2.2.1 直线的参数方程主要内容及教案内容

教学设计

人教版选修4-4《直线的参数方程》

2.2.1直线的参数方程（教学设计）(第一课时) 一、教学目标：

（1）知识与技能：

1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

（2）过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义

（3）情感、态度与价值观：

通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研

的科学精神、严谨的科学态度．

二、教学重点：

联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．

三、教学难点：

通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标x,y之间的联系．

四、教学过程：

（一）、情境引入：

起重机在起吊重物时，首先将起重臂扬起某一角度，然后将起重臂伸长，最后将吊钩放下，将重物吊起．起重臂是绕着轴旋转的，旋转到某一角度可以停下．在平面中，如果将起重臂看成直线，轴看成点．仰角记为θ，那么如何用这一点和角θ表示这条直线呢？本节就来学一下直线的参数方程．

1

教学设计

人教版选修4-4《直线的参数方程》

（二）、师生互动，新课讲解

1．抽象情境，引出向量法建立方程 已知一条直线过点M0(x0,y0)，倾斜角为，求这条直线的参数方程

教师提问后，让学生思考并回答问题．

教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：

①OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OMtOA；

②当OM与OA方向一致时（即OM的方向与数轴正方向一致时），t0；

当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），t0；

当M与O重合时，t0；

③|OM|t．教师用几何画板软件演示上述过程．

【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．

2.类比分析，异曲同工

问题：

（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？

（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？

2

教学设计

人教版选修4-4《直线的参数方程》

教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l上的定点M0为原点，与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0时)或向右（l的倾斜角为0时）的单位向量e确定直线l的正方向，同时在直线l上确定进行度量的单位长度，这时直线l就变成了数轴．于是，直线l上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．

【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．

3. 选好参数，柳暗花明

问题（1）：当点M在直线l上运动时，点M满足怎样的几何条件？

让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l当成数轴后，直线l上点M运动就等价于向量M0M变化，但无论向量怎样变化，都有M0Mte．因此点M在数轴上的坐标t决定了点M的位置，从而可以选择t作为参数来获取直线l的参数方程．

【设计意图】明确参数．

问题（2）：如何确定直线l的单位方向向量e？

教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．

教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出e(cos,sin)，从

3

教学设计

人教版选修4-4《直线的参数方程》

而明确直线l的方向向量可以由倾斜角来确定．

当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上．

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．

4. 等价转化，深入探究

问题：如果点M0,M的坐标分别为(x0,y0)、(x,y)，怎样用参数t表示x,y？

教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：

,0[)）因为e(cos,sin)，（，MMxy(,)x(y,)0(xy,y0)00x0，

又M0M//e，所以存在实数tR，使得M0Mte，即

(xx0,yy0)t(cos,sin)．

于是xx0tcos，yy0tsin，

即xx0tcos，yy0tsin．

因此，经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos （t为参数）． yytsin0教师提出如下问题让学生加强认识：

①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数t的取值范围是什么？

③参数t的几何意义是什么？

总结如下：①x0,y0，是常量，x,y,t是变量；

4

教学设计

人教版选修4-4《直线的参数方程》

②tR；

③由于|e|1，且M0Mte，得到M0Mt，因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离．当M0M的方向与数轴（直线）正方向相同时，t0；当M0M的方向与数轴（直线）正方向相反时，t0；当t0时，点M与点M0重合．

【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．

（三）、运用知识，培养能力

[例1] 已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并用参数方程的方法求点P到点M(5,4)的距离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．根据参数t的几何意义可求直线上两点的距离． 3[解]

由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为4，设直线的倾斜角为α，

334则tan α＝4，sin α＝5，cos α＝5.

又点P(1,1)在直线l上，

所以直线l的参数方程为3y＝1＋t54x＝1＋t，5

(t为参数)．

因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．

4由1＋5

t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.

5

教学设计

人教版选修4-4《直线的参数方程》

x＝－1＋3t，[例2]．已知直线l的参数方程为y＝2－t，

(t为参数)把它化为标准方程. [思路点拨] 由直线参数方程的一般形式，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程． 13sinx1t,122(t为参数)

,得解：由题意知tan,sin0,3y21t,cos322（四）、课堂小结，巩固反思：

（1）直线参数方程求法；

（2）直线参数方程的特点；

（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数t的几何意义。

（五）、作业：

1、（课本P39习题 2.3 NO:1）

解析：(1)直线l的参数方程为(t为参数)．

3y＝5＋2t(2)将直线l的参数方程中的x，y代入x－y－23＝0得t＝－(10＋63)．所以直线l与直线x－y－23＝0的交点到点M0的距离为|t|＝10＋63.

(3)将直线l的参数方程中的x，y代入x2＋y2＝16得t2＋(1＋53)t＋10＝0.设上述方程的两根为t1，t2，则t1＋t2＝－(1＋53)，t1t2＝10.可知t1，t2均为负值，所以|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝1＋53.所以两个交点到点M0的距离的和为1＋53，积为10.

6 1x＝1＋2t，