课题研究优秀教学设计

专题定位

本专题综合应用动力学、动量和能量的观点来解决物体运动的多过程问题.本专题是高考的重点和热点，命题情景新，联系实际密切，综合性强，侧重在计算题中命题，是高考的压轴题. 应考策略

本专题在高考中主要以两种命题形式出现：一是综合应用动能定理、机械能守恒定律和动量守恒定律，结合动力学方法解决多运动过程问题；二是运用动能定理和能量守恒定律解决电场、磁场内带电粒子运动或电磁感应问题.由于本专题综合性强，因此要在审题上狠下功夫，弄清运动情景，挖掘隐含条件，有针对性的选择相应的规律和方法.

1.动量定理的公式Ft＝p′－p除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是动量变化的原因. 动量定理说明的是合外力的冲量与动量变化的关系，反映了力对时间的累积效果，与物体的初、末动量无必然联系.动量变化的方向与合外力的冲量方向相同，而物体在某一时刻的动量方向跟合外力的冲量方向无必然联系. 动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力，它可以是恒力，也可以是变力，当F为变力时，F应是合外力对作用时间的平均值. 2.动量守恒定律

(1)内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变. (2)表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′；或p＝p′(系统相互作用前总动量p等于相互作用后总动量p′)；或Δp＝0(系统总动量的增量为零)；或Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等、方向相反). (3)守恒条件

①系统不受外力或系统虽受外力但所受外力的合力为零. ②系统合外力不为零，但在某一方向上系统合力为零，则系统在该方向上动量守恒. ③系统虽受外力，但外力远小于内力且作用时间极短，如碰撞、爆炸过程. 3.解决力学问题的三个基本观点

(1)力的观点：主要是牛顿运动定律和运动学公式相结合，常涉及物体的受力、加速度或匀变速运动的问题. (2)动量的观点：主要应用动量定理或动量守恒定律求解，常涉及物体的受力和时间问题，以1

及相互作用物体的问题. (3)能量的观点：在涉及单个物体的受力和位移问题时，常用动能定理分析；在涉及系统内能量的转化问题时，常用能量守恒定律.

1.力学规律的选用原则

(1)单个物体：宜选用动量定理、动能定理和牛顿运动定律.若其中涉及时间的问题，应选用动量定理；若涉及位移的问题，应选用动能定理；若涉及加速度的问题，只能选用牛顿第二定律. (2)多个物体组成的系统：优先考虑两个守恒定律，若涉及碰撞、爆炸、反冲等问题时，应选用动量守恒定律，然后再根据能量关系分析解决. 2.系统化思维方法，就是根据众多的已知要素、事实，按照一定的联系方式，将其各部分连接成整体的方法. (1)对多个物理过程进行整体思维，即把几个过程合为一个过程来处理，如用动量守恒定律解决比较复杂的运动. (2)对多个研究对象进行整体思维，即把两个或两个以上的独立物体合为一个整体进行考虑，如应用动量守恒定律时，就是把多个物体看成一个整体(或系统).

解题方略

1.弹性碰撞与非弹性碰撞

碰撞过程遵从动量守恒定律.如果碰撞过程中机械能守恒，这样的碰撞叫做弹性碰撞；如果碰撞过程中机械能不守恒，这样的碰撞叫做非弹性碰撞. 2.应用动量守恒定律的解题步骤

(1)明确研究对象(系统包括哪几个物体及研究的过程)；

(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上动量是否守恒)；

(3)规定正方向，确定初、末状态动量；

(4)由动量守恒定律列式求解；

(5)必要时对结果进行讨论. 例1如图1所示，光滑水平面上有一质量为m＝1 kg的小车，小车右端固定一水平轻质弹簧，弹簧左端连接一质量为m0＝1 kg的物块，物块与上表面光滑的小车一起以v0＝5 m/s的速度向右匀速运动，与静止在光滑水平面上、质量为M＝4 kg的小球发生弹性正碰，若碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内.求：

(1)碰撞结束时，小车与小球的速度；

2

(2)从碰后瞬间到弹簧被压至最短的过程，弹簧弹力对小车的冲量大小.

