小结与思考教学设计内容推荐

相似三角形综合应用

中考说明

内容

相似三角形

基本要求

了解两个三角形相似的概念

略高要求

会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题

自检自查必考点

模型一

角分线模型

1、内角平分线

AAD是ABC的角平分线，则ABBD

ACCDBDC【证明】过C作CE∥AD交直线AB于E. ∵CE∥AD，

∴1E，23

又∵AD平分BAC，

∴12，

∴E3，

∴AEAC，

由CE∥AD可得：∴ABBDACCD

ABBD，

AECDEA123BDC2、外角平分线

BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，则AABBD

ACCDBCD【证明】过C作CE∥AD交直线AB于E. ∵CE∥AD，

∴13，24

又∵AD平分CAF，

∴12，

∴34，

∴AEAC，

ABBD由CE∥AD可得：，

AECDBA2E34CF1D∴ABBD

ACCD1 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有@学科网

模型二

梯形模型

b，则S△ADE∶若AD∶BCa∶S△ABE∶S△BEC∶S△DECa2∶ab∶b2∶ab

AEBCD

中考满分必做题

考点一

与公共边有关的相似问题

【例1】

如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若BFA90，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB，其中相似的为（ ）

AFGBCEDA．①④

B．①②

C．②③④

D．①②③

【答案】D 【解析】②AE2EFEB，∴DE2EFEB，故△FED∽△DEB

【例2】

如图，矩形ABCD中，BEAC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（ ）

DEFABC

1AF2

2【答案】A

A．BF2

1B．BF2AF2

3

C．BF21AF2

2

1

D．BF2AF2

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【例3】

如图，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，DFAB于F，交BE于G，FD、AC的延长线交于点H，求证：DF2FGFH. AFBGDECH

【解析】可通过射影定理转化成证明AFBFFGFH，证明BFG∽HFA即可. 【例4】

如图，ABC中，ACB90，CDAB于D，E为BC的中点，DE，AC的延长线交于F．

求证：ACFA．

BCFDFC23AD1EB

【答案】∵CDBC，E为BC中点，∴EDEC，∴12，又∵2B90，3B90，∴FAAD13，又∵FF，FCD∽FDA，∴ACBADC90，，又∵33，FDCDADACACFA∴ABC∽ACD，∴，∴．

CDBCBCFD

【巩固】在Rt△ABC中，过直角顶点B作斜边AC的垂线BD，取BC的中点E，连接ED并延长交BA的延长于点F，求证：FDAB

FBBCFAD

BEC【解析】△FAD∽△FDB，FDADAB

FBBDBC

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【例5】

如图，在ABC中，AD平分BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，

求证：FD2FBFC．

A12A3EE4BDCFBDCF23，【答案】连接AF∵EF垂直平分AD，∴AFDF，∴4DAF，即4又∵41B，∴231B，∵AD平分BAC，∴12，∴3B，又∵CFAAFB，∴CFA∽AFB，∴FA2FCFB．又∵AFDF，∴FD2FBFC

【巩固】如上图，在ABC中，FD2FBFC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，

求证：AD平分BAC．

A12A3EE4BDCFBDCF

【答案】连接AF，∵EF垂直平分AD，∴AFDF，∵DF2FCFB，∴AF2FCFB∴AFFB，FCAF又∵AFCBFA∴AFC∽BFA，∴3B，∵423，4B1，∴23B1，∴12，即AD平分BAC．

【例6】

已知，如图，ABC为等边三角形，DAE120且DAE的两边交直线BC于D，E两点，求证：BC2BDCE．

AA213DBCEDBCE

BAC60，∴1260．又∵360，∴1E60，∴2E，【解析】∵DAE120，

ABCE∵ABC360，∴ABDACE120∴ABD∽ECA，∴，即BDAC2ABACBDCE，∵ABACBC，∴ABBDCE．

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考点二

与旋转有关的相似问题

BCD90，AD∥BC，BCCD，E为梯形内一点，【例7】

如图，直角梯形ABCD中，且BEC90，将BEC绕C点旋转90使BC与DC重合，得到DCF，连EF交CD于M．已知BC5，CF3，则DM:MC的值为（ ）

A．5:3

B．3:5

C．4:3

D．

3:4

AEDMFBC

【答案】C．

【例8】

如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，求AG:DF:CE_________. ADADGFBECBGFCE

