[图形演示]柱坐标系说课稿【一等奖】

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1．5.1

柱

坐

标

系

[对应学生用书P13]

[读教材·填要点]

1．柱坐标系的概念

设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则三个有序数ρ，θ，z构成的数组(ρ，θ，z)称为空间中点M的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z为任意实数．

2．直角坐标与柱坐标的转化

空间点M的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z.

[小问题·大思维]

1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？

提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．

2．在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？

提示：在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面．

[对应学生用书P14]

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将直角坐标化为柱坐标

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[例1]

已知空间点M的直角坐标为(43，4,3)，求它的柱坐标．

[思路点拨]

本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法．解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．

[精解详析]

x＝ρcos θ，由公式y＝ρsin θ，z＝z，

得ρ2＝x2＋y2，z＝3. ∴ρ2＝(43)2＋(4)2＝48＋16＝64. ∴ρ＝8. y43tan θ＝x＝4＝3，又x>0，y>0，点在第一象限，

π∴θ＝3. π∴点M的柱坐标为8，3，3. 

已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ，尤其是θ.要注意求出tan θ，还要根据点M所在的象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．

1．点M的直角坐标为(3，1，－2)，则它的柱坐标为(

) πA.2，6，2

π2，，－2

C.6πB.2，3，2

π2，－，－2

D.613＝3，

3解析：选C

∵ρ＝32＋12＝2，tan θ＝π2，，－2. ∴点M的柱坐标为6

将柱坐标化为直角坐标

π[例2]

已知点M的柱坐标为8，6，4，求它的直角坐标．

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[思路点拨]

本题考查柱坐标与直角坐标的转化．解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可．

π[精解详析]

∵M点的柱坐标为8，6，4，

π∴ρ＝8，θ＝6. x＝ρcos θ，由公式y＝ρsin θ，z＝z，

π得y＝8sin6，z＝4，πx＝8cos6，

x＝43，即y＝4，z＝4.

∴M点的直角坐标为(43，4,4)．

x＝ρcos θ，已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式y＝ρsin θ，z＝z

即可．

π2．已知点M的柱坐标为(2，4，1)，求M关于原点O对称的点的柱坐标．

解：Mππ2，4，1的直角坐标为y＝2sin4＝1，z＝1，πx＝2cos4＝1，

∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．

ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝2. tan θ＝－1＝1，又x＜0，y＜0，

－15π∴θ＝4. 5π∴其柱坐标为2，4，－1. 5π∴M关于原点O对称的点的柱坐标为2，4，－1. 高考资源网版权所有，侵权必究！

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[例3]

给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标．

[思路点拨]

本题考查柱坐标系的建法以及柱坐标的确定方法．解答本题需要建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题．

[精解详析]

以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为x轴，y轴，以向上的中轴线为z轴正方向建立柱坐标系．

柱坐标系的应用

下底面上的点的柱坐标满足(ρ1，θ1,0)，其中0≤ρ1≤2，0≤θ1＜2π.

上底面上的点的柱坐标满足(ρ2，θ2,2)，其中0≤ρ2≤2，0≤θ2＜2π.

侧面上的点的柱坐标满足(2，θ3，z)，其中0≤θ3＜2π，0≤z≤2.

(1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．

(2)解决此类问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征．

3．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系．求点A的柱坐标．

解：以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，17π极轴Ox按逆时针方向旋转16，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置．

17π203，，2.8. ∴点A的柱坐标为16高考资源网版权所有，侵权必究！

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[对应学生用书P15]

一、选择题

π1．点M的柱坐标为16，3，5，转换为直角坐标为(

) A．(5,8,83)

C．(83，8,5)

B．(8,83，5) D．(4,83，5) 解析：选B

x＝ρcos θ，由公式y＝ρsin θ，z＝z，

π得y＝16sin3＝8z＝5.πx＝16cos3＝8，3，

即M点的直角坐标为(8,83，5)．

2．已知点M的直角坐标为(3,3,3)，则它的柱坐标为(

) πA.32，4，3

5π32，C.

4，33πB.32，4，1

7π32，D.

4，1解析：选A

x＝ρcos θ，由公式y＝ρsin θ，z＝z，

3＝ρcos θ，得3＝ρsin θ，3＝z.

∴ρ2＝32＋32＝18.∴ρ＝32. 22∴cos θ＝2，sin θ＝2. 又∵θ∈[0,2π)，

π∴θ＝. 4π∴M点的柱坐标为32，4，3. 3．在柱坐标系中，方程ρ＝2表示空间中的(

) A．以x轴为中心轴，底半径为2的圆柱面

B．以y轴为中心轴，底半径为2的圆柱面

C．以z轴为中心轴，底半径为2的圆柱面

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D．以原点为球心，半径为2的球面

解析：选C

由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z轴为中心，底面半径为2的圆柱面．

4．空间点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，它关于点O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)(

) A．(－ρ，－θ，－z)

C．(ρ，π＋θ，－z)

B．(ρ，θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z) 解析：选C

点M(ρ，θ，z)关于点O(0,0,0)的对称点为M′(ρ，π＋θ，－z)．

二、填空题

5．已知点M的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________．

解析：

∵x＞0，y＝0，∴tan θ＝0，θ＝0，

ρ＝12＋02＝1. ∴柱坐标为(1,0,5)．

答案：(1,0,5) π6．点M的柱坐标为8，4，2，则点M与原点的距离为________．

解析：点M的直角坐标为(42，42，2)，

∴它与原点的距离为

42－02＋42－02＋2－02＝217. 答案：217 7．设点M的直角坐标为(1，－3，4)，则点M的柱坐标为________．

解析：ρ＝x2＋y2＝12＋－32＝2. －3tan θ＝1＝－3.又x＞0，y＜0，

5π5π∴θ＝3.∴柱坐标为2，3，4. 5π答案：2，3，4

8．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称的点的柱坐标为________．

5π解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为2，4，1. 高考资源网版权所有，侵权必究！

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5π答案：2，4，1

三、解答题

9．求点M(1,1,3)关于xOz平面对称的点的柱坐标．

解：点M(1,1,3)关于xOz平面的对称点为(1，－1,3)．

x＝ρcos θ，由变换公式y＝ρsin θ，z＝z

得

ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝2. －1tan θ＝1＝－1.又x＞0，y＜0，

7π∴θ＝. 47π∴其关于xOz平面对称的点的柱坐标为2，4，3. 10．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中什么曲面？方程z＝－1表示什么曲面？

解：方程ρ＝1表示以z轴为中心轴，以1为底面半径的圆柱面；方程z＝－1表示与xOy坐标面平行的平面，且此平面与xOy面的距离为1，并且在xOy面的下方．

11．如图所示，一个底面半径为r，高为h的圆柱OO′，四边π形ABCD是其轴截面，EF是圆柱的一条母线，且∠BOE＝4，G为EF的中点．试建立适当的柱坐标系，求A，C，G的坐标．

3π解：如图所示，建立柱坐标系．则A点的柱坐标为r，2，0，ππhr，，hC点的柱坐标为2，G点的柱坐标为r，4，2. 

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