图1 解析

(1)设碰撞后瞬间小车的速度大小为v1，小球的速度大小为v，由动量守恒及机械能守恒有：

mv0＝Mv＋mv1

121212mv＝mv＋Mv

20212m－M解得v1＝v＝－3 m/s，小车速度方向向左. m＋M02mv＝v＝2 m/s，小球速度方向向右. m＋M0(2)当弹簧被压缩到最短时，物块与小车有共同进度，

设小车的速度大小为v2，根据动量守恒定律有：

m0v0＋mv1＝(m0＋m)v2，解得v2＝1 m/s. 设碰撞后瞬间到弹簧最短的过程，弹簧弹力对小车的冲量大小为I，根据动量定理有I＝mv2－mv1，解得I＝4 N·s. 答案

(1)小车：3 m/s，方向向左

小球：2 m/s，方向向右

(2)4 N·s 预测1

(2016·全国乙卷·35(2))某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在

空中.为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开.忽略空气阻力.已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g.求：

(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；

(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度. v0

2M2g答案

(1)ρv0S

(2)－222

2g2ρv

0S解析

(1)在刚喷出一段很短的Δt时间内，可认为喷出的水柱保持速度v0不变. 该时间内，喷出水柱高度Δl＝v0Δt①

喷出水柱质量Δm＝ρΔV②

其中ΔV为水柱体积，满足ΔV＝ΔlS③

由①②③可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为

3

Δm＝ρv0S. Δt(2)设玩具底面相对于喷口的高度为h

由玩具受力平衡得F冲＝Mg④

其中，F冲为水柱对玩具底面的作用力

由牛顿第三定律：F压＝F冲⑤

其中，F压为玩具底面对水柱的作用力，v′为水柱到达玩具底面时的速度

由运动学公式：v′2－v20＝－2gh⑥

在很短Δt时间内，冲击玩具水柱的质量为Δm

Δm＝ρv0SΔt⑦

由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱应用动量定理

(F压＋Δmg)Δt＝Δmv′⑧

由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略，⑧式变为

F压Δt＝Δmv′⑨

2v

M2g0由④⑤⑥⑦⑨可得h＝－222. 2g2ρv

0S

解题方略

1.弄清有几个物体参与运动，并划分清楚物体的运动过程. 2.进行正确的受力分析，明确各过程的运动特点. 3.光滑的平面或曲面，还有不计阻力的抛体运动，机械能一定守恒；碰撞过程、子弹打击木块、不受其他外力作用的两物体相互作用问题，一般考虑用动量守恒定律分析. 4.如含摩擦生热问题，则考虑用能量守恒定律分析. 例2

如图2所示，光滑水平面上有一质量M＝4.0 kg的平板车，车的上表面是一段长L＝1.5 m的粗糙水平轨道，水平轨道左侧连一半径R＝0.25 m的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在点O′处相切.现将一质量m＝1.0 kg的小物块(可视为质点)从平板车的右端以水平向左的初速度v0滑上平板车，小物块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，小物块恰能到达圆弧轨道的最高点A.取g＝10 m/s2，求：

4

图2 (1)小物块滑上平板车的初速度v0的大小；

(2)小物块与车最终相对静止时，它距点O′的距离. 解析

(1)平板车和小物块组成的系统在水平方向上动量守恒，设小物块到达圆弧轨道最高点A时，二者的共同速度为v1

由动量守恒得：mv0＝(M＋m)v1①

由能量守恒得：

1122mv

－(M＋m)v

01＝mgR＋μmgL②

22联立①②并代入数据解得：v0＝5 m/s③

(2)设小物块最终与车相对静止时，二者的共同速度为v2，从小物块滑上平板车，到二者相对静止的过程中，由动量守恒得：

mv0＝(M＋m)v2④

设小物块与车最终相对静止时，它距O′点的距离为x，由能量守恒得：

1122mv

0－(M＋m)v

2＝μmg(L＋x)⑤

22联立③④⑤并代入数据解得：x＝0.5 m. 答案

(1)5 m/s

(2)0.5 m 预测2

如图3所示，小球A质量为m，系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到光滑水平面的距离为h.物块B和C的质量分别是5m和3m，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物块位于O点正下方.现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰(碰撞时间极短)，反弹后上升到最高点时到水平面的距离为h.小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求碰撞过程中B物块受到的冲16量大小及碰后轻弹簧获得的最大弹性势能.

