用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程教案和学案内容

第四课时

课 题

§ 2．2．2 配方法(二) 教学目标

(一)教学知识点

1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．

2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．

(二)能力训练要求

1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法．

2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．

3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤．

(三)情感与价值观要求

通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．

教学重点

用配方法求解一元二次方程．

教学难点

理解配方法．

教学方法

讲练结合法．

教具准备

投影片三张

第一张，练习题(记作投影片§2．2．2A) 第二张：例题(记作投影片§2．2．2 B) 第三张：做一做(记作投影片§2．2．2C) 教学过程

I．巧设现实情景，引入新课

[师]上节课我们探讨了一元二次方程的解法：直接开平方法和配方法．现在来复习巩固一下．(出示投影片§2．2．2 A) 解下列方程： 2(1)x＝2；

2(2)(x-2)＝2；

2(3)x-4x+4＝5；

2(4)x+8x+3＝0；

2(5)x+5x+2＝0．

[生甲]方程(1)可以用开平方法来解．

解：两边同时开方，得x＝±2，

即x1＝2，x2＝-2．

[生乙]只要把方程(2)中的(x-2)看作整体，就化归为方程(1)的形式．

解：两边同时开平方，得x-2=±2，

即：x-2=2或x-2＝-2

∴x1＝2+2，x2＝2-2．

[生丙]方程(3)的左边是完全平方式，所以就可以变形为(x-2)，即化归为方程(2)的形式．

2 解：原方程变为(x-2)＝5. 两边同时开平方，得x-2＝±5，

即x-2＝5或x-2＝-5．

∴x1=2+5，x2=2-5

[生丁]方程(4)需要利用配方法，把它化为(x+m)＝n的形式，然后利用开平方法即可求出其解．

解：把常数项移到方程的右边，得 2 x+8x＝-3．

2 两边都加上4(一次项系数8的一半的平方)，得

222 x+8x+4＝-3+4，

2 即(x+4)＝13．

两边同时开平方，得x+4＝±13，

即x+4＝13或x+4＝-13．

∴x1=-4+13，x2＝-4-13

[生戊]方程(5)的一次项系数5是奇数它的一半(即225 )是分数，如果利用配方法的话，2那么，配的常数项是分数而不是整数．老师，这样是否也能求解呢? [师]噢，那大家想一想，做一做，看戊同学的问题能不能解决? [生]能，我的解答如下：

把常数项移到方程的右边，得

2 x-5x＝-2．

52)，得

252522x+5x+()＝-2+()，

225217即(x+)=．

42两边都加上(两边同时开平方，得x+517＝±，

22即x+551717＝或x+＝-

2222

所以x1＝517517，x2＝．

22 [师]同学们能触类旁通，这很好．这节课我们继续来探讨利用配方法解一元二次方程．

Ⅱ．讲授新课

[师]由刚才大家求解的方程可知：不论方程的一次项系数是奇数还是偶数，只要通过配方把方程的一边变形为完全平方式，另一边变形为非负数，就可以求解．

下面同学们来用配方法解方程．(出示投影片§2．2．2 B) 8x-1＝0．

328[生甲]解：移项，得x+x＝1．配方，得

3424228x+x+()＝1+()，

3334225(x+)=．

931．用配方法解方程x+ 2两边同时平方，得

45＝±，

334545即x+=或x+＝-．

33331所以x1= ，x2＝-3．

3x+ [师]很好．这个方程的一次项系数是分数，所以配方时一定要注意正确性．接下来，我们来看另一题：(出示投影片§2．2．2 B) 22．尝试将方程3x+8x-3＝0的左边配方，并求解这个方程．

[师]观察一下，这个方程与前面解的方程一样吗? [生乙]不一样．这个方程的二次项系数是3，而前面解的那些方程的二次项系数是1．

[师]噢，那二次项系数不为1的一元二次方程的左边如何配方呢?如何求解这个方程呢? 22 [生丙]完全平方式是a±2ab+b．由此可知：配方法中方程的两边都加上一次项系数一半的平方的前提是方程的二次项系数为1，所以，这个方程应先利用等式的性质进行更形，使它的二次项系数为1，然后再利用配了法进行求解．

2 [生丁]噢，我知道了，只要把方程3x+8-3＝0的两边都除以3，方程就变形为二次项系2数为1的方程，而二次项系数为1的方程我们可以通过配方求解，所以方程3x-8x-3＝0也可求解．

