2. 匀速圆周运动的向心力和向心加速度教案设计

圆周运动习题

教学目标：1、圆周运动的临界问题

2、“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系

3、求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围

重

点：

圆周运动的临界问题

难

点：求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围

[来源:学科网ZXXK]知识简析 一、圆周运动的临界问题

1.圆周运动中的临界问题的分析方法

首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．

2.特例（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：

注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力

①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R→v临界=Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）

注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度V临≠Rg

②能过最高点的条件：v≥Rg，当V＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．

③不能过最高点的条件：V＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）

（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：

注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．

①当v＝0时，N＝mg（N为支持力）

②当

0＜v＜Rg时，

N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力．

③当v=Rg时，N＝0 ①

当v＞Rg时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心）

注意：管壁支撑情况与杆子一样

若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力．

注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度V0[来源:Z§xx§k.Com]gR

。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。

二.“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系

（1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动，所以质点在做变速运动，处于非平衡状态。

(2）物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态。对于物体上不在转动轴上

的任意微小质量团（可说成质点），则均在做匀速圆周运动。

规律方法 1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程

/【例1】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A，设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L。将物块置于离圆心R处，R＞L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A相对圆盘始终未惰动。当ω增大到5kRl4mRO R 时，物块AO是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。

【解析］对物块A，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω0，此时向心力仅为弹簧弹力；若ω＞ω0，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若ω＜ω0，则需要较小的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。

2 依向心力公式有mω0R=k(R－L)，所以0kRlmR，故5kRl4mR时,得ω＞ω0。可见物块所受静摩擦力指向圆心。

【例2】如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？

分析与解：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为m，则有：

11mLVmLVm.2R.gR

22220R V0 要使列车能通过圆形轨道，则必有V>0,解得V02RgL。

【例3】如图所示，细绳长为L，一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为+q的小球，置于电场强度为E的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？

解析：小球至最高点时能以L为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力，2则Mg＋Eq=mv0/L，得v0m，q L ·O mgEqL/m，故小球在竖直平面内能够做圆周运mgEqL/m

E 动时，小球至最高点的速度

v拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右．如图，当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为A点，物理最低点为B点，而几何最高点为C点，几何最低点为D点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合）．

2

A处速度的最小值（临界速度）应满足：mvA/RF合mg2Eq2

来源:Z§xx§k.Com]

思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？

【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大

得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足怎样的关系式? 解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。

2v0①

据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有N1m1gm1Rv12②

同理m2在最高点有m2gN2m2R

m2球由最高点到最低点机械能守恒m2g2R112m2v12m2v0③又N1=N2……④

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【小结】

比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。

【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作900转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r1和r2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？

分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为vm。转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到vm。车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定．

对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为v2，则应有mv2/r2=μmg解得v2=r2g

如图所示，设车自M点开始减速，至N点其速度减为v2，且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=μmg/m=μg 222vmv2vmr此减速过程中行驶的路径长度（即MN的长度）为x2==－2

2a2g22车沿弯道到达A点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为x2的路程上加速，才能达到速度vm。上述过程所用的总时间为

t2=t减速＋t圆弧＋t加速=2vrrvmv2vv＋2＋m2=m－（2－）2

g2v2g2aa2vmr－（2－）1

gg2同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为t1=另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多走了长度 ΔL＝ r2－ rl

同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度

Δx=2x1－2x2= r2－ rl

由于上述的ΔL和Δx刚好相等，可见车在直道上以vm匀速行驶的路程长度对于内外两道来说是相等的．这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的t1和t2即可由于 t2＜t1，显然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为

来源:Zxxk.Com]rr1 Δt=t1一t2=(2)2

2g2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围

【例6】如图，直杆上0102两点间距为L，细线O1A长为3L，O2A长为L,A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？

解析:当ω较小时线O1A拉直，O2A松弛，而当ω太大时O2A拉直, O1A将松弛．

0 设O2A刚好拉直,但FO2A仍为零时角速度为ω1，此时∠O2O1A =30,对小球：

0在竖直方向FO1A·cos30＝mg……①

[来源:学。科。网]在水平方向：FO1A·sin30＝m由①②得2g3L

10213Lsin300……②

设O1A由拉紧转到刚被拉直,FO1A变为零时角速度为ω2

0对小球：FO2A·cos60=mg……③

020FO2A·sin60=mω2L·sin60………④

由③④得2gL,故2g3L2gL

2【例7】一根长约为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面a 内转动，杆最初在水平位置。杆上距O为a处放有一个小物体B（可视为L 质点）。杆与其上小物体最初均处于静止状态，若此杆突然以匀角速度ω绕O轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰。

【解析】杆开始转动后，两物体的运动状态分别为：A做匀速转动，B做自由落体运动。若B能与杆相碰，只可能在B下落的竖直线上，那么，杆转动的高度范围就被确定了，即如图所示的转角范围。

我们分两种情况进行讨论：

（1）当杆的转速ω较小时，物体B有可能追上细杆与细杆相碰。设物体B下落到C作用的时间为t1，杆转过Φ角所用时间为t2，两物要能相碰，t1和t2就满足下列条件：t1≤t2…①

又因为LBC＝½gt1，Φ=ωt2，由几何关系LBC=L2a2，LcosΦ=a，所以LBC＝½gt1=22O B A ω

2L2a2

La解得t1=g22由Φ=ωt2=arccosα/L解得t2=1arccos（a/L）

garccos（a/L）2将tl、t2代入①式，得2L2a21arccos（a/L）解得ω≤

≤g

/4L2a2 （2）当杆的转速ω较大时，杆转过一周后有可能追上B而与物体B相碰，设杆转过中角所用的时间为t2，杆要与B相碰，t2和tl必须满足下列条件：tl≥t2

2L2a2由2π+Φ=ωt2，所以t2=（2π+Φ）=（2π+arccos（a/L））/ω代入得≥（2g/////π+arccos（a/L））/ω，解得ω≥garccos（a/L）/4L2a2

2garccos（a/L）/4L2a2或ω≥2g2由以上分析可知，当杆转动的角速度满足：ω≤arccos（a/L）/4L2a2时，物体B均有可能和细杆相