2.1.2 曲线的参数方程板书设计及意图

§3参数方程化成普通方程

[自主学习]

1．代数法消去参数

(1)代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程．

(2)代数运算法：通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程．

2．利用三角恒等式消去参数

如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得曲线的普通方程．

[合作探究]

1．将参数方程化为普通方程时要注意什么？

提示：注意消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．

x＝t＋1，2．将参数方程(t为参数)化为普通方程是y＝－2x＋3吗？

y＝1－2t提示：不是，应是y＝－2x＋3(x≥1)．

将参数方程化为普通方程

[例1]

将下列参数方程化成普通方程．

t＋1x＝t－1，(1)2ty＝t－1；3

x＝2t－t－3，

(2)(3)2y＝t－t－1；2

ay＝cos θ1tan θ＋x＝acos θ，

(θ为参数)；

(4)py＝t－ptpx＝2＋pt2，t

(t为参数)．

[思路点拨]

本题考查参数方程化普通方程及运算、转化能力，解答此题需要根据方程的特点，选择适当的消参方法求解．

t＋1x＋12t[精解详析]

(1)由x＝得t＝，代入y＝3化简得

t－1x－1t－1x＋1x－12y＝(x≠1)．

3x2＋1(2)由x－2y＝t－1得t＝x－2y＋1，

代入y＝t2－t－1化简得

x2－4xy＋4y2＋x－3y－1＝0.

(3)把y＝1atan θ＋代入x＝acos θ

cos θ得x－y＝atan θ，(x－y)2＝a2tan2θ，

a2由题设得y＝2，因而x2－2xy＋a2＝0. cosθ2p(4)将y＝－pt的两边平方得

tp222py＝2＋pt－2p2＝p(2＋pt2－2p)．

tt2p把x＝2＋pt2代入上式，得y2＝p(x－2p)．

t

将参数方程化为普通方程的一般思路：

先分析方程的结构特征，再选择代入法或代数运算法或三角恒等式消参法消参，但要注意需由参数方程讨论x，y的变化范围，并验证其两种形式下的一致性．

x＝t，1．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：y＝t－ax＝3cos φ，(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．

y＝2sin φ

解析：由题设可得直线l：y＝x－a，又由椭圆参数方程可知其右顶点为(3,0)，代入y＝x－a得a＝3.

答案：3 2．把参数方程ty＝1＋t21－t2x＝，1＋t22

(t为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．

1－t2＋2t22＝1，

得x2＋4y2＝1，

解：由1＋t21＋t1－t222又－1＜2≤1，得－1＜x≤1.

∴所求普通方程是x＋4y＝1(－1＜x≤1)．

1＋tx2y2将x＋4y＝1转化为＋＝1，

11422它表示中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为2，短轴长为1，除去点(－1,0)的椭圆.

参数方程化普通方程的应用

x＝1＋cos θ，[例2]

求曲线C1：(θ为参数)上的点到曲线C2：y＝sin θ

1y＝1－t21x＝－22＋t，2

(t为参数)上的点的最短距离．

[思路点拨]

本题考查参数方程化为普通方程的应用及转化、运算能力，解答此题需要将曲线C1，C2的参数方程化为普通方程，转化为圆上点到直线的最短距离求解．

x＝1＋cos θ，cos θ＝x－1，[精解详析]

由曲线C1：(θ为参数)得



y＝sin θsin θ＝y.

两式平方相加得：(x－1)2＋y2＝1. 得C1为圆心C1(1,0)，半径为1的圆．

对于曲线C：1y＝1－t221x＝－22＋t，2

消去参数t得直线方程x＋y＋22－1＝0，

由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为

|1＋22－1|d＝＝2，所以最短距离为2. 2

对于根据曲线的参数方程定形问题，位置关系问题及有关的距离计算等几何性质问题，直接求解有困难时，常将参数方程化为普通方程再求解．

x＝－1－55t，3．求参数方程25y＝5t得的弦长．

x＝2cos θ，(t∈R)与(θ∈R)所表示的图形相交所y＝sin θ

x＝2cos θ，x22解：由(θ∈R)消去θ得椭圆＋y＝1，

2y＝sin θ

将25y＝5tx＝－1－5t，5

(t∈R)代入椭圆方程，化简得9t2＋25t－5＝0，

255设该方程的两实根为t1，t2，

则t1＋t2＝－，t1t2＝－. 99

所求弦长为|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝

－252＋20＝102. 999x＝cos θ，4．将曲线C：(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C与直线x＋y＋a＝y＝－1＋sin θ

0有公共点，求实数a的取值范围．

x＝cos θ，解：∵∴x2＋(y＋1)2＝1. y＝－1＋sin θ，

∴曲线C是以(0，－1)为圆心，半径为1的圆．

|0－1＋a|若圆与直线有公共点，则圆心到直线的距离d＝≤1，

2解得1－2≤a≤1＋2. ∴a的取值范围为[1－2，1＋2]．

本课时考点是近几年高考及各地模拟的热点，主要考查参数方程化为普通方程及其应用，同时考查转化、运算求解能力，常与三角、解析几何等知识交汇命题．

[考题印证] x＝cos φ，在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的y＝sin φx＝acos φ，参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极y＝bsin φ

坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，π当α＝时，这两个交点重合．

2(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

ππ(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分44别为A2，B2，求四边

形A1A2B2B1的面积．

[命题立意]

本小题主要考查参数方程与普通方程的互化问题，极坐标方程与直角坐标方程的互化．

[自主尝试] (1)C1是圆，C2是椭圆．

当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3. π当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，2

