2.7 正方形第二课时 公开课

八年级下册数学《正方形》教学设计

平江县第六中学 王珍芝

一、教学目的 1、掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算． 2、理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

二、教学重难点

1、教学重点：正方形的定义和性质．

2、教学难点：怎样判定一个四边形是正方形．

3、教学关键：正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系

三、学生分析 学生在小学学过正方形，他们知道正方形的四个角都是直角，四条边相等，正方形的面积等于它的边长的平方。现在的教学是加深学生的理论知识，拓宽他们的知识面。本节课虽然是学习正方形的性质和判定，实际上应起到对平行四边形、菱形、矩形性质的复习、归纳和总结的作用。因为没有具体的判定定理，学生不知道人哪里着手来判定一个四边形是正方形，具体证明时，常出现步骤混乱，或多用或少条件的现象，解决这个难点的关键是加强正方形概念的教学，讲清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

四、教学内容分析 五、本节课安排了三个例题，例1与例2是正方形性质的应用，在

讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：

①

对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？

②

对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？

③

对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？

④

能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？

⑤

说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

五、教学媒体

长方形纸片、多媒体课件

教学过程

一、新课引入 1、做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：

①

有一组邻边相等的平行四边形

（菱形）

②

有一个角是直角的平行四边形

（矩形） 2、问题：正方形有什么性质？有什么判定方法？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

师生共同归纳出正方形的性质：

①

两组对边分别平行；

②

两组对边分别相等；

③

四条边都相等，四个角也分别相等；

④

对

角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角。

⑤

正方形是轴对称图形，也是中心对称图形。

师生共同归纳出正方形的判定方法：

①

直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，如果这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个四边形是正方形。

②

可以判定一个四边形是矩形同时又是菱形，或判定一个四边形是菱形同时又是矩形，这时就可判定这个四边形是正方形。

二、例习题分析

例1

求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．

求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

证明：∵

四边形ABCD是正方形，

∴

AC=BD，

AC⊥BD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．

∴

△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，

并且

△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2

已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．

分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

证明：∵

四边形ABCD是正方形，

∴

∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又

DG⊥AE，

∴

∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．

∴

∠EAO=

∠FDO．

∴

△AEO ≌△DFO．

∴

OE=OF．

例3 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

/分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．

证明：∵

PN⊥l1，QM⊥l1，

∴

PN∥QM，∠PNM=90°．

∵

PQ∥NM，

∴

四边形PQMN是矩形．

∵

四边形ABCD是正方形

∴

∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．

∴

∠1+∠2=90°．

又

∠3+∠2=90°，

∴

∠1=∠3．

∴

△ABM≌△DAN．

∴

AM=DN．

同理

AN=DP．

∴

AM+AN=DN+DP 即

MN=PN．

∴

四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

三、随堂练习 1、正方形的四条边____

__，四个角___

____，两条对角线____ ____． 2、下列说法是否正确，并说明理由：

①

对角线相等的菱形是正方形；（

）

②

对角线互相垂直的矩形是正方形；（

）

③

对角线垂直且相等的四边形是正方形；（

）

④

四条边都相等的四边形是正方形；（

）

⑤

四个角相等的四边形是正方形．（

） 3、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．

求证：∠AFE＝∠AEF．

四、课后练习 1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且

DE=BF．

求证：EA⊥AF． 2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

教学反思

1、在探索正方形判定方法的过程中，充分发挥了学生主体性，让学生经历自主“做数学”的过程——动手折纸、演示自制教具，并播放矩形、菱形、平行四边形的一个角、一组邻边的变化得到正方形课件，成功的达到了学生对正方形直观认识，进而探索出正方形的判定方法。 2、通过一道论证题的研讨，鼓励学生大胆尝试，同时鼓励其他同学进行互帮互助，交流自己解决问题的过程及成功的体验，给学生留下了充分的空间，不断激发学生的探索精神，培养了学生的动手操作、合作交流和逻辑推理能力，提高学生分析和解决问题的能力，使学生有成功体验。 3、本节课设计的以问题为主线，培养学生有条理思考问题的习惯和归纳概括能力，并重视培养学生语言描述，然后进行引导交流形成规范语言。小结设置为学生谈自己的感受，培养学生语言表达能力、归纳知识的能力，以及欣赏数学的能力。