【答案】连接BD，BF。∵ABBC,BGBEABGCBE，ABBC,BGBE∴ABG≌CBE

∴AGCE∵EFBE,EFBE∴EBF45,BF2BE∵BCCD,BCCD

∴CBD45,BD2BC∴FBDCBE,∴

【例9】

（1）如图1，等边△ABC中，D为AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC．

（2）如图2，将（1）中的等边△ABC改为以BC为底边的等腰三角形，所作的△EDC改成相似于△ABC，请问：是否有AE∥BC？证明你的结论．

ADEBDBF2∴FBD∽EBC

BCBEDFBD2∴AG:DF:CE1:2:1

ECBFADBE

CBC

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【答案】（1）由△ACE∽△BCD，得EACACB，故AE∥BC．

（2）由△ACE∽△BCD，得EACBACB，故AE∥BC．

考点三

与三角形有关的相似综合题

△ABC内有一点P，【例10】

如图，过P作各边的平行线，把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形．若1，2，则△ABC的面积是________．

三个三角形的面积S1，S2，S3分别为1，AFDS1S3BHIS2EPGC

【解析】设△ABC的面积为S，则SS1SS2SS3SPDPEHGBHHGGC1，故BCBCBCBCS1S2S321122642．

642

【答案】

【例11】

如图所示，ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、R分别是直线BA与EF、FE与CD、DC

与AB的交点，S、T、U分别是BC与ED、DE与AF、FA与CB的交点，如果QP，求证：BC∶AB∶PRCD∶RQEF∶USDE∶STFA∶TU．

PUAUPFTAFTBERCDQRBOECDQ

【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且AB、CD、EF构成一个与PQR相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将AB、CD、EF集中到一起构成一个与PQR相似的三角形．

如图所示，将CD平移至OE位置，则OE∥CD，且OE=CD，

QRCD∶QREF∶QP，

所以FEOQ，且EO∶QPAB∶PR．

因此FEO∽PQR，从而OFEP，且FO∶PREF∶这说明FO∥AB，且FO=AB，进而FA∥OB，且FA=OB．

USCO∶STOB∶TU，

又因为CO∥DE，于是COB∽STU，所以BC∶USDE∶STFA∶TU．

注意到CODE，OBFA，故BC∶

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SS

【例12】

已知：ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．

（1）如图l，若ABC为锐角三角形，且ABC45，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FGDCAD；

（2）如图

2，若ABC135，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是_________；

（3）在（2）的条件下，若AG52，DC3，将一个45角的顶点与点B重合并绕点B旋转，N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线这个角的两边分别交线段FG于M，Q两点，若NG段BN相交于P，AEDD3，求线段PQ的长．

