本章小结国家获奖教案

考情分析

通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．

真题体验

1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

π2，，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

(2)设点A的极坐标为3解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4. cos θ由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．

因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积

1sinα－π

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·32π3＝2sin2α－－≤2＋3. 32π当α＝－时，S取得最大值2＋3. 12所以△OAB面积的最大值为2＋3. 2．(2016·全国卷Ⅱ节选)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程．

解：把圆的方程化为x2＋y2＋12x＋11＝0的形式，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. 3．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

π(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的4面积．

解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. π(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得

4ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2. 1由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为. 2

用解析法解决几何问题

利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴、y轴(坐标原点)．

坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．

[例1]

已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出此最小值．

[解]

以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A0，3a，

2aa－，0，C，0. B22设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋y－232a22a222a＋x＋2＋y＋x－2＋y＝3x＋25a2333y－3ay＋＝3x2＋3y－a2＋a2≥a2，当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立．

466∴所求的最小值为a2，此时P点的坐标为P0，

3a，即为正三角形ABC的中心. 6平面直角坐标系中的伸缩变换

x′＝λ·xλ＞0，设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，yμ＞0y′＝μ·

点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．

x′＝x，[例2]

在平面直角坐标系中，求曲线x2＋y2＝1先后经过两次变换和1y′＝y2

x′＝2x，后得到的曲线方程．

y′＝y

x′＝x，x＝x′，[解]

设经过变换后得到曲线C1，把代入x2＋y2＝1得x′2＋1y＝2y′y′＝2y

x′＝2x，4y′＝1，即C1：x＋4y＝1.又设曲线C1经过变换后得到曲线C2，把y′＝y222

x′x＝，x′2x2y22222代入x＋4y＝1得＋4y′＝1，即＋＝1为所求的曲线方程. 441y＝y′4

极坐标方程

在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0. 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．

由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．

求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．

[例3]

在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．

[解]

以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设P(1,2θ)，Q(ρ，θ)，

则由S△OQA＋S△OQP＝S△OAP，

111得·3ρsin θ＋ρsin θ＝×3×1×sin 2θ，

2223化简得ρ＝cos θ. 23所以点Q的轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ. 2

极坐标与直角坐标的互化

互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．

互化公式为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ

yρ2＝x2＋y2，tan θ＝xx≠0

直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．