阅读与思考　一次方程组的古今表示及解法优秀完整教案

课

题

课

时

教

学

目

过程

与

方法

知识

与

技能

§ 8．3 实际问题与二元一次方程组

第1课时

课

型

新

授

1．会用二元一次方程组解决实际问题；

2．能找出简单应用题中的未知量和已知量、数量关系和等量关系；能列二元一次方程组解简单的应用题；

3．培养学生分析、将实际问题转化为数学问题及解决的能力。

1．培养学生应用方程解决实际问题的意识和能力．

2．将解方程组与实际问题融为一体，进一步提高解方程组技能。

标

情感、态度

让学生体验数学在实际生活中的应用，培养学生积极探索、与价值观

勇于创新的精神，养成敢想、敢说、敢做、主动学习的习惯。

教学重点

教学难点

教学方法

教学准备

根据题意找出正确的等量关系；列二元一次方程组。

正确找出问题中的两个等量关系．

探究、指导、练习

教案、导学案

一、引入：

从古老的鸡兔同笼问题，到大家喜欢的篮球、足球联赛问题，我们都可以通过方程组来刻画，这一点在本章开头我们已有所了解，今天，我们将进一步来探索用方程组解决现实生活中的问题．

二、探究：

问题：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg，饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20kg，每头小牛1天约需饲料7～8kg，你能通过计算检验他的估计吗？

教师活动：引导学生探寻解题思路并对各种方法进行比较，方法一主要是估算的运用，而方法二是方程思想的应用．

学生活动：学生思考、讨论．

判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：

1．先假设李大叔估计正确，再根据题中给定的数量关系来检验．

2．根据问题中给定的数量关系求出平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．（学生在比较探究后发现用方法二较简便．）

设问1：如果选择方法二，如何计算平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量？

分析：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg．

根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组．

30x + 15y = 675

42x + 20y = 940

解这个方程组，得

教学过程

这就是说，平均每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg．因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，

对小牛的食量估计偏高．

设问2：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？

学生活动：个别学生可能会列出如下方程：

但结果一致．

从上题你能得出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤吗？

学生活动：学生思考，回答．

归纳：列二元一次方程组解方程组的应用题的步骤：

（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量间的关系．

（2）设：设未知数，一般求什么设什么，设未知数要带好单位名称．

（3）列：找出两个等量关系，列出方程组．

（4）解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值．

（5）检：检验所得结果的合理性．

（6）答：答要带单位．

归纳为6个字：审、设、列、解、检、答．

三、随堂练习：

1、课本P101习题8.3第1题以及练习册中相关习题。

2、A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分．求飞机平均速度与风速．

四、课时小结：

从探究1可知，列一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的基本思路是一致的．一般可根据所要求解的问题直接设未知数，关键是分析题中各组数量之间的联系，找出等量关系．设几个未知数，就要找几个等量关系，然后列出相应的方程．

五、课后作业：

课本P101习题8.3第2、3题

列二元一次方程组解方程组的应用题的步骤：

（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量间的关系．

（2）设：设未知数，一般求什么设什么，设未知数要带好单位名称．

（3）列：找出两个等量关系，列出方程组．

（4）解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值．

（5）检：检验所得结果的合理性．

（6）答：答要带单位．

归纳为6个字：审、设、列、解、检、答．

板书设计

大多数学生均能正确理解题意，但有些学生缺乏把题目读完教学反思

的耐心，例如陈柳、张怡宁、全玉杰、刘珅言等，所以在以后的教学中还是要鼓励学生先读题，只有读懂题意了才能谈解决。

课

题

课

时

知识

与

教

技能

过程

学

与

目

方法

§ 8．3实际问题与二元一次方程组（40）

第2课时

课

型

新

授

1．会用二元一次方程组解决“探究2”提出的问题．

2．寻求“探究2”的多种解决方案

1．通过思考、讨论、探究事物之间数量关系，建立方程模型，运用方程解决实际问题，体会方程是刻划现实世界的有效数学模型．

2．加强列方程组的技能训练，形成解决问题的一般性策略．

1．通过对实际问题的解决，培养学生应用方程的意识，从而提高情感、态度

标

学生对数学趣味性、现实性、科学性的认识．

与价值观

2．培养学生的创新、开拓和克服困难的科学精神．

教学重点

让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计问题．

教学难点

寻找关键词，列出等量关系．

教学方法

引导、讨论、练习

教学准备

教案、导学案

一、问题引入：

上节课我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产，生活中还有许多问题也能用方程组解决．

今天，我们再来看研究一个实际生活中的例子。

问题：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量比是1:2．现要把一块长200m，宽100m的长方形的土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？

