用计算器求算数平方根、用有理数估计算数平方根的大小教学设计思路

七年级数学·下 新课标[人]

第课时

1.会用计算器求一个数的算术平方根.

2.理解被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律.

3.能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.

通过求一个数的算术平方根的近似值,初步了解数的无限不循环性,理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义.

通过计算近似值,比较两个算术平方根的大小,培养学生的细心探求精神.

【重点】

计算算术平方根的两种方法;理解无限不循环小数.

【难点】

夹值法及估计一个数(无理数)的大小.

【教师准备】

教材图6.1-1的投影图片.

【学生准备】

1.复***方根的相关知识.

2.计算器.

导入一:

能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形? 如图所示,把两个小正方形分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为2 dm2的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗? 设大正方形的边长为x dm,则x2=2, 由算术平方根的意义可知x=

.

所以大正方形的边长是

dm.

问题:

到底有多大呢?

导入二:

3.1415926…,看到这个数字大家一定会想到圆周率吧.圆的周长和直径的比是一个无限不循环小数,除此之外,像

,

等是不是无限不循环小数呢?

[过渡语]

-

到底有多大呢?我们一起来探索下吧.

1.探索

的大小.

师:因为12=1,22=4,所以1<

<2.这里我们只是粗略地知道了

的大小,还不是很精确,这就需要我们继续探索下去.怎么继续下去呢?大家想个办法吧.

生:取一个大于1且小于2的数试一试.

师:从1.1到1.9这些数字我们怎么选呢? 生:通过估算和计算,我们发现1.42=1.96,1.52=2.25,所以1.4<

<1.5.

师:用刚才的办法还能继续探索下去吗? 生:因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,所以1.41<

<1.42;因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以1.414<

<1.415……

师:我们可以如此进行下去,会得到

的更精确的近似值.但我们无论进行多少次探索,都不会有一个最终的数值,可见

=1.41421356237…,它是一个无限不循环小数.实际上,许多正有理数的算术平方根(例如

,

,

等)都是无限不循环小数.

2.用计算器求算术平方根.

[过渡语]

像前面探索一个数的算术平方根的方法无疑是繁琐的,我们通过计算器可以很轻松地解决求算术平方根的问题.

大多数计算器都有

键,用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).

(教材例2)用计算器求下列各式的值.

(1)

;

(2)

(精确到0.001).

〔解析〕

正确选择计算器上的

功能键是关键,对算术平方根的值要根据要求或需要进行取舍.同时需要注意计算器上显示的数值是一个近似值.

解:(1)依次按键

3136=,显示:56.

所以

=56.

(2)依次按键

2=,显示:1.414213562.

所以

≈1.414.

[过渡语]

计算器为人们进行复杂的计算提供了巨大的方便,比如我们来看引言中提出的问题.

由

=gR,

=2gR,得v1=

,v2=

,其中g≈9.8,R≈6.4×106.

用计算器求v1和v2(用科学记数法把结果写成a×10n的形式,其中a保留小数点后一位),得v1=

≈7.9×103,v2=

≈1.1×104.

因此,第一宇宙速度v1大约是7.9×103 m/s,第二宇宙速度v2大约是1.1×104 m/s.

3.用计算器探究.

(1)利用计算器计算下表中的各式,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗? …

…

…

…

(2)用计算器计算

(精确到0.001),并利用你在(1)中发现的规律说出

,

,

的近似值,你能根据

的值说出

的值是多少吗? 问题提示: (1)如下表所示: …

…

…

0.25

0.79

2.5

7.9

25

79

250

…

从表中可以发现:被开方数的小数点每向右(或向左)移动两位,开方后的结果向相同的方向移动一位.

(2)因为

≈1.732,

≈0.1732,

≈17.32,

≈173.2,根据

的值不能说出

是多少.

4.估计算术平方根的值解决问题.

[过渡语]

在生活中,我们经常遇到估计一个数的大小的问题.请看下面的例子.

(教材例3)小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来,正在发愁.小明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?

〔解析〕

本题的核心是能否按照要求裁出一个长宽比为3∶2、面积为300 cm2的长方形,通过列方程的办法可以计算出满足这样条件的长方形的长和宽,再与正方形的边长做对比,就可以得出相应的结论.

解:设长方形纸片的长为3x cm,宽为2x cm, 根据边长与面积的关系得: 3x·2x=300, 6x2=300 x2=50, x=

.

因此长方形纸片的长为3

cm.

因为50>49,所以

>7.

由上可知3

>21,即长方形纸片的长应该大于21 cm.

因为

=20,所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样,长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.

答:不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【思考】

如果一个数的平方等于19,这个数是多少? [知识拓展]

确定x2=a(a≥0)中正数x的近似值的方法: 1.确定正数x的整数部分.根据平方的定义,把x夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.

2.确定x的小数部分十分位上的数字.将这两个整数平方和的平均数与x比较,预测十分位上数字的取值范围,也可以采用试验的方法进行估计.

在求某些数的算术平方根时,当有些数据比较大或不易求出时,便可以利用计算器求算术平方根,用计算器上的“

”键.一般先按“

”键,然后再输入数据,再按“=”键即可.在没有计算器或不允许用计算器的情况下,可进行估算,我们通常取与被开方数相近的两个完全平方数的算术平方根相比较.

1.我们可以利用计算器求一个正数a的算术平方根,其操作方法是按顺序进行按键输入:

a = ,小明按键输入

1

6,显示结果为4,则他按键

1

6

0

0,显示结果应为

.

解析:根据被开方数扩大到原来的100倍,算术平方根扩大到原来的10倍直接解答即可.故填40.