2AEBQPFM图3NGCAGEFD图1CFBCB图2G

ABC45∴BADABC45，∴ADBD

【答案】（1）证明：∵ADB90，∵BEC90，∴CBEC90∵DACC90，∴CBEDAC

∵FDBCDA90，∴FDBCDA∴DFDC∵GF∥BD

∴AGFABC45，∴AGFBAD∴FAFG，∴FGDCFADFAD

（2）FGDCAD

（3）如图，

∵ABC135，∴ABD45∵ADB90，∴DABDBA45，∴ADBD

∵FG∥BC，∴GDBADAB，∴AFFG∵AG52，FG2AF2AG2∴FGAF5

DF3，

∵CD3，由（2）知FGDCAD，∴ADBD2∴BC1，∴FDC为等腰直角三角形∴GCDF2DC232

分别过B，N作BHFG于点H

NKBG于点K∴四边形DFHB为矩形

BHDF3∴BHHG3，∴BGBH2

∴HFBD2，3292NK∵sinG

∴NK

∴BK

44NG∵MBNHBG45∴MBHNBK∵MHBNKB90

MHBH∴MBH∽NBK∴∴MH1∴FM1

NKBKCBFM

∵BC∥FG∴BCFCFN∵BPCMPF，AEDBQPFMHNCKG∴BPC≌MPF∴PCPF132FC

22

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∵BQCNQF∴BCQ∽NFQ∴∴CQ

BCCQCQ2

，∴FQ7NFFQ223252FC32∴PQCPCQ

9936考点四

与相似有关的动点问题

AC3，点P从B出发，沿BC方向以2/s的速度移动，【例13】

如图，ABC中，C90，BC8，AB5点Q从C出发，沿CA方向也以1/s的速度移动，若P，Q分别从B，C出发，经过多少时间CPQ与CBA相似？

AQBPCAC3【答案】∵C90，BC8，，设AC3k，AB5k，

AB5∴AC2BC2AB2，

即(3k)282(5k)2，解得k2（负值已舍去）

∴AC6

CQt

设经过ts后CPQ与CBA相似．此时BP2t，PC82t，本题需分两种情况：

（1）当CAB∽CQP时，

CQCPt82t，即，解得t2.4

CACB68（2）当CAB∽CPQ时，

CQCPt82t32，即，解得t．

11CBCA8632综上，当t2.4秒或秒时，CPQ与CBA相似

11

【例14】

如图，在矩形ABCD中，AB12，BC6，点P沿AB边从点A开始向点B以2/秒的速度移动，点Q沿DA边以1/秒的速度从点D开始移动，如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间(0≤t≤6)．

（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？

（2）求四边形QAPC面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．

（3）当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与ABC相似．

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DQCAPB

【答案】（1）当QAP为等腰直角三角形时，APAQ，

∴2t6t，t2

11（2）S四边形QAPCSQACSAPC(6t)122t636，即四边形QAPC的面积为定值．

22（3）分2种情况

APBA2t2，即①当APQ∽BAC时，2，解得t3．

AQBC6tAQBA6t6②

当AQP∽BAC时，2，即2，解得t．

APBC2t56综上当t3或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与ABC相似．

5中考满分必做题

【例1】

如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．若过A，D，C三点的圆O的半径为3，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，则DP的长为_________．

C P2

C A A B O D B P1

∴∠BCD＝∠B，∴DB＝DC．又∵在Rt△ACD中，【解析】∵∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝120°－90°＝30°DC＝AD·sin30°＝3，∴DB＝3．①过点D作DP1∥OC，交BC于点P1，则△P1DB∽△COB，∴DP1DBDB33×3＝＝．∵OB＝OD＋DB＝23∴DP1＝·OC＝②过点D作OBOBOC223D DP2⊥AB，交BC于点P2，则△BDP2∽△BCO，∴(23)2－(3)2＝3 DP2BD＝．∵BC＝BO2－OC2＝OCBC∴DP2＝

BD3×3＝1 ·OC＝BC39 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有@学科网

【例2】

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A重合），过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN．连接AN并延长交x轴于点B，连接ON．设OQ＝t，△BMN与△MON相似时，则△BMN的面积为_____________．

y y P A N O O Q M B x Q H M B 图2 x

P A N 19

【答案】或9252t－2t2BMNMt2【解析】当0＜

t

≤1时，如图1．若△BMN∽△MON，则＝．即2－t＝，∴t＝．

NMOM2t3t21111121

∴NM＝，BM＝t＝．∴S△BMN ＝BM·NM＝××＝．当1＜

t

＜2时，如图2．322239332t2－2tBMNMt6613若△BMN∽△MON，则＝．即2－t＝，∴t＝．∴NM＝，BM＝t＝．

NMOM2t5525t11369∴S△BMN ＝BM·NM＝××＝．

225525【例3】

如图，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝2．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．

（1）当点F在射线CA上时

①求证：PF＝PE．

②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．

（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．

A P F G C E B C 备用图

D A P D B 10 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有@学科网

【解析】（1）①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N

∵CD是∠ACB的平分线，∴PM＝PN

由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90°

∴∠1＋∠FPN＝90°∵∠2＋∠FPN＝90°，∴∠1＝∠2 ∴△PMF≌△PNE，∴PF＝PE

②解：∵CP＝2，∴CN＝CM＝1 ∵CF＝x，△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1－x

