6. 匀变速直线运动位移与时间的关系板书设计

学案3

匀变速直线运动的位移与时间的关系

[学习目标定位]

1.知道匀速直线运动的位移与v－t图象中矩形面积的对应关系．知道匀变速直线运动的位移与v－t图象中四边形面积的对应关系. 2.理解位移公式的意义和导出过程. 3.能运用位移公式、匀变速直线运动的v－t图象解决有关问题. 4.掌握匀速直线运动x－t图象的特点，会用它解决简单的问题．

一、匀速直线运动的位移

1．位移公式：x＝vt. 2．由v－t图象求位移：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．

二、匀变速直线运动的位移

1．位移在v－t图象中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线和t轴所包围的面积．如图1所示，在0～t时间内的位移大小等于加阴影的梯形的面积．

图1 12122．位移与时间的关系：x＝v0t＋2at，若初速度v0＝0，则x＝2at. 一、用v－t图象求位移

[问题设计] 某物体以5 m/s的速度做匀速直线运动，求物体在8 s内的位

移．画出物体运动的v－t图象．物体的位移用v－t图象能反映出来吗？

答案

40 m．v－t图象如图所示．图象中的面积(图中阴影区域)表示物体的位移．

[要点提炼] 无论是匀速直线运动还是匀变速直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v—t图象与t轴所包围的面积表示．

1．当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同．

2．当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反．

二、匀变速直线运动的位移公式

[问题设计] 一个物体做匀变速直线运动，其运动的v－t图象如图2所示．已知物体的初速度为v0，加速度为a，运动时间为t. 请根据v－t图象和速度公式求出物体在t时间内的位移(即推导位移与时间的关系式)．

答案

v－t图线下面梯形的面积表示位移

1S＝2(OC＋AB)·OA

把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成

1x＝2(v0＋v)t

①

又因为v＝v0＋at

②

由①②式可得

1x＝v0t＋2at2

这就是匀变速直线运动的位移与时间的关系式．

[要点提炼] 1

匀变速直线运动的位移与时间的关系：x＝v0t＋2at2. 1．两种特殊形式

12(1)当v0＝0时，x＝2at(物体由静止开始的匀加速直线运动) (2)当a＝0时，x＝v0t(物体做匀速直线运动) 2．公式的矢量性

公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．若选v0方向为正方向，则：

(1)物体加速，a取正值．

(2)物体减速，a取负值．

(3)若位移为正值，位移的方向与正方向相同．

(4)若位移为负值，位移的方向与正方向相反．

三、用x－t图象表示位移

[问题设计]

一列火车沿直线轨道运动，图3描述了它关于出发点的位移随时间变化的情况．通过分析回答以下问题：

(1)火车最远距离出发点多少米？

(2)试分析火车各阶段的运动状态．

答案

(1)90 m.

90 m(2)火车在前2.5 min内以0.6 m/s(v＝＝0.6 m/s)的速度2.5×60 s做匀速直线运动，在2.5 min到3 min火车停在距出发点90 m的位置．

[要点提炼] 1．由x－t图象可以知道：

(1)物体在某一时刻所处的位置．

(2)任何时间内的位移(大小和方向)，或发生一段位移所需要的时间．

(3)物体某一时刻的速度．

2．两种常见运动的x－t图象

(1)匀速直线运动的x－t图象为倾斜直线，斜率大小是恒定的，表示速度不变．

(2)匀变速直线运动的x－t图象为抛物线(或抛物线的一部分)，斜率的大小是变化的，由斜率的变化情况可以得知速度的变化情况．

典例应用：

1一、x＝v0t＋2at2的基本应用

例1

一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2 m/s2，求：

(1)第5 s末物体的速度多大？

(2)前4 s的位移多大？

(3)第4 s内的位移多大？

解析

(1)第5 s末物体的速度由v＝v0＋at1

得v1＝0＋2×5 m/s＝10 m/s 12(2)前4 s的位移由x1＝v0t＋2at

1得x1＝0＋2×2×42 m＝16 m (3)物体第3 s末的速度v2＝v0＋at2＝0＋2×3 m/s＝6 m/s 121则第4 s内的位移x2＝v2t3＋2at3＝6×1 m＋2×2×12 m＝7 m 答案