2.已知a,b为两个连续的整数,且a<

.

解析:因为

<

<

,所以3<

<4,因为a<

3.用计算器求下列各式的值(结果保留4个有效数字).

(1)

;(2)

;(3)

.

解:(1)依次按键

734,显示27.09243437,所以

≈27.09.

(2)依次按键

0.012345,显示0.111108055,所以

≈0.1111.

(3)依次按键

5,显示2.236067977,所以

≈2.236.

4.小川的房间地面面积为17.6 m2,房间地面恰好由110块相同的正方形铺成,每块地砖的边长是多少米? 解:设每块地砖的边长是x m,则110x2=17.6, x2=0.16,所以x=0.4.

答:每块地砖的边长是0.4 m.

第2课时

1.探索

的大小

2.用计算器求算术平方根

例1 3.用计算器探究

4.估计算术平方根的值解决问题

例2

一、教材作业

【必做题】

教材第44页练习第1,2题.

【选做题】

教材47页习题6.1第6题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.若m=

-4,则估计m的值所在的范围是

(

) A.1

A.2与3之间

B.3与4之间

C.4与5之间

D.5与6之间

(

) 3.用计算器计算:

-3.142≈

.(结果保留三个有效数字) 4.小杰卧室地板的总面积为16平方米,恰好由64块正方形的地板砖铺成,求每块地板砖的边长.

5.圆的面积S(cm2)与半径r(cm)之间的关系式为S=πr2,现要制作一块面积为49π cm2的圆形零件,此零件的半径应为多少厘米? 【能力提升】

6.如图所示,方格图中小正方形的边长为1,将方格中阴影部分图形剪下来,再把剪下的部分重新剪拼成一个正方形,那么所拼成的这个正方形的边长为

(

) A.

B.2 C.

D.

7.用计算器估算:若2.6456<

<2.6459,则a的整数值是

.

8.如果

的整数部分为a,小数部分为b,那么a-b=

.

9.学校组织集邮展览,某同学用30枚长3 cm,宽2.5 cm的邮票恰好拼成了一个正方形,你能求出这个正方形的边长吗? 【拓展探究】

10.请你观察、思考下列计算过程: 因为112=121,所以

=11,同样因为1112=12321,所以

=111,由此猜想

=

.

11.用计算器求下列各数的算术平方根(保留四个有效数字),并观察这些数的算术平方根有什么规律.

(1)78000,780,7.8,0.078,0.00078.

(2)0.00065,0.065,6.5,650,65000.

【答案与解析】

1.B(解析:先估算出

在哪两个整数之间,即可得到结果.因为6=

<

<

=7,所以2<

-4<3,故选B.) 2.B(解析:根据正方形的面积先求出正方形的边长,然后估算即可得出答案.设正方形的边长为x,因为正方形面积是15,所以x2=15,故x=

.因为9<15<16,所以3<

<4.故选B.) 3.0.464(解析:首先利用计算器求出13的算术平方根,然后即可求出结果.

-3.142≈3.6056-3.142=0.4636≈0.464.) 4.解:每块地板砖的面积=平方米,所以每块地板砖的边长=

=(米).

5.解:设此零件的半径为r cm,由题意得49π=πr2,解得r=7.所以此零件的半径为7 cm.

6.C(解析:根据题意可得,所拼成的正方形的面积是5,所以正方形的边长是

.故选C.) 7.7(解析:因为2.6456=

,2.6459=

,所以a的整数值是7.) 8.4-

(解析:先求出

的范围,即可求出a,b的值,再代入求出即可.因为2<

<3,所以

的整

数部分为a=2,小数部分是b=

-2,所以a-b=2-(

-2)=4-

,故答案为4-

.) 9.解:一枚邮票的面积为3×2.5=7.5(cm2),30枚邮票的总面积为7.5×30=225(cm2),则正方形的边长为15 cm.

10.111111111(解析:因为112=121,所以

=11.同样1112=12321,所以

=111,…,由此猜想

=111111111.) 11.解:(1)

≈279.3,

≈27.93,

≈2.793,

≈0.2793,

≈0.02793. (2)

≈0.02550,

≈0.2550,

≈2.550,

≈25.50,

≈255.0.规律是:被开方数的小数点向左(右)移动两位,则其算术平方根的小数点就向左(右)移动一位.

用“夹值法”探索根式的近似值,其教学过程中蕴含着多种教学目的,如帮助学生深入领会无限不循环小数,为以后得出无理数和实数的概念做准备,同时也可以培养学生勇于探索的精神.本课时在教学的过程中,通过情境引入、师生研讨等方式较好地落实了课程教学目标.

在探索近似值的过程中,最初没有让学生利用计算器进行探索,课堂上浪费了一定时间,在利用计算器进行探索的时候,忽略了学生使用计算器的差异.

在利用计算器进行近似值探索的时候,可以让学生自己总结一些数的算术平方根的性质.在探索规律的过程中,学生不易直接发现小数点变化的规律,应该进行一定的提示.关注学生对计算器的正确使用,并强调计算器的显示结果只是算术平方根的一个近似值.

练习(教材第44页) 1.提示:(1)37. (2)10.06. (3)2.24.

2.解:(1)

<

. (2)

>8. (3)

-

>0.5. (4)

-

<1.

在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.

(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少? (2)如果精确到百分位呢? 〔解析〕

本题实质就是求

的近似值问题.本题除了借用计算器外,也可以用“夹值法”进行探索.参考数值:1.72=2.89,1.732=2.9929.

解:(1)1.7米. (2)1.73米.