5.1 二次函数设计意图

数学教学设计

教

材：义务教育教科书·数学（九年级下册）

5.1

二次函数

1．经历探索两个变量之间函数关系的过程，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系；

教学目标

2．通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的关系式，体会二次函数的意义；

3．通过实例分析，进一步感受函数的三要素和自变量取值范围的确定．

教学重点

二次函数的概念．

教学难点

加深对函数概念的理解．

教学过程（教师）

回顾复习

回顾我们学习过的函数有哪几种？你能分别写出它们的表达形式吗？

回顾已学知识，尝试写出一次函数（正比例函数）、反比例函数表达形式．

回顾已学的函数知识，为二次函数的出现做准备．

学生活动

设计思路

情境创设

水滴激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的周长C、面积S分别与半径r之间有怎样的函数关系？这两个函数关系式有何差异？

实践探索一

用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？你能说清其中的道理吗？

学生知道正方形时最大，但大部分学生无法说明原因．个别学生会设长方形的长为xm，从函数关系式y＝－x＋8x入手，用配方的方法加以说明．

2由学生熟悉的情景分别写出C、S关于r的函数关系式，观察比较两入手，用问题激发学生个函数关系式之间的差异．

探究欲望，很自然地引入二次函数．

在这个问题中我们关注的是周长一定的长方形，其形状、面积各不相同．通过相互讨论，学生主动参与到学习活动中来．

实践探索二

一面长与宽之比为2:1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元．总费用y（元）与镜面宽x（米）之间有怎样的函数关系？

在这个问题中镜面、边框的费用分别与什么有关？有哪些变量？其中哪些是自变量？

定义教学一

观察所列式子，它们有什么共同特征？

一般地，形如y＝ax＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）的函数叫二次函数．其中x是自变量，y是x的函数．

通常，二次函数的自变量x可以是任意实数，如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个量，那么它的取值范围受到实际意义的限制．

定义教学二

生活中有许多二次函数的实例，你还能举出一些例子吗？

通过学生举例，进一步明确二次函数的概

学生举例说明生活中二次函数的实例．

念和所描述的关系，感受二次函数是描述一类现实问题中变量之间关系的数学模型．

学生归纳总结二次函数的概念．

2用问题串的方式，引导学生经历探究实际问题中两个变量之间的小组讨论：y＝240x2＋180x＋45．

数量关系，写出函数关系式的过程，感受将实际问题数学化的基本方法．

通过观察、思考、交流等活动，让学生归纳二次函数的定义，明确二次函数自变量的取值范围．

例题

例1

已知函数y＝(m－3)xm－7是二次函数，求m的值．

例2

写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

（2）某化肥厂10月份生产某种化肥200t，如果11、12月的月平均增长率为x，求12月份化肥的产量y（t）与x之间的函数关系；

（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．

例3

已知二次函数y＝ax2，当x＝2时，y＝－8．当x＝－8时，求y的值．

总结

1．二次函数的定义；

2．二次函数的一般形式；

3．会化一般形式，确定a、b、c．

课后作业

课本P8习题5.1第1、2、3题．

2m－30，

解：1．由题意得：2

解得：m＝－3．

m－7＝2，x2

2．（1）y＝，是二次函数；

4π通过对例题的解析，加强学生对本节内容的理解．

（2）y＝200x2＋400x＋200，是二次函数；

1

（3）S＝－x2＋13x，是二次函数．

2

3．由题意得：－8＝4a

，解得：a＝－2；

当x＝－8时，y＝－2×（－8）2 ＝－128．

培养学生反思的习惯．