7.5 解直角三角形教学设计第一课时

“解直角三角形第2课时”教学设计

教学目标：

1.知道如何转化非直角三角形（斜三角形）为直角三角形，并能运用解直角三角形的相关知识解决非直角三角形问题；

2.渗透数形结合的数学思想，培养出学生良好的学习习惯。

学情分析：

上节课我们学习了“解直角三角形的第1课时”，让学生明确在直角三角形中，只要知道“两边”或“一边一角”，就可以通过三角函数、两锐角互余及勾股定理求出所有元素。但很多情况下，我们碰到的不仅仅是直角三角形，还有非直角三角形（斜三角形），如果不设计专门针对这类问题的课，那么学生解决起来肯定会有些困难，因此出于这方面的考虑，设计了第2课时。

重点难点：

重点：如何解斜三角形。

难点：如何作高，将斜三角形转化为直角三角形。

教学过程：

一、情景创设

首先抛出一个问题：三角形按角分类会有哪些？点名一个学生回答，在学生回答的同时，在白板上同时板书：三角形分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，其中“锐角三角形”和“钝角三角形”统称为“斜三角形”。上一节课，我们学习了如何解直角三角形，今天，就让我们一起学习一下，如何解剩下来的两类三角形，即“斜三角形”。

二、例题展示：

A例1.如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°,按下列要求求值：

①AB=8,求AC、BC; BC②BC=8,求AB、AC. 思考：三边有比值关系吗？

简析：此例题是属于已知“两角一边”的斜三角形情形，要将其转化为上节课学过的直角三角形问题，题中出现了两个角度，要分别放在两个直角三角形中才能起作用，因此要过A点向BC作高，从而转化为“解直角三角形”。

学生活动：先让学生自行思考解决，再提问学生回答。

设计意图：“三边有比值关系吗？”这个问题，旨在让学生体会到当两个角是定值的时候，这个三角形的形状也就定下来了，即三边比值是确定的，如果再知道任意一条边，那么这个三角形的其余两条边一定可以求出来。

变式：

A如图，△ABC中，∠B=15°，∠C=45°,按下列要求求值：

BC①AB=8,求AC、BC; ②AC=8,求AB、BC. 简析：学生很容易受上一道例题的影响，过A作BC上的高，但这里的15°三角函数暂时是未知的（当然可以通过别的途径求出来，不过计算量较大，不是本节课的重点）。我们可以引导学生发现三角形的外角有我们熟悉的特殊角，所以应该过B点向AC作高（在形外）。

学生活动：先让学生自行思考解决，再提问学生回答。

设计意图：让学生体会到作高不一定在三角形的内部，也有可能在外部，总之目的是把能够求出三角函数的角放在直角三角形内。

小试牛刀：

如图，△ABC中，tanB=13A,tanC=12,BC=10,求AB. BC简析：本题与之前的两题稍有不同，没有给出特殊角，而是非特殊角的三角函数值，其实处理策略还是一样的，要把∠B和∠C分别放在两个直角三角形中。

学生活动：先让学生自行思考，然后小组讨论，最后再提问学生回答。

设计意图：让学生知道有的时候题目并不会给出特殊角，但如果能知道非特殊角的三角函数值，是一样可以解决问题的。

反思：已知两角一边的斜三角形，应该如何作高转化为直角三角形呢？

答：过非特殊角或未知角顶点作高，其目的是把特殊角或已知角放在直角三角形中。

例2.如图，△ABC中，∠B=30°，AB=8,BC=63，求AC. AC简析：此例题是属于已知“两边一角”（SAS）的斜三角形情形，B根据上节课的知识可以知道，我们要把其中的一边和一角放在同一个直角三角形中才能起作用，因此过A向BC作高或者过C向AB作高，就可以转化为有用的直角三角形。

学生活动：先让学生自行思考解决，再提问学生回答。

设计意图：让学生知道有时候题目中只会给出一个角，这个时候依然要把已知角放在直角三角形中，如果再把已知的一条边也放在这个直角三角形中，效果会更好。

变式1：△ABC中，AB=8,∠B=30°，AC=63,求BC. 变式2：△ABC中，AB=8,∠B=30°，AC=6,求BC. 简析：此两个变式也是属于已知“两边一角”的斜三角形情形，不过与上一例题不同的是它们属于“SSA”问题，之所以没有给出图形，是想让学生意识到此时三角形的现状并没有定下来，BC的长度会受AC长度的影响。不过，将“一边一角”尽可能放在同一个直角三角形的思想是不变的，即都是过B向BC作高。

学生活动：先让学生自行思考解决，再提问学生回答。

设计意图：让学生明确SSA的题目，答案有可能是不止一个，具体情况要根据图形进行分析。

反思：已知两边一角的斜三角形，应该如何作高转化为直角三角形呢？

答：作高，其宗旨是把一边一角放在同一个直角三角形中。

另：已知三边的斜三角形问题，留作学生课后思考。课堂上，教者可以稍微提一下。

三、巩固应用：

拓展提高：如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinC=35，点D是BC上一点，且DC=AC．求tan∠BAD. 简析：本题较为复杂，因为涉及到解两个斜三角形，分别为△ADC、△ABD。首先，先解△ADC，是属于“两边一角”，可以过A向CD作高，求出BD，然后再放在△ABD中考虑，同样也属于“两边一角”问题，可以过D向AB作高。当然，本题也有其它方法，但终究是要转化为解直角三角形问题。

学生活动：先让学生自行思考解决，再提问学生回答。

设计意图：从简单到复杂，本身就符合人的认知规律，为了培养学生分析问题的能力，解决些复杂问题是必须的。

四、总结提升：

谈谈你的收获。