 cm, AB=8 cm, AD=5 cm,试求梯形ABCD的各角的度数与A′D′、B′C′的长.

图4—4—1

图4—4—2 （2）如图4—4—3，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么：①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？

②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？

图4—4—3

参考答案

§4.4

相似多边形

一、（1）①④⑤

（2）23或米

二、图（1）与图（2）不相似，图（1）与图（3）不相似，图（2）与图（3）也不相似.理由略

三、（1）解：∵等腰梯形ABCD与A′B′C′D′相似，∠A′=65°

∴∠A=65°,∠B=65°

∠D=∠C=180°－65°=115°

又ABAD, ABAD323或（填写一个即可）

（3）30

（4）125023∴68AD, 515cm 415cm 4∴A′D′=∴B′C′=A′D′=（2）解：①两个圆相似

②这两个圆的半径分别为50米，60米

所以它们的半径之比为5∶6，周长之比为（2π×50）∶（2π×60）即为5∶6，所以这两个圆的半径之比等于周长之比.