∴CE＝2－x

∵CF∥PN，∴

PN

＝

GN

，即

1

＝

CG＋1

∴CG＝

1－x

x

∴y＝

1－x

＋2－x（0≤

x＜1）

x

CF

CG

x

CG

A M F G C P 1 2 D N E B A P F 1 D （2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：

①当点F在射线CA上时

∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG

∴∠G＝∠1，∴FG＝FE，∴CG＝CE＝CP

在Rt△EGP中，EG＝2CP＝22 ②当点F在AC延长线上时

∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2 +∠5，∠1＝45°+∠2，∴∠5＝∠2 ∵∠1＝45°易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4 ∴CF＝CP＝2，∴FM＝2＋1 易证△PMF≌△PNE，∴EN＝FM＝2＋1 2

1－GN

∵CF∥PN，∴

PN

＝

GN

，即

1

＝

GN

CF

CG

G C E B A M 5 1 D P C 4 G N 3 2 E B ∴GN＝2－1 ∴EG＝2－1＋

2＋1＝22

F 11 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有@学科网

4【例4】

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，AB＝10，tanA＝3．点P是CE

延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q．设EP＝x，BQ＝y．

（1）求y关于x的函数关系式及定义域；

（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求PE的长；

（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．

A

C

P A E E A E

B Q C B 备用图

BC

C B 备用图

4【解析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝

AC

＝

3

∴AC＝6，BC＝8 1∵CE是斜边AB上的中线，∴CE＝BE＝

2

AB＝5 ∴∠PCQ＝∠ABC

又∠PQC＝∠ACB＝90°，∴△PCQ∽△ABC

44

8＋y

∴

PC

＝

AB

＝

5

，即

5＋x

＝

5

CQ

BC

P A E H 4∴y＝

5

x－4（x

＞5）

（2）过点B作BH⊥PC于H

∵PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，∴BH＝BQ＝y

324424∵BH＝

5

BC＝

5

，∴

5

x－4＝

5

∴x＝11 （3）∵∠BQF＝∠ACB＝90°，∠QBF＝∠A

∴△BFQ∽△ABC

当△BEF和△QBF相似时，则△BEF和△ABC也相似

有两种情况：

①当∠BEF＝∠A时

5在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，BE＝5，BF＝

3

y

544∴

3

（

5

x－4）＝

3

×5，解得x＝10 ②当∠BEF＝∠ABC时

5在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，BE＝5，BF＝

3

y

C B Q P A E F C B Q P A E F B Q C 12 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有@学科网

543125∴

3

（

5

x－4）＝

4

×5，解得x＝

16

125∴当△BEF和△QBF相似时，求x的值为10或

16

【例5】

如图1，在Rt△AOC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝90°，动点M和N分别在线段AB和AC边上．

（1）求证：△AOB∽△COA，并求cosC的值；

（2）当AM＝4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；

（3）如图2，当MN∥BC时，以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN．设MN＝x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

M N

O C B

图1

【解析】（1）∵AO⊥OC，∴∠ABO＋∠BAO＝90°∵∠ABO＋∠C＝90°，∴∠BAO＝∠C ∵∠AOB＝∠COA，∴△AOB∽△COA

∴OB

:

OA＝OA

:

OC ∵OB＝6，BC＝12，∴6

:

OA＝OA

:

18 ∴OA＝63 22 ∴AC＝OC

＋OA

＝

OC

18

18

22 ＋(63)

＝123 A A M E O B 图2

N C A M N O B 图1 C 3∴cosC＝

AC

＝

123

＝

2

3

（2）∵cosC＝

2

，∴∠C＝30°3

∵tan∠ABO＝

OB

＝

6

＝3，∴∠ABO＝60°∴∠BAC＝30°，∴AB＝BC＝12 ①当∠AMN＝∠ABC时（如图1），△AMN∽△ABC

22∵AM＝4，∴S△AMN :

S△ABC

＝AM

:

AB

＝4

:

12

＝1

:

9 22

OA

6A N M O B 图2 C ②当∠AMN＝∠C时（如图2），△AMN∽△ACB

2222∵AM＝4，∴S△AMN :

S△ABC

＝AM

:

AC

＝4

:（123）＝1

:

27 11（3）易得S△ABC

＝

2

BC·OA＝

2

×12×63＝363 ∵MN/∥BC，∴△AMN∽△ABC

2222∴S△AMN :

S△ABC

＝MN

:

BC

，∴S△AMN :

363＝x

:

12

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32∴S△AMN

＝

4

x

①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3）

∵MN/∥BC，∴∠ANM＝∠C＝30°∴∠ANM＝∠BAC，∴AM＝MN＝x ∵以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN

∴∠ENM＝∠ANM＝30°，∴∠AFN＝90°111∴MF＝

2

MN＝

2

AM＝

2

x ∴S△FMN :

S△AMN

＝MF

:

AM

312∴y

:

4

x

＝

2

x

:

x＝1

:

2 32∴y＝

8

x

（0＜x

≤8）

∵MN/∥BC，∴CN

:

AC＝BM

:

AB

∴CN

:

123＝（12－x

）:

12，∴CN＝123－

3x

22∵△CNG∽△CBA，∴S△CNG :

S△ABC

＝CN

:

BC

22∴S△CNG :

363＝（123－

3x

）

:

12

A M E O F B 图3 N C A ②当EN与线段AB不相交时，设EN与BC交于点G（如图4）

M O E B G N C 32∴S△CNG

＝

4

（123－

3x

）

图4 332∴S阴影＝S△ABC

－

S△AMN

－

S△CNG

＝363－

4

x

－

4

（123－

3x

）2

2即y＝－

3x

＋183x－723（8＜x

＜12）

【例6】

如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），AD⊥AB，垂足为点A．连接MO，将△BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线MB1与AC、AD分别交于点F、N．

（1）当∠CMF＝120°

时，求BM的长；

△CMF

的周长

（2）设BM＝x，y＝

△ANF

的周长

，求y关于x的函数关系式。并写出自变量x的取值范围；（3）连接NO，与AC边交于点E，当△FMC∽△AEO时，求BM的长．

C D B1 N F M A

O B

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【解析】（1）∵∠CMF＝120°

，∴∠BMN＝60°

∴∠BMO＝30°∴Rt△MOB中，BM＝OB·cot30°＝2

3 （2）连接ON，∵OA＝OB＝OB1，ON＝ON

∴Rt△ANO≌Rt△B1NO，∴∠AON＝∠B1ON，AN＝B1N

又∵∠MOB1＝∠MOB，∴∠MON＝90°∵∠OB1M＝∠B＝90°，∴△MB1O∽△OB1N，

∴OB12＝B1M·B1N

又B1M＝BM＝x，OB1＝OB＝2 442∴2

＝x·B1N，∴B1N＝

x

，∴AN＝

x

∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°

又∠B＝90°，∴AD∥BC，∴△CMF∽△ANF

△CMF

的周长4－xCM12∴y＝

△ANF

的周长

＝

AN

＝

4

＝－

4

x

＋x

x

12即y＝－

4

x

＋x（0＜x

＜4）

（3）由题意知：∠EAO＝∠C＝45°若△FMC∽△AEO，则有两种情况：∠FMC＝∠AEO或∠FMC＝∠AOE

①当∠FMC＝∠AEO时，有∠CFM＝∠AOE

由（2）知∠AOE＝∠B1OE＝∠OMF

∴∠CFM＝∠OMF，∴OM∥AC

∴∠OMB＝∠C＝45°

∴Rt△MOB中，BM＝OB·cot45°＝2 ②当∠FMC＝∠AOE时，∵∠AOE＝∠OMF

∴∠FMC＝∠OMF＝∠OMB＝60°

23∴△MOB中，BM＝OB·cot60°＝

3

23综上所述，当△FMC∽△AEO时，求BM的长为2或

3

4）A0）M是线段AC的中点．【例7】

在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，，（t，是x轴上一动点，把线段AM绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．

（1）若t＝3，则点B的坐标为____________，若t＝－3，则点B的坐标为____________；

（2）若t

＞0，当t为何值时，△BCD的面积等于6

？

（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

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C D B1 N F M A D N O B C B1 (F)