[师]对，这样我们就把新知识转化为旧知识，新知识便可理解、掌握了．现在我们共同2来解方程3x+8x-3=0．

[师生共析]解：两边都除以3，得x+x 移项，得x+ 配方，得

x+2228-1＝0．

38x＝1．

384242x+()=1+()

333

(x+4225)=．

93 两边同时开平方，得

45=±，

334545 即x+=或x+=-．

33331 所以x1=；x2＝-3．

3 x+ [师]好，下面我们来总结用配方法解方程的一般步骤．

(1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．

(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的) 2 (4)方程变形为(x+m)=n的形式．

(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．

[师]同学们做得很好，下面大家来看一实际问题，你能解答吗?(出示投影片§ 2．2．2 C) 做一做

一小球以15 m／s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：2h=15t-5t．小球何时能达到10 m高? 2 [生]要求小球何时能达到10m高，而小球向上弹出时满足h=15t-5t，因此根据题意，2可得15t-5t＝10．

2 这样只需求出方程15t-5t=10的解，本题即可解答．

[师]这位同学分析得对吗? [生齐声]对．

[师]噢，那你能解这个方程吗? [生]能．

2 解：-5t+15t＝10，

两边都除以-5，得

2 t-3t＝-2．

配方，得

3232)=-2+(-)，

22321 (t-)=，

243131 即，t-=或t-=．

2222 t-3t+(-2 所以t1＝2,t2=1．

[师]很好，这两个解是原方程的解。它们符合题意吗? [生]符合．

[师]很好，由此可知：在1 s时，小球达到10 m；至最高点后下落，在2 s时，其高度又为10 m．

我们通过列方程解决实际问题，进一步了解了一元二次方程是刻画现实世界中数量关系

的一个有效数学模型，接下来大家来“读一读”：一元二次方程的几何解法．

Ⅲ．课时小结

这节课我们利用配方法解决了二次项系数不为1或者一次项系数不为偶数等较复杂的一元二次方程，由此我们归纳出配方法的基本步骤．

Ⅳ．课后作业

(一)课本P52习题2．4 1、2 (二)1．预习内容：P53～P54

2．预习提纲：

如何利用方程求解实际问题．

Ⅴ．活动与探究

2 1．尝试用配方法来证明：8x-12x+5的值恒大于0．

[过程]在学生探究本题的过程中，让他们知道：对于一个二次多项式，如果配方成2a(x+n)+b的形式，那么当a>0，b>0时，这个多项式恒大于0；当a<0，b<0时，这个多项式恒小于0．另外，在配方时注意：二次式配方时，是把二次项和一次项结合在一起，然后利用乘法对加法的分配律的逆运算把二次项系数提到括号外，使二次项的系数化为1，再之，加上一次项系数一半的平方必须同时减去这个平方，代数式的值才不变．

[结果]证明：

28x-12x+5 3x)+5 2323223=8[x-x+()-()]+5 244329=8[(x-)-]+5 416329=8(x-)-+5 42321=8(x-)+. 42321∵（x-）≥0，＞0，

42321∴8(x-)+＞0. 42=8(x-2∴8x-12x+5的值恒大于0．

板书设计

§2．2．2 配方法(二) 一、解方程：

2x+5x+2＝0．

解：把常数项移到方程的右边，得

2x+5x＝-2．

252)，得

252522x+5x+()＝-2+()，

22两边都加上(

即(x+ 52)2＝174．

两边同时开平方，得

x+5172=±2, 即x+52=172或x+5172=-2. 所以x5171＝2，x5172＝2 ．

二、做一做、读一读

三、课时小结

四、课后作业

备课资料

参考练习

1．下列将方程x2+6x+7＝0配方变形正确的是……………………………( ) A．(x+3)2＝-2 B．(x+3)2＝16 C．(x+3)2＝2 D．(x+3)2＝-16 答案：C 2．下列将方程2x2-4x-3＝0配方变形正确的是…………………………( ) A．(2x-1)2+1＝0 B. (2x-1)2-4＝0 C. 2(x-1)2-1＝0 D. 2(x-1)2-5＝0 答案：D 3．方程3x2+2x-6=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是………( ) A．(x+26)23718

B．(x+26)23718

C. (x+22356)18

D．以上答案都不对

答案：B 4．用配方法解下列方程时，配方有错误的是………………………………，( ) A．x2+2x-99＝0，化为(x+1)2＝100 B．2t2-7t-4=0，化为(t-74)2=1816

C．x2+8x+9＝0，化为(x+4)2＝25

D．3x-4x-2=0，化为(x-)232210

9 答案：C