二、探究：

请同学们思考以下问题：

1．“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1:2”是什么意思？

2．“甲、乙两种作物的总产量比为3:4”是什么意思？

3．本题中有哪些等量关系？

学生活动：阅读材料内容，理解关键词语．寻找等量关系．

教学过程

讨论：土地是长方形的，要一分为二，最简单的分法是分成什么形状？怎么分？

学生活动：分成两个长方形．

将长边AB分成两段AE和EB，过E作EF⊥CD交CD于F，EF就可以将这块长方形土地分为两块小长方形土地了．

也可以将短边AD分成两段AE和ED，过E作EF⊥BC于F，EF就可以将这块长方形土地分为两块小长方形土地了．

讨论：E、F具体在什么位置才可以满足问题要求呢？

学生活动：思考：如何设未知数，总产量与单位产量关系如何？

分析：如上图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．此时设AE = x m，BE = y m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组

x + y = 200

100x ：2•100y = 3 : 4

解这个方程组，得

x = 120

y = 80

过长方形土地的长边上离A端

120m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地。较大的一块土地种

甲

种作物，较小的一块土地种

乙

种作物。

注：（1）学生能否理清题目中复杂的数量关系．

（2）学生能否很快找出题目中的等量关系并列出方程组．

教师活动：你还能设计别的种植方案吗？

用类似的方法，可沿平行于线段的方向分割长方形．

总结学生的讨论结果．出示对应练习，鼓励学生抓住事物本质，从多角度思考问题，在今后的学习中，解决更为复杂的问题．

三、随堂练习：

1、请同学们换种方法对上面的题目进行划分。

2、一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km，第一天和第二天行军的平均速度各是多少？

3、练习册中相关题目。

四、课时小结：

通过进一步学习用二元一次方程组解决实际问题，同学们要学会分析阅读材料，学会从给定问题中寻找等量关系，从而建立数学模型．本节的问题是一个开放性的问题，其解决方法不止一种，通过此题同学们要学会从多角度考虑问题．

五、课后作业：

课本P102第4、5题

列二元一次方程组解方程组的应用题的步骤：

板书设计

审、设、列、解、检、答．

本节的例题偏难，因为是课本上例题，所以让学生先读题，然后讨论，试图自行解决，但学生对题中的等量关系理解不了，教学反思

最后给学生分析讲解，进行了两遍才让大部分学生理解，所以本节感觉上的不理想。

以后改进：应该给学生找些简单的题目由浅入深，层层递进，也许能让学生更易接受。

课

题

课

时

知识

教

与

技能

学

过程

与

目

方法

态度

标

情感、与价值观

教学重点

教学难点

教学方法

教学准备

§ 8．3 实际问题与二元一次方程组（41）

第3课时

课

型

新

授

1．会用列表法分析题中已知量与未知量的关系，列出相应二元一次方程组；

2．熟练二元一次方程的解法和基本思路．

1．让学生经历和体验列方程组解决实际问题；体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生应用数学的能力；

2．加强列方程组的训练，体会列方程组解决实际问题一般步骤．

让学生体验把复杂问题转化为简单问题的同时，增强克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养团队精神

用列表法分析题目中的等量关系，加强学生列方程的技能．

弄清“同类事物”之间的数量关系

探究、分层递近

教案

一、问题引入：

今天我们继续来探究实际问题与二元一次方程组。

请同学们研究下列问题：一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的费用如下表：

第一次

第二次

2 5 甲种货车辆数（单位：辆）

3 6 乙种货车辆数（单位：辆）

15.5 35 累计运货吨数（单位：吨）

现用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？

分析：1．运货费用＝运货总吨数×每吨运费．

2．从表中若求出甲、乙货车每吨每次的运货量，即可求出运货总数．

本节课我们就来学习借助表格或图形研究二元一次方程组的方法．

二、探究：

教学过程

问题：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元（/吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关。设制成x t产品，购买y t原料。根据题目中数量关系填写下表：

产品x原料y合计

吨

吨

公路运费（元）

铁路运费（元）

价值（元）

讨论：探索分析表格填写的方法，教师帮助学生分析下列问题：

①公路运费＝公路长×货物重量×公路运价；

②铁路运费＝铁路长×货物重量×铁路运价；

③产品价值＝产品重量×产品单价；

④原料价值＝原料重量×原料单价；

⑤Ａ地→长青化工厂→Ｂ地有多长是铁路？多长是公路？

题目求销售款比原料费与运输费的和多的钱数，需先解出x与y 由上表，列方程组

20×1.5x＋10×1.5y＝15000

110×1.2x＋120×1.2y＝97200

解这个方程组，得

x = 300

y = 400

因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元。

三、随堂练习：

1、从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分，从乙地到甲地需42分.甲地到乙地全程是多少？

2、打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元.打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元.比不打折少花多少钱？

四、课时小结：

通过本节学习掌握二元一次方程组解决实际问题的主要步骤：

1．设元：审清题意、题目中等量关系，用字母表示两个未知数；

2．建模：找出能够表示实际问题全部含义的两个相等关系；

3．列方程组：根据这两个相等关系，列出相应的方程组；

4．解方程组：解这个方程组，并求出未知数的值；

5．检验：根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理；

6．作答：写出符合题意的解释．

五、课后作业：

课本P102第6、8题。

列二元一次方程组解方程组的应用题的步骤：

板书设计

审、设、列、解、检、答．

经过两天的努力，学生终于有点进步，能自行读题、分析、讨论、教学反思

得出解决方案，虽然思路基本正确，但在列方程组时还不够自信，不敢大胆地去列，在以后的教学中还需多鼓励学生。