所以b＝1. x22(2)C1，C2的普通方程分别为x＋y＝1和＋y＝1. 922π2310当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝. 4210π当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四42x′＋2xx′－x2边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为＝. 25

一、选择题

3t2x＝，1＋t2221．参数方程5－ty＝1＋t

(t为参数)表示的图形为(

) A．直线

B．圆

C．线段(但不包括右端点)

D．椭圆

5－t23t2xx2解析：选C

从x＝，代入y＝整理得2x＋y－5＝0.由t2＝2中解得t＝2，1＋t3－x1＋t3－x≥0解得0≤x＜3.所以参数方程化为普通方程为2x＋y－5＝0(0≤x＜3)，表示一条线段，但不包括右端点．

x＝3，2．下列双曲线中，与双曲线cos θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是y＝tan θ(

) y2x2A.－＝1

93y22C.－x＝1

3y2x2B.－＝1 39y22D.－x＝－1 3

32x＝，x233解析：选B

cos θ⇒－y2＝1⇒e＝，渐近线为y＝±x，经验证知B正333y＝tan θ确．

1x＝t＋t，3．方程(t为参数)表示的曲线为(

) y＝2，A．一条直线

B．两条射线

C．一条线段

D．抛物线的一部分

11解析：选B

x＝t＋，当t＞0时，x＝t＋≥2. tt1当t＜0时，x＝t＋≤－2.∴y＝2(x≥2或x≤－2)表示的曲线为两条射线．

t4．下列参数方程中，与方程y2＝x表示同一曲线的是(

) x＝t，A.

2y＝t

2x＝sint，B.

y＝sin t

x＝|t|，C.

y＝t

1－cos 2tx＝，D.1＋cot 2t

y＝tan t

解析：选D

B中sin2t和sint都表示在一定范围内；

A，C中化简不是方程y2＝x，而是x2＝y，故借助万能公式代入化简可知选D. 二、填空题

x＝－4＋2cos θ，5．椭圆(θ为参数)的焦距为________．

y＝1＋5sin θ

x＋42y－12解析：椭圆的普通方程为＋＝1. 425∴c2＝21，∴2c＝221. 答案：221 x＝3＋3tan φ，6．双曲线(φ为参数)的渐近线方程是________．

1y＝cos φx－32解析：化为普通方程是y－＝1，

92

x2x22它是由y－＝1向右移3个单位长度得到y－＝1的渐近线方程为：x±3y＝0，

992∴原双曲线的渐近线方程为：x±3y－3＝0. 答案：x±3y－3＝0 x＝t，7．(江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极2y＝t

点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

解析：消去曲线C中的参数t得y＝x2，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x2中，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，即ρcos2θ－sin θ＝0. 答案：ρcos2θ－sinθ＝0

x＝acos φ，8．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，ay＝bsin φ

＞b＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正π2θ＋＝m(m为非零常数)与ρ＝半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin42b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆

O相切，则椭圆C的离心率为________．

x2y2解析：由题意知，椭圆C的普通方程为2＋2＝1，直线l的直角坐标方程为x＋y＝m，ab|m|圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，设椭圆C的半焦距为c，则根据题意可知，|m|＝c，＝2cc6b，所以有c＝2b，所以椭圆C的离心率e＝＝22＝. a3b＋c答案：6

3三、解答题

x＝t＋1，9．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，y＝2t2x＝2tanθ，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它y＝2tan θ

们的公共点的坐标．

x＝t＋1，解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，

y＝2t

由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，

得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0. 同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x. y＝2x－1，联立方程组2

y＝2x，

1，－1. 解得公共点的坐标为(2,2)，2x＝23cos θ，10．已知直线l：x－y＋9＝0和椭圆C：(θ为参数)．

y＝3sin θ(1)求椭圆C的两焦点F1，F2的坐标；

(2)求以F1，F2为焦点且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．

x2y2解：(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为＋＝1，

123所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9.

所以c＝3.故F1(－3,0)，F2(3,0)．

(2)因为2a＝|MF1|＋|MF2|，

所以只需在直线l：x－y＋9＝0上找到点M使得|MF1|＋|MF2|最小即可．

点F1(－3,0)关于直线l的对称点是F1′(－9,6)，

所以M为F2F1′与直线l的交点，则

|MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2| ＝－9－32＋6－02＝65，

故a＝35. 又c＝3，b2＝a2－c2＝36. x2y2此时椭圆方程为＋＝1. 453611．已知直线l的参数方程为3y＝7＋t21x＝3＋t，2

(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝4cos θ，(θ为参数)．

y＝4sin θ

(1)将曲线C的参数方程转化为普通方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，试求线段AB的长．

22x＝4cos θ，x＝16cosθ，解：(1)由得2

2y＝4sin θy＝16sinθ.

1

故圆的方程为x2＋y2＝16. x＝3＋2t，(2)法一：把3y＝7＋t2

(t为参数) 代入方程x2＋y2＝16，得t2＋83t＋36＝0. ∴t1＋t2＝－83，t1t2＝36. ∴线段AB的长为

|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝43. x＝3＋2t，法二：直线l的参数方程：3y＝7＋t23x－y＋4＝0. 1

化为普通方程：

由(1)知：圆心的坐标为(0,0)，圆的半径R＝4.

∴圆心到直线l的距离d＝＝2. 32＋－12|4|∴|AB|＝2R2－d2＝216－4＝43. 法三：直线l的参数方程：3y＝7＋t2化为普通方程：3x－y＋4＝0. 1x＝3＋t，2

x＋y＝16，由得x2＋23x＝0. 3x－y＋4＝0∴x1＝0，x2＝－23.∴y1＝4，y2＝－2. ∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝43. 22