阅读与思考　一次方程组的古今表示及解法优秀教学设计内容

8.2消元----解二元一次方程组——代入法

教学目标

(一)教学知识点

1．代入消元法解二元一次方程组．

2．解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”的化归思想．

(二)能力训练要求

1．会用代入消元法解二元一次方程组．

2．了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．

(三)情感与价值观要求

1．在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心．

2．培养学生合作交流，自主探索的良好习惯．

教学重点

1．会用代入消元法解二元一次方程组．

2．了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想．

教学难点

1．“消元”的思想．

2．“化未知为已知”的化归思想．

教学方法

启发——自主探索相结合．

教师引导学生回忆一元一次方程解决实际问题的方法并从中启发学生如果能将二元一次方程组转化为一元一次方程．二元一次方程便可获解，从而通过学生自主探索总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤．

教学过程

Ⅰ．提出疑问，引入新课

x5在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，y3x5得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组解的定义得出y3xy8是方程组的解．所以成人和儿童分别去了5个人和3个人．

5x3y34但是，这个解是试出来的．我们知道二元一次方程的解有无数个．难道我们每个方程组的解都去这样试？这就需要我们学习二元一次方程组的解法．

Ⅱ．讲授新课

在七年级第一学期我们学过一元一次方程，也曾碰到过“希望工程”义演问题，当时是如何解的呢？

解：设成人去了x个，儿童去了(8－x)个，根据题意，得：

5x+3(8－x)=34

解得x=5 将x=5代入8－x=8－5=3 答：成人去了5个，儿童去了3个．

同学们可以比较一下：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？

列二元一次方程组设出有两个未知数成人去了x个，儿童去了y个．列一元一次方程设成人去了x个，儿童去了(8－x)个．y应该等于(8－x)．而由二元一次方程组的一个方程x+y=8根据等式的性质可以推出y=8－x．

还发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相比较，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就转化成了一元一次方程．

我们发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识转化为旧知识便可．如何转化呢？

上一节课我们就已知道方程组的两个未知数所包含的意义是相同的．所以将中的①变形，得y=8－x

③我们把y=8－x代入方程②，即将②中的y用8－x代替，这样就有5x+3(8－x)=34．“二元”化成“一元”．

这位同学很善于思考．他用了我们在数学研究中“化未知为已知”的化归思想，从而使问题得到解决．下面我们完整地解一下这个二元一次方程组．

解：由①得

y=8－x

③

将③代入②得

5x+3(8－x)=34 解得x=5 把x=5代入③得y=3．

x5所以原方程组的解为

y3.下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题．

［师生共析］解二元一次方程组：

分析：我们解二元一次方程组的第一步需将其中的一个方程变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，把表示了的未知数代入未变形的方程中，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程．

解：由①得x=2+y

③

将③代入②得(2+y)+1=2(y－1) 解得y=5 把y=5代入③，得

x=7．

x7所以原方程组的解为即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹．

y5在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”而得到消元的目的．我们将这种方法叫代入消元法．这种解二元一次方程组的思想为消元思想．我们再来看两个例子．

出示投影片 ［例题］解方程组

(由学生自己完成，两个同学板演)．

解：(1)将②代入①，得

y3+2y=8 23y+9+4y=16 7y=7 y=1 将y=1代入②，得

x=2 3×x2所以原方程组的解是

y1(2)由②，得x=13－4y

③

将③代入①，得

2(13－4y)+3y=16 －5y=－10 y=2 将y=2代入③，得

x=5 x5所以原方程组的解是

y2.［师］下面我们来讨论几个问题：

出示投影片

(1)上面解方程组的基本思路是什么？

(2)主要步骤有哪些？

(3)我们观察例1和例2的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步．你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？

(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法) 我来回答第一问：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”．

我们组总结了一下解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，把它变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数．

第二步：把表示另一个未知数的代数式代入没有变形的另一个方程，可得一个一元一次方程．

第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值．

第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值．

第五步：用“{”把原方程组的解表示出来．

第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)把求得的解代入每一个方程看是否成立．

这个组的同学总结的步骤真棒，甚至连我们平时容易忽略的检验问题也提了出来，很值得提倡．在我们数学学习的过程中，应该养成反思自己解答过程，检验自己答案正确与否的习惯．

回答第三个问题．我们认为用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的分数是1的方程进行变形；若未知数的系数都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形．但我们也有一个问题要问：在例2中，我们选择②变形这是无可厚非的，把②变形后代入①中消元得到的是一元一次方程系数都为整数也较简便．可例1中，虽然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不简便，有没有更简捷的方法呢？