E M A O B D N F B1 E C M O B A

y y C D C M O A B E x O 备用图

x

33【解析】（1）（5，

2

），（－1，－

2

）

（2）①当0＜t

＜8时，如图1

∵∠CAB＝90°，∴∠CAO＋∠BAE＝90°∵∠CAO＋∠ACO＝90°，∴∠BAE＝∠ACO

y C D 又∠BEA＝∠AOC＝90°，∴△BEA∽△AOC

11

AE

BE

AB

AE

BE

∴

CO

＝

AO

＝

CA

＝

2

，即

4

＝

t

＝

2

11∴AE＝2，BE＝

2

t，∴B（t＋2，

2

t）

111∴S△BCD ＝

2

CD·BD＝

2

（

t＋2）（

4－

2

t

）＝6 解得t＝2或t＝4 ②当t

＞8时，如图2 111S△BCD ＝

2

CD·BD＝

2

（

t＋2）（

2

t－4

）＝6 解得t＝10或t＝－4（舍去）

∴当t＝2或t＝4或t＝10时，△BCD的面积等于6 （3）①当0＜t

＜8时，如图1

CD

BD

若△CDB∽△AOC，则

AO

＝

CO

1

4－

2

t

t＋2

即

t

＝

4

，t无实数解

②当t

＞8时，如图2 若△CDB∽△AOC，则

AO

＝

CO

1

2

t－4

t＋2

即

t

＝

4

，解得t＝－4

3＋8（舍去）或t＝4

3＋8 若△BDC∽△AOC，同理，t无实数解

③当－2＜t

＜0时，如图3

CD

BD

若△CDB∽△AOC，则

AO

＝

CO

CD

BD

M O A 图1 B E x y C M O 图2 B D A E x 若△BDC∽△AOC，同理，解得t＝－2

5－2（舍去）或t＝2

5－2 C M O A y D E B x 图3 16 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有@学科网

1

4－

2

t

t＋2

即

－t

＝

4

，t＝－4

5＋8或t＝4

5＋8（舍去）

若△BDC∽△AOC，同理，t无实数解

④当t

＜－2时，如图4

CD

BD

△CDB∽△AOC，则

AO

＝

CO

1－

t－2

4－

2

t

即

－t

＝

4

，t无实数解

若△BDC∽△AOC，同理，解得t＝－4或t＝4（舍去）

相似

y D M x C A E B O 图4 ∴存在t＝2

5－2或4

3＋8或－4

5＋8或－4，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC【例8】

如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴相交于A（25，0），B（0，5）两点，将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转得到Rt△A′OB′．

（1）求直线l的解析式；

（2）若OA′⊥AB，垂足为D，求点D的坐标；

（3）如图2，若将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°，A′B′

与直线l相交于点F，点E为x轴上一动点．试探究：是否存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′

