1.1.2 平面上的伸缩变换教学内容分析

平面直角坐标系中的伸缩变换

【三维目标】知识与技能目标�引导学生探究得出平面直角坐标系中的伸缩变换�进一步理解坐标法�

过程与方法目标�让学生经历从具体到一般�从直观到抽象的思维过程,

培养学生严谨的

思维品质�情感、态度与价值观目标�在合作交流中学习�培养学生

的交流能力及自主探究的意识. 【教学重点】

通过实例探究得出并运用平面直角坐标系中的伸缩变换【教学难点】

求伸缩变换时�系数对应成比例【教学方法】

探究式教学【教学手段】

多媒体教学【教学过程】

一、复习回顾

�3

分钟�前面一节课我们学***面直角坐标系�通过直角坐标系�平面上的点与坐标�有序

数对�、曲线与方程建立了联系�从而实现了数与形的结合�在必修

4

模块中�我们学习了

三角函数图象的平移伸缩变换�你能说出怎样由正弦曲线

y�

sinx

得到曲线

y=Asinwx(w>0)

吗�

�活动�请学生回答�

提示�

、1 y=sinx 、2 y=sinx 横坐标变为

1 纵坐标变

倍

y=sinwx 纵坐标变

倍

y=Asinwx y=Asinwx 横坐标变为

1 y=Asinwx 今天�我们学***面角坐标系中的伸缩变换�

二、新知探究

�4

分钟�

1、

问题情境�

�1�怎样由正弦曲线

y=sinx

得到曲线

y=sin2x�

�活动�学生一起回答�

�多媒体展示�

�2�怎样由正弦

得到曲线

y�

3sinx�

提示���如图�

��横坐标变为

1y=sinx

y sin2x

1

2

�2�y� sinx

�

�多媒体展示�

纵坐标变为

倍

如图�y=3sinx2、思考�

�6

分钟�

从平面直角坐标系中的点的对应关系出发�你认为“保持纵坐标

y

不变�横坐标

x

变

为原来的

1 ” “横坐标不变�纵坐标

y

变为原来的

3

倍”的实质是什么�(活动�让学生

分组讨论探究�分组回答) 提示�

y=sin2x

点

点

′

′ ′

p(x,y) p (x ,y ) “保持纵坐标

不变�横坐标

变为原来的

1 ”,将其变成符号语言得�

y

x

1

y=sinx

�

x�

�x

2

————

①

我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.

类比前面过程�你能写出问题②所对应的坐标变换公式吗�

y=sinx p(x,y) 提示�点y=3sinx 点′′′ p(x,y) “

横坐标不变�纵坐标

y

变为原来的

3

倍”�将其变成符号语言得�

�x�

�

x

————

②

怎样由正弦曲线 y=sinx 到曲线

y=3sin2x得我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.

3、提出问题: �

�1��2�的“

实际上�

y=sinx 横坐标变为

点 p(x,y) y=sin2x 纵坐标变为

倍

�3

分钟�

y=3sin2x 点

�活动�请学生回答�

�多媒体展示�

p′(x�′

y′)

1

————

③

它的坐标对应关系式为�

�x�

�

2

x

我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

4、探究�结合前面研究过的问题�由具体到一般�你能得出些什么�

�4

分钟�

�提示�y=sinx �

�活动�请多名同学答�

y=Asinwx

把大家所说的概括起来�就得到平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义�

定义�

设点

p(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点�在变换

: � x�

� � x,�( 的作用下�点

缩变换. p(x,y) �

0) 对应到点

′

′ ′ �称

注意�1、λ

>0,μ

>0�

为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换�简称伸

�黑板板书且多媒体展示�

p (x ,y )

φ

上述①②③式都是坐标伸缩变换�在它们的作用下�可以实现平面图形的伸缩�因此�

平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.�注意坐标法思想的渗透�.

�7

分钟�

三、应用示例

例

1�在平面直角坐标系中�求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形

�1�2x

+3y =0

2 2

�2�x +y =1

2 2

分析�方程

2x +3y =0 是一条直线�x +y =1 是一个圆�它经过伸缩变换后图形怎样�直线�

首先�我们不妨求它们的方程.

�解答如下�多媒体逐步展示�

解�

�

y�

�

3

y

(1)由伸缩变换�x�

�

2x �x 1 x .

�

2

得�

�

�

y

�

1

y�.