这个问题提的太好了．下面同学们分组讨论一下．如果你发现了更好的解法，请把你的解答过程写到黑板上来．

解：由②得2x=y+3 ③

③两边同时乘以2，得

4x=2y+6 ④

由④得2y=4x－6 把⑤代入①得

3x+(4x－6)=8 解得7x=14，x=2 把x=2代入③得y=1．

x2,所以原方程组的解为

y1.能把我们所学的知识灵活应用，而且不拘一格，将“2y”整体上看作一个未知数代入方程①，这是一个“科学的发明”．

Ⅲ．随堂练习

1．用代入消元法解下列方程组

解：将①代入②，得

x+2x=12 x=4．

把x=4代入①，得

y=8

x4所以原方程组的解为

y8

将①代入②，得

4x+3(2x+5)=65 解得x=5 把x=5代入①得

y=15 x5所以原方程组的解为

y15

由①，得x=11－y

③

把③代入②，得

11－y－y=7 y=2 把y=2代入③，得

x=9 x9所以原方程组的解为

y2

由②，得x=3－2y

③

把③代入①，得

3(3－2y)－2y=9 得y=0 把y=0代入③，得x=3

x3所以原方程组的解为

y0注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，不必强调解答过程统一．

Ⅳ．课时小结

这节课我们介绍了二元一次方程组的第一种解法——代入消元法．了解到了解二元一次方程组的基本思路是“消元”即把“二元”变为“一元”．主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值．即求得了方程的解．

Ⅴ．课后作业

课本习题8.2 2

Ⅵ．活动与探究

2已知代数式x+px+q，当x=－1时，它的值是－5；当x=－2时，它的值是4，求p、q的值．

过程：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p、q的方程，即

当x=－1时，代数式的值是－5，得

2(－1)+(－1)p+q=－5

①

当x=－2时，代数式的值是4，得

2(－2)+(－2)p+q=4

②

将①、②两个方程整理，并组成方程组

解方程组，便可解决．

结果：由④得q=2p

把q=2p代入③，得

－p+2p=－6 解得p=－6 把p=－6代入q=2p=－12 所以p、q的值分别为－6、－12．

板书设计

解二元一次方程组(一) 一、“希望工程”义演

xy8

5x3y34二、“谁的包裹多”问题

xy2

x12(y1)三、例题

四、解方程组的基本思路：消元即二元—→一元

五、解二元一次方程组的基本步骤

备课资料

一、参考例题

x3y4［例1］解方程组1

1xy024①②

分析：题中方程①x的系数为1，则用含y的代数式表示x，代入第②个方程；得到一个关于y的一元一次方程，求出y，进而再求出x；题中方程②出现常数项为零的情况，则由②得x=－2y，再代入①中消去x，进而求出方程组的解．

解法一：由②得x+2y=0即x=－2y．把③代入①得－2y+3y=4，得y=4 把y=4代入③得x=－2×4=－8 x8所以原方程的解为

y4解法二：由①得x=4－3y

把③代入②得(43y)

③

141y=0 2即y=4 把y=4代入③得x=4－3×4=－8 x8所以原方程组的解为

y4评注：解二元一次方程组的基本思想是“消元”，把二元一次方程组转化为我们已熟悉的一元一次方程来解．“代入法”是消元的一种方法，用代入法解二元一次方程组，首先要观察方程组中未知数系数的特点，尽可能选择变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是很关键的一步．

3y2x1［例2］解方程组x2y1

43①②

分析：先把方程②整理为一般形式4x－3y=－5③，通过观察发现方程①和③中y的系

数是“+3”和“－3”，可以用整体代入法将①变形为3y=1+2x后代入③，得出关于x的一元一次方程，进而得到方程组的解．

解：原方程整理为

3y2x1

4x3y5①③由①得3y=1+2x

④

把④代入③得

4x－(2x+1)=－5 解得x=－2 把x=－2代入④，得

3y=2×(－2)+1 y=－1 x2所以原方程的解为

y1评注：①解二元一次方程组一般要整理成标准形式，这样有利于确定消去哪个未知数；②用代入法解方程组，关键是灵活“变形”和“代入”，以达到“消元”的目的，要认真体会此题代入的技巧和方法．

2x3y33x2y11［例3］已知关于x、y的方程组的解相同，求a、b的值．

和axby12ax3by32x3y3分析：既然两个方程组的解相同，那么两个方程组的解也应与方程组的解3x2y11相同，将此方程组的解代入含有a、b的另两个方程，则解关于a、b的二元一次方程组，从而求出a、b的值．

2x3y3x3解：求得方程组解为将其代入ax+by=－1，2ax+3by=3，可得

3x2y11y1,3ab1

6a3b3①②

由①得，b=－3a－1 ③

把③代入②，得

6a+3(－3a－1)=3．

解得a=－2 把a=－2代入④，得

b=5 所以a=－2，b=5

二、参考练习

1．填空题

(1)用代入法解二元一次方程组最为简单的方法是将_________式中的_________表示为_________，再代入_________式．

(2)若方程3x－13y=－12的解也是x－3y=2的解，则x=_________，y=_________．

22(3)已知3b+2a=17，2a－b=－7，则a+b+4ab=_________．

22(4)已知｜4x－2y－3｜+(x+2y－7)=0，则(x－y)=_________．

2．选择题

x2y6(1)若方程组的解是一对相同的数，则a的值为

xy93aA．3 B．4 C．5 D．6 (2)已知x、y的值满足等式A．3

3x2y1x1y3xy，那么代数式的值为

x2y324544B．

33C．－

4D．－4

32xy3(3)若方程组的解互为相反数，则k的值为

2kx(k1)y10A．8 B．9 C．10 D．11 3．用代入法解下列方程组

5x2y2(1)

x3y32a3b(2)

3a2b54．若y=kx+b，当x=1时y=－1;当x=3时，y=5，求k和b的值．

答案：略