相似．若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

y

A′

l

B

D B′

O

图1

【解析】（1）设直线l的解析式为y＝kx＋b

l F B y A′

A x B′

O 图2 A x y l B B′

O H 图1 ∵点A（25，0），B（0，5）在直线l上

125kb0＋＝k＝－

2



解得：

∴b＝5b＝51∴直线l的解析式为y＝－

2

x＋

5 22 ∴AB＝

OA

＋OB

＝5 A′

D A x （2）∵A（25，0），B（0，5），∴OA＝25，OB＝5 11∵OA′⊥AB即OD⊥AB，∴

2

OA·OB＝

2

AB·OD

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11∴

2

×25×5＝

2

×5×OD，∴OD＝2 过点D作DH⊥x轴于点H（如图1）

则∠DAH＋∠ADH＝∠ODH＋∠ADH＝90°∴∠DAH＝∠ODH

5

1∵在Rt△AOB中，tan∠BAO＝

OA

＝

25

＝

2

1

OH

∴tan∠ODH＝

DH

＝

2

，DH＝2OH

OB

y A′

l F B 在Rt△ODH中，设OH＝a，则DH＝2a

222222∵OH

＋DH

＝OD

，∴a

＋4a

＝2

E B′

图2 O A x 252545∵a

＞0，∴a＝

5

，∴OH＝

5

，DH＝

5

2545∴点D的坐标为（

5

，

5

）

（3）存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′

相似

理由：∵△A′OB′

由△AOB逆时针旋转90°所得

∴△A′OB′≌△AOB，∴∠B′A′O＝∠BAO

又∵∠FBA′＝∠OBA，∴△BFA′∽△BOA

A′O－BO

BF

A′B

BF

∴

BO

＝

AB

，即

BO

＝

AB

∴

5

＝

BF

2y A′

l F B 5－

5

，∴BF＝1，∴AF＝AB＋BF＝6

5

AE

AF

B′

O 图3 E A x ①如图2，当△AFE∽△A′BB′

时，有

A′B′

＝

A′B

∴

5

＝

5

，∴AE＝65，∴OE＝AE－AO＝65－25＝45 ∴E1（－45，0）

②如图3，当△AEF∽△A′BB′

时，有

A′B

＝

A′B′

656545∴

5

＝

5

，∴AE＝

5

，∴OE＝AO－AE＝25－

5

＝

5

45∴E2（

5

，0）

AE

6

AE

AF

AE

6

45综上所述，存在点E1（－45，0），E2（

5

，0），使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′

相似

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课后作业

0．甲沿AO1.

如图1，甲、乙两人分别从A．B两点同时出发，点O为坐标原点，A点1，3，6，方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．

（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；

（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？

2（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

图1 【答案】（1）当M．N都在O右侧时，所以OM24tON64t212t，1t，

OA2OB63OMON．因此MN与AB不平行．

OAOB（2）①如图2，当M．N都在O右侧时，∠OMN》∠B，不可能△OMN∽△OBA．

②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON》∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．

③如图4，当M．N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么所以ONOA．

OMOB4t62．解得t＝2．

4t26

图2

图3

图4 （3）①如图2，OM24t，OH12t，MH3(12t)．

NHONOH(64t)(12t)52t．

②如图3，OM4t2，OH2t1，MH3(2t1)．

NHONOH(64t)(2t1)52t．

③如图4，OM4t2，OH2t1，MH3(2t1)．

NHOHON(2t1)(4t6)52t．

综合①、②、③，sMN2MH2NH2

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(52t)216t232t2816(t1)212．

3(2t1)所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．

2.

如图，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F，

求证：BP2PEPF．

AFEPBDCB1PD2CEAF2【答案】连接CP，

由CF∥AB，

∴F1，

再证明APB≌APC可得12

PBCPCB，

（也可以由ABAC，PBPC，于是ABCACB，等量减等量便可得12）

又∵CPEFPC，

∴CPE∽FPC，

∴PC2PEPF，

又∵PCPB，

∴PB2PEPF．

【例15】

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，ABBC，对角线ACBD，垂足为E，ADBD，过E

的直线EF∥AB交AD于F．

（1）AFBE，

（2）AF2AEEC．

DFECAB【答案】（1）∵EF∥AB，

∴DFEDEF

∴DFDE，

又∵ADBD，

∴AFBE，

（2）ABC90，BEAC，

∴ABE∽BEC，

∴BE2AEEC

∴AF2AEEC

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3.

ABC中，C90，A60，AC2cm．长为1cm的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．

（1）若AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；

（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；

（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？

CPQ

【解析】（1）当点P在AC上时，∵AMt，∴PMAMtg603t．

132t0≤t≤1．

∴yt3t22AMNB当点P在BC上时，PMBMtan3034t．

313323ytt1≤t≤3．

4tt22363（2）∵AC2，∴AB4．∴BNABAMMN4t13t．

3∴QNBNtan303t．

33由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PMQN，即3t3t，

33∴t．

43∴当ts时，四边形MNQP为矩形．

43（3）由（2）知，当ts时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，

4∴PQC∽ABC．

除此之外，当CPQB30时，QPC∽ABC，此时CQ3tan30．

CP3AM1cos60，∴AP2AM2t．∴CP22t．

AP2BN3BN23cos30∵，∴BQ3t．

BQ233∵又∵BC23，∴CQ232323t．

3t3323t31∵3t．

22t3

213∴当ts或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似．

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13323t1≤t≤3

【答案】（1）yt4tt223633（2）当ts时，四边形MNQP为矩形

413（3）当ts或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似

24

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