图3 515答案

m2gh

mgh

4128解析

设小球运动到最低点与物块B碰撞前的速度大小为v1，取小球运动到最低点时的重力势能为零，根据机械能守恒定律有：

5

1mgh＝mv1

2

2解得：v1＝2gh

设碰撞后小球反弹的速度大小为v1′，同理有：

h1mg＝mv1′2

162解得：v1′＝

2gh

4设碰撞后物块B的速度大小为v2，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有：

mv1＝－mv1′＋5mv2

解得：v2＝

2gh

45由动量定理可得，碰撞过程中B物块受到的冲量大小为：I＝5mv2＝m2gh

4碰撞后当B物块与C物块速度相等时轻弹簧的弹性势能最大，据动量守恒定律有

5mv2＝8mv3

1122据机械能守恒定律得：Epm＝×5mv

2－×8mv

3

22解得：Epm＝15mgh. 128

解题方略

力学规律选用的一般原则

力学中首先考虑使用两个守恒定律，从两个守恒定律的表达式看出多项都是状态量(速度、位置)，所以守恒定律能解决状态问题，不能解决过程(位移x，时间t)问题，不能解决力(F)的问题. (1)若是多个物体组成的系统，优先考虑使用两个守恒定律. (2)若物体(或系统)涉及到速度和时间，应考虑使用动量定理. (3)若物体(或系统)涉及到位移和时间，且受到恒力作用，应考虑使用牛顿运动定律. (4)若物体(或系统)涉及到位移和速度，应考虑使用动能定理，系统中摩擦力做功时应用摩擦力乘以相对路程，运用动能定理解决曲线运动和变加速运动问题特别方便. 例3(2015·广东理综·36)如图4所示，一条带有圆轨道的长轨道水平固定，圆轨道竖直，底端分别与两侧的直轨道相切，半径R＝0.5 m，物块A以v0＝6 m/s的速度滑入圆轨道，滑过最高点Q，再沿圆轨道滑出后，与直轨上P处静止的物块B碰撞，碰后粘在一起运动，P点左侧轨道光滑，右侧轨道呈粗糙段、光滑段交替排列，每段长度都为L＝0.1 m，物块与各粗糙6

段间的动摩擦因数都为μ＝0.1，A、B的质量均为m＝1 kg(重力加速度g取10 m/s2；A、B视为质点，碰撞时间极短).

图4 (1)求A滑过Q点时的速度大小v和受到的弹力大小F；

(2)若碰后AB最终停止在第k个粗糙段上，求k的数值；

(3)求碰后AB滑至第n个(n＜k)光滑段上的速度vn与n的关系式. 解析

(1)从A→Q由动能定理得

112－mg·2R＝mv2－mv

0

22解得v＝4 m/s＞gR＝5 m/s 在Q点，由牛顿第二定律得

v2FN＋mg＝m

R解得FN＝22 N. (2)A撞B，由动量守恒得

mv0＝2mv′

v0解得v′＝＝3 m/s 2设摩擦距离为x，则

1－2μmgx＝0－·2mv′2

2x解得x＝4.5 m，所以k＝＝45. L(3)AB滑至第n个光滑段上，由动能定理得

11－μ·2mgnL＝·2mvn

2－·2mv′2

22所以vn＝9－0.2n

m/s

(n<45). 答案

(1)4 m/s

22 N

(2)45 (3)vn＝9－0.2n

m/s

(n<45) 预测3

如图5所示，内壁粗糙、半径R＝0.4 m的四分之一圆弧轨道AB在最低点B与光滑水平轨道BC相切.质量m2＝0.2 kg的小球b左端连接一轻质弹簧，静止在光滑水平轨道上，另一质量m1＝0.2 kg的小球a自圆弧轨道顶端由静止释放，运动到圆弧轨道最低点B时对轨道的压力为小球a重力的2倍.忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.求：

7

图5 (1)小球a由A点运动到B点的过程中，摩擦力做的功Wf；

(2)小球a通过弹簧与小球b相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能Ep；

(3)小球a通过弹簧与小球b相互作用的整个过程中，弹簧对小球b的冲量I的大小. 答案

(1)－0.4 J

(2)0.2 J

(3)0.4 N·s 1解析

(1)小球由静止释放到最低点B的过程中，根据动能定理得：m1gR＋Wf＝m1v1

2，

22m1v

1小球在最低点B，根据牛顿第二定律得：FN－m1g＝，

R联立可得：Wf＝－0.4 J. (2)小球a与小球b通过弹簧相互作用，达到共同速度v2时弹簧具有最大弹性势能，此过程中，由动量守恒定律：

m1v1＝(m1＋m2)v2，

11由能量守恒定律：m1v1

2＝(m1＋m2)v2

2＋Ep

22联立可得：Ep＝0.2 J. (3)小球a与小球b通过弹簧相互作用的整个过程中，a球最终速度为v3，b球最终速度为v4，由动量守恒定律：

m1v1＝m1v3＋m2v4，

112212由能量守恒定律：m1v

1＝m1v

3＋m2v

4，

222根据动量定理有：I＝m2v4，

联立可得：I＝0.4 N·s.

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