将其代入2x

�

3y

�

0�得到经过伸缩变换后的图形方程是x y

0.

x2x因此�经过伸缩变换��

�

后�直线

�

y�

�

3y

2x

3y

0变成直线x�

y

0�.如右图�

�

�将�

�x

1 x . �

2 �

代入

22 x � y � 1 2 �

y

�

1

y�.

得到经过伸缩变换后的图形的

2

2

x�

y�

1. 方程是

x2x因此�经过伸缩变换��

�

后�

�y�

�

3y 圆x y 1变成椭圆

22�x�2 y�2 1�.如右图�

�多媒体标注�

方法归纳�代入法

注�教学时�要让学生注意“数”与“形”的对应关系�初步体会利用代数运算研究

几何图形变换和性质的方法�与用方程表示图形一样�用坐标伸缩变换可以表示图形的伸

缩变换�展现了坐标法思想。

四、拓展提升

C 的方程�

�

�6

分钟�

x �

�

3x 1、在同一平面直角坐标系中�经过伸缩变换

x ²+ y ²= ,曲线 C 变为曲线

′

9 ′

9�求曲线

2、在同一平面直角坐标系中�求满足下列图形变换的伸缩变换�直线

x-2y=2

变成

2x′-

y′=4.

�活动�请两名学生上黑板做�然后对其进行评析�再用多媒体展示参考答案�

(1) �x�

� 3x

x�

�

9

y�

�

9 解�以

�代入

2

2

得到22 (3x) � 9 y �

9

2

y 2

1

化简得到

x

这就是曲线C的方程. 设伸缩变换为�

x�

(2) 得到 2 �

y xy

�

x�( �

0) �代入

�

y( �

0) �

4

�

�

2x�

� y�

� 4

将其与即

�

比较

注意�系数对应成比例

x � 2 y � 2得到

2x � 4 y � 4

4;

�

1 故所求伸缩变换为�x�

�

x .

点评�第一小题同样是用代入法�将伸缩变换代入变换后的方程�可得原方程�第二

小题已知了变换前后的方程�要求伸缩变换�应该先设伸缩变换;让学生进一步尝试与体会

用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法.

�4

分钟�

五、随堂练习

1、在同一平面直角坐标系中�求满足下列图形变换的伸缩变换�

�用多媒体展示参考答案�

曲线

- -2 0 变成曲线

′

-16 ′

-4 ′

0. x²

y²

x= x ²

y ²

x =

22�

0)�代入x� �16

y� �

4x�

�

0 解�设伸缩变换为

�

x�

�

�

y

x�(

�

�

�

�

�

0) y( 得

( x)16( y) 4 x 22 22 即

x

16 y

4 x 0 将其与

2 得到

2 2 20

比较

注意�

2�

1 ; �

x�

�

2x 1、λ>0 , μ>0�

、形式统一�

系数对应成比例

故所求伸缩变换为

y�

�

1

y. 六、课堂小结�用多媒体展示�

1、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:

: �

�

� �

�

�

x

�2

分钟�

x, (

0) 2、λ >0,

μ >0�形式统一�系数对应成比例�

3、代入法、坐标法思想, 学会利用代数运算研究几何图形变换和性质的方法.

七、课后思考�用多媒体展示�

�1

分钟�

由例

1

我们知道�在伸缩变换下�直线变为直线�圆可以变成椭圆�那么�在伸缩变

换下�椭圆可能变成什么�双曲线呢�抛物线呢�

【板书设计】

定义�

平面直角坐标系中的伸缩变换

拓展提升

拓展提升

�2�学生解答过程

设点

p(x,y)

是平面直角坐标

�1�学生解答过程

系中的任意一点�在变换

x

x, ( �

� � �

�

0) : �

的作用下�点

p(x,y)

对应到点p′(x′,y′)�称

φ

为平面直角坐标系中

的坐标伸缩变换�简称伸缩变换. 方法归纳�代入法

【教学反思】

学生在函数�特别是三角函数�的学习中�对函数图像的伸缩变换有了一定的了解�

在平面几何的学习中也接触过图形变换.但两者之间的联系没有建立起来�特别是他们还不

知道用代数方法表示图形伸缩变换的方法.本节课使学生在已有认知的基础上�明确在平面

直角坐标系中

�可以用坐标伸缩变换研究平面图形的伸缩变化�使学生进一步理解了坐标

法思想和代入法思想.从上课情况来看�求坐标伸缩变换时�形式要统一�系数要对应成比

例是难点�应加强课后练习及辅导.