(1)10 m/s

(2)16 m

(3)7 m

二、利用v－t图象求物体的位移

例2

图4是直升机由地面起飞的速度图象，试计算直升机能到达的最大高度及25 s时直升机所在的高度是多少？

图4 解析

首先分析直升机的运动过程：0～5 s直升机做匀加速运动；5 s～15 s直升机做匀速运动；15 s～20 s直升机做匀减速运动；20 s～25 s直升机做反向的匀加速运动．分析可知直升机所能到达的最大高度为题图中t轴上方梯形的面积，即S1＝600 m．25 s时直升机所在高度为S1与图线CE和t轴所围成的面积S△CED的差，即S2＝S1－S△CED＝(600－100) m＝500 m. 答案

600 m

500 m

三、对x－t图象的认识

例3

如图5所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知(

) A．t＝0时，A在B的前面

B．B在t2时刻追上A，并在此后运动到A的前面

图5 C．B开始运动的速度比A小，t2时刻后才大于A的速度

D．A运动的速度始终比B大

解析

t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的前面，A对．t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在此后运动到A的前面，B对．B开始运动的速度比A小，t1时刻后A静止，B仍然运动，C、D错．

答案

AB

四、刹车类问题

例4

一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：

(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离．

(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．

解析

汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速v－v00－20 m/s度a＝－5 m/s；汽车运动的总时间t＝a＝＝4 s. －5 m/s22(1)因为t1＝2 s

121故x1＝v0t1＋2at1＝(20×2－2×5×22) m＝30 m (2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时早已停止运动

121故x2＝v0t＋2at＝(20×4－2×5×42) m＝40 m (注意：也可以用逆向思维法，即对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动．此题可以用

121如下解法：x2＝2at＝2×5×42 m＝40 m)．

答案

(1)30 m

(2)40 m

小结：

1.(位移与时间关系的应用)一物体由静止开始做匀变速直线运x动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4的位移所用的时间为(

) ttt2A.4

B.2

C.16

D.2t

答案

B 212x1t解析

由位移公式得x＝2at，4＝2at′2，所以2＝4，故t′＝t′t2，B正确．

2．(由v－t图象求位移)某物体运动的v－t图象如图6所示，根据图象可知，该物体(

)

图6 A．在0到2 s末的时间内，加速度为1 m/s2

B．在0到5 s末的时间内，位移为10 m C．第1 s末与第3 s末的速度方向相同

D．第1 s内与第5 s内加速度方向相同

答案

AC 解析

在0到2 s末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度aΔv2＝Δt＝2

m/s2＝1 m/s2，故A正确.0到5 s内物体的位移等于梯形面11积x＝(2×2×2＋2×2＋2×1×2) m＝7 m，故B错误．第1 s末图象在时间轴上方，速度为正，第3 s末速度图象也在时间轴上方，速度也为正，故方向相同，故C正确．第1 s内图线的斜率为正值，加速度沿正方向，而第5 s内图线的斜率为负值，加速度方向沿负方向，则第1 s内与第5 s内物体的加速度方向相反，故D错误．

3．(对x－t图象的认识)甲、乙两位同学在放学时，从学校所在地骑自行车沿平直的公路回家，先到乙同学家，休息一会，甲同学继续骑车前行，在70 min时到家，甲同学的x－t图象如图7所示，下列说法正确的是(

)

A．在前20 min内甲同学做匀加速运动

B．甲同学在乙同学家停留了30 min C．甲、乙两同学家相距3.6 km D．甲从离开学校至到家的这段时间内，平均速度为2 m/s 答案

BCD 解析

前20 min，甲同学做匀速直线运动，A错.20 min～50 min甲同学一直在乙同学家，B对．甲、乙两同学家的距离为8.4 km－4.8 km＝3.6 km，C对．甲同学从学校到家的位移x＝8.4 km，所用时间3x8.4×10t＝70 min＝4 200 s，平均速度v＝t＝4 200

m/s＝2 m/s，D对．

4．(刹车类问题)一滑块在水平面上以10 m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2.求：

(1)滑块3 s时的速度；

(2)滑块10 s时的速度及位移．

答案

(1)4 m/s

(2)0

25 m 解析

取初速度方向为正方向，则v0＝10 m/s，

a＝－2 m/s2

0－10Δv由t1＝a得滑块停止所用时间t1＝

s＝5 s －2(1)由v＝v0＋at得滑块经3 s时的速度v1＝10 m/s＋(－2)×3 m/s＝4 m/s (2)因为滑块5 s时已经停止，所以10 s时滑块的速度为0,10 s时10＋0的位移也就是5 s时的位移，由x＝v

t得x＝2